鐘蘇川 高仕龍 史思紅 張路

摘 要： 本文研究了一類分數階星型耦合網絡模型的隨機共振行為，該網絡由一個中心粒子和多個耦合粒子組成，其中粒子的耦合強度受到雙態(tài)噪聲的擾動. 本文將耦合粒子運動軌跡的算術平均值定義為系統(tǒng)的平均場，然后分別討論了中心粒子和平均場的統(tǒng)計特征和共振行為. 利用隨機平均法及變換技巧，本文首先推導了中心粒子和平均場的一階穩(wěn)態(tài)矩和穩(wěn)態(tài)響應振幅的表達式，然后分析了中心粒子和平均場的運動軌跡的一致性條件以及耦合粒子的同步條件，最后數值研究了中心粒子和平均場的共振行為. 仿真結果顯示，網絡存在豐富的共振行為：中心粒子和平均場的穩(wěn)態(tài)響應均可能出現“單峰共振”“單峰-單谷共振”“單谷-單峰共振”及“逆共振”等共振行為，說明中心粒子和平均場的穩(wěn)態(tài)響應對參數的依賴性很高. 此外，本文還基于中心粒子和平均場的穩(wěn)態(tài)響應振幅給出了模型的共振區(qū). 本研究可望為分數階星型網絡共振行為的控制提供理論基礎.

關鍵詞： 星型耦合網絡； 隨機共振； 雙態(tài)噪聲； 分數階Langevin 系統(tǒng)

中圖分類號： O29 文獻標志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 031001

1 引言

在許多應用系統(tǒng)（ 如物理系統(tǒng)、生化系統(tǒng)）中，隨機漲落現象普遍存在. 對于小尺度反應系統(tǒng)而言，隨機漲落起著關鍵作用. 引起漲落的主要原因是系統(tǒng)本身的運動產生的內噪聲及外部環(huán)境波動產生的外噪聲［1-4］. 外噪聲即通常所說的隨機力，一般被視為消極性干擾. 然而，近年來非線性科學和統(tǒng)計物理學的研究揭示，無規(guī)則的隨機力并不總是對宏觀秩序起消極破壞作用，在一定條件下它在產生相干運動和建立“序”上起十分積極的創(chuàng)造性作用［5］. 因此，揭示非線性條件下隨機力產生的各種效應，如隨機共振（Stochastic Resonance，SR）［6-8］、相干共振（Coherent Resonance，CR）［9-11］、噪聲誘導相變（Noise Induced Phase Transition）［12-13］和布朗馬達（Brownian Motor）［14-16］等，成為非線性科學和統(tǒng)計物理研究中的一個熱點.

近年來，分數階微積分理論受到極大關注. 在黏彈性材料、色噪聲、混沌、反常擴散等現象的研究中，分數階微積分理論有廣泛的應用. 分數階微積分可以描述具有時間記憶性和長程空間相關性的演化過程，比整數階微積分更適合于描述有記憶和遺傳、路徑依賴性質的物理過程和生化反應過程. 特別地，對隨機力作用下的分數階朗之萬方程或廣義朗之萬方程的共振行為的研究已有不少. 其中，Mankin 等［17-19］對雙態(tài)和三態(tài)噪聲驅動的分數階線性朗之萬方程進行了研究，分析了乘性噪聲驅動的線性分數階線性朗之萬方程的各種廣義隨機共振現象及機理. Zhong 等［20-22］研究了單個分數階隨機動力系統(tǒng)在不同參數漲落、時延影響下的共振行為. 這些研究為分數階動力系統(tǒng)的隨機共振成為一個新研究方向提供了可能.

然而，僅對單個隨機動力系統(tǒng)的共振行為展開研究還不夠充分. 事實上，復雜系統(tǒng)的涌現行為意味著我們業(yè)需要研究具有相互作用的大量個體所組成的復雜、耦合系統(tǒng). 在復雜網絡系統(tǒng)中，個體之間的合作行為有多種多樣的表現形式. 從個體耦合形式來看，耦合系統(tǒng)可以分為線性耦合和非線性耦合、最近鄰耦合、全局耦合和星型耦合網絡，等［23］. 此外，由于環(huán)境波動和系統(tǒng)內部漲落的普遍存在，隨機力廣泛存在于各網絡中. 因此，研究受隨機力影響的網絡系統(tǒng)的隨機動力學行為具有現實意義.

同步和共振作為典型的集群動力學行為，是隨機動力學和網絡科學研究領域的一個新前沿和交叉點［24］. 在這方面，Lin 等［25， 26］研究了隨機耦合粒子在復雜環(huán)境中的集體輸運行為，揭示了輸運速度所具有的隨機共振和相干共振等行為對系統(tǒng)參數和環(huán)境的依賴性. Gao 等［27］研究了耦合系數的冪律異質性對一類雙穩(wěn)中心耦合系統(tǒng)集體行為的影響，觀測到共振、非共振、亞共振和超共振等現象. Xia 等［28］從理論和數值仿真的角度研究了具有質量漲落的雙分數階耦合諧振子系統(tǒng)的多種隨機共振行為及其產生機理. Ni 等［29］研究了隨機中心耦合布朗馬達的定向輸運與隨機共振現象，分析了耦合系統(tǒng)結構參數和噪聲對粒子輸運及共振的影響. Lin 等［30］研究了具有截斷Mittag-Leffler 噪聲的質量漲落耦合振子的集體共振行為及其對模型參數的非單調依賴性.

就我們所知，目前對分數階星型耦合網絡的隨機共振行為及噪聲作用機理的研究還很少見，本文正是這方面研究的一個嘗試. 我們的分數階星型耦合網絡模型由一個中心粒子和N 個完全相同的輔助粒子構成. 為研究方便，我們將環(huán)境的擾動作用于耦合強度上的隨機力建模為雙態(tài)噪聲.通過將N 個輔助粒子的運動軌跡的算術平均定義為模型的平均場，我們將中心粒子和平均場作為主要研究對象. 我們以隨機平均和變換法求解為研究手段，推導獲得了中心粒子和平均場響應的一階穩(wěn)態(tài)矩和穩(wěn)態(tài)響應振幅的解析表達式，分析了中心粒子和平均場的運動軌跡的一致性條件及耦合粒子的同步條件. 最后，基于網絡中心粒子和平均場的穩(wěn)態(tài)響應振幅的解析表達式，我們研究了在不同參數組合情況下中心粒子和平均場穩(wěn)態(tài)響應振幅的共振行為. 仿真結果表明，中心粒子和平均場都可以產生“單峰共振”、“單峰-單谷共振”、“單谷-單峰共振”和“逆共振”等多種共振行為，表明網絡的穩(wěn)態(tài)響應振幅對參數的強依賴性.