曹玉利

[ 摘 要 ]多函數(shù)幾何綜合是中考的重點和難點問題，常作為壓軸題出現(xiàn)，可綜合考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識與綜合能力.探究解析時需要把握知識關(guān)聯(lián)點，數(shù)形結(jié)合解析函數(shù)與圖象，提取模型轉(zhuǎn)化條件.多函數(shù)綜合題的解析思路十分重要，文章結(jié)合實例開展探究總結(jié).

[ 關(guān)鍵詞 ]多函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；圖象

問題探究

1.問題呈現(xiàn)

（1）求直線BD的解析式；

（2）E是線段BD上的一個動點，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當(dāng)折線EF+BE最大時，在拋物線對稱軸上找一點P，在y軸上找一點Q，連接QE，OP，PQ，求OP+PQ+QE的最小值；

（3）如圖2，連接BC，把△OBC沿x軸翻折，翻折后的△OBC記為△OBC′，現(xiàn)將△OBC′沿著x軸平移，平移后△OBC′記為△O′B′C″，連接DO′，C″B，記C″B與x軸形成的較小夾角度數(shù)為α，當(dāng)∠O′DB=α?xí)r，求出此時點C″的坐標(biāo).

2.考點解析

上述為拋物線綜合題，涉及函數(shù)與幾何的相關(guān)知識，可歸為多函數(shù)幾何綜合題，即包括了二次函數(shù)與一次函數(shù)的相關(guān)知識.題設(shè)三問，每問各自獨立又具有一定的關(guān)聯(lián)，探究解析時要深入解讀條件，結(jié)合圖象分析.

第（1）問求解直線BD的解析式，考查待定系數(shù)法.

第（2）問求解線段和的最小值，為線段最值問題.題干設(shè)定動點，構(gòu)建折線，涉及點的對稱，考查對稱轉(zhuǎn)化、動點模型構(gòu)建等知識.

第（3）問求解點的坐標(biāo)，涉及三角形翻折、平移等知識，屬于幾何動態(tài)問題，考查幾何翻折、平移特性，函數(shù)背景下的幾何動態(tài)分析轉(zhuǎn)化是破題的關(guān)鍵.

3.思路突破

對于多函數(shù)幾何綜合題，可以采用分步突破的策略，即對特定問題條件進(jìn)行針對性解析，把握關(guān)鍵信息，構(gòu)建模型，逐步突破，下面具體探究.

第一步，待定系數(shù)求解析式

第（1）問求解直線BD的解析式，可先求出點B，D的坐標(biāo)，假設(shè)出直線BD的解析式，再分別代入即可求解.

②線段和最值求解：如圖4所示，作點E關(guān)于y軸的對稱點N，EM⊥AB于點M，連接MN，交對稱軸于點P，交y軸于點Q.由于點M，O關(guān)于對稱軸對稱，可得OP=PM.又知點E和點N關(guān)于y軸對稱，則QE= QN，所以有OP + PQ + QE = PM + PQ + QN.

解后探究

上述基于一道函數(shù)與幾何綜合題開展解題探究，其中問題涉及多函數(shù)，主要探究二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，分析拋物線與直線的位置關(guān)系.其中后兩問是問題的核心之問，解析過程與探究思路具有一定的參考價值，下面進(jìn)一步探究解法.

1.關(guān)于第（2）問的解法探究

問題的第（2）問探究線段和最值，涉及三條線段，解題的核心知識是“兩點之間，線段最短”，即構(gòu)建線段共線，確定最值情形.上述解析的關(guān)鍵有兩點：一是推導(dǎo)關(guān)鍵點的坐標(biāo)，構(gòu)建三角函數(shù)模型，借助三角函數(shù)來推導(dǎo)幾何角，求出兩線段和的最值，確定關(guān)鍵點的坐標(biāo)；二是開展對稱轉(zhuǎn)化，構(gòu)建線段共線，確定最值情形.

后續(xù)對于與線段和相關(guān)的最值問題，可按照如下步驟進(jìn)行思路構(gòu)建：

第一步，數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，把握其中的幾何特性；

第二步，充分提取圖象中的幾何模型，如相似模型、直角三角形模型、全等模型，進(jìn)行線段關(guān)系轉(zhuǎn)化；

第三步，把握線段的位置關(guān)系，開展對稱轉(zhuǎn)化，分析共線條件，構(gòu)建共線模型，確定線段最值情形，完成求解.

2.關(guān)于第（3）問的解法探究

問題的第（3）問探究幾何運(yùn)動中點的坐標(biāo)，其中三角形經(jīng)歷了翻折與平移，需要從“數(shù)”與“形”雙重視角解讀其中的幾何運(yùn)動.即翻折與平移過程中圖形的形狀并未發(fā)生變化，同時函數(shù)的解析式存在一定的關(guān)聯(lián).上述解析的關(guān)鍵有兩點：一是把握翻折與平移的幾何特性，推導(dǎo)幾何條件；二是提取其中的相似模型，基于相似三角形對應(yīng)邊成比例構(gòu)建方程，解方程求點的坐標(biāo).

后續(xù)對于與幾何運(yùn)動相關(guān)的綜合問題，可按如下步驟進(jìn)行思路構(gòu)建：

第一步，理解幾何運(yùn)動過程，基于運(yùn)動規(guī)律推導(dǎo)幾何條件；

第二步，整合幾何條件，提取其中的幾何模型，挖掘隱含條件；

第三步，數(shù)形結(jié)合分析和轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)建思路解題.

3.關(guān)于多函數(shù)綜合題的解題策略總結(jié)

多函數(shù)綜合常作為壓軸題在中考中出現(xiàn)，通常融合一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)中的兩種或三種，具體解析時要把握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐步推理解析，有如下三種破解策略.

策略1：數(shù)形結(jié)合解析.對于多函數(shù)幾何問題，可采用數(shù)形結(jié)合的分析策略，即審題、讀題、理解圖象，把握圖象挖掘隱含條件，利用圖象模型來轉(zhuǎn)化條件.

策略2：把握對應(yīng)關(guān)系.函數(shù)解析式與圖象之間存在一定的關(guān)聯(lián)，探究解析時可從“數(shù)”與“形”兩個視角來解讀.如聯(lián)立函數(shù)解析式構(gòu)建方程，所求點的坐標(biāo)即為函數(shù)圖象的交點，解的個數(shù)即為交點的個數(shù).也可反向利用交點個數(shù)來解析方程解的個數(shù).

策略3：提取模型簡化.多函數(shù)幾何問題的綜合性強(qiáng)，解題時可以采用模型提取的方式，即簡化圖象，提取特殊模型，利用模型來轉(zhuǎn)化條件.如提取圖象中的全等或相似模型，直角三角形或等邊三角形模型，利用模型特性來分析與轉(zhuǎn)化條件.

拓展探究

上述總結(jié)了多函數(shù)問題的解題策略，以及典型問題的解題方法，下面結(jié)合實例進(jìn)一步探究，強(qiáng)化解法，積累解題方法.