李玲

探究式教學(xué)是數(shù)學(xué)新課標(biāo)中提出的一項(xiàng)新的教學(xué)模式，它重視學(xué)生的主體地位，注重師生之間的互動(dòng)，在數(shù)字化賦能模式下其優(yōu)勢(shì)更為明顯，能為學(xué)生帶來(lái)更加豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。本文借助數(shù)字化教育技術(shù)工具開(kāi)展“圓與圓的位置關(guān)系”教學(xué)，旨在讓學(xué)生主動(dòng)探究，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

一、教材分析

“圓與圓的位置關(guān)系”是人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第二章“直線和圓的方程”中的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)直線和圓的方程中最為基礎(chǔ)和重要的部分。圓與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的延伸，是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)和解析幾何的重要基礎(chǔ)。

二、數(shù)字化賦能下探究教學(xué)的意義

教師通過(guò)數(shù)字化信息技術(shù)工具實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)實(shí)踐，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展，而且可以促進(jìn)學(xué)生信息素養(yǎng)的培養(yǎng)。引入數(shù)字化高中數(shù)學(xué)智能課程可以為學(xué)生帶來(lái)具體的、實(shí)用的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，吸引學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。所以，數(shù)字化賦能下的高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)可以很好地滿足當(dāng)代高中生的學(xué)習(xí)發(fā)展需要，有助于學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)并掌握課堂知識(shí)。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1.動(dòng)畫情境，激趣引入

師：同學(xué)們，大家都知道日環(huán)食吧。現(xiàn)在，如果我們從數(shù)學(xué)的角度把太陽(yáng)和月亮看作是兩個(gè)圓，那么通過(guò)月亮和太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，就形成了兩個(gè)圓與圓的位置關(guān)系。

（通過(guò)微視頻呈現(xiàn)日環(huán)食的全過(guò)程，以及圓與圓的位置關(guān)系圖形，如圖1所示。）

（設(shè)計(jì)意圖：用日環(huán)食這一天文現(xiàn)象激發(fā)學(xué)生對(duì)新知主動(dòng)探索的興趣。用數(shù)字化短視頻將日環(huán)食圖文并茂地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，可以觸發(fā)學(xué)生的視覺(jué)感受，再通過(guò)情境的轉(zhuǎn)化導(dǎo)入新知，這樣學(xué)習(xí)效果更佳。）

2.逐層演示，揭示概念

師：大家仔細(xì)觀察微視頻中兩個(gè)圓運(yùn)動(dòng)變化產(chǎn)生的位置關(guān)系。

（正常速度播放微視頻）

生1：兩個(gè)圓慢慢靠近但還沒(méi)有接觸之前，它們屬于外離關(guān)系。

生2：當(dāng)圓與圓接觸，它們只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)圓屬于外切關(guān)系。

生3：當(dāng)兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)圓屬于相交關(guān)系。

生4：當(dāng)小圓徹底融入大圓，有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩圓關(guān)系屬于內(nèi)切。

生5：當(dāng)小圓徹底融入大圓中且沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，兩圓內(nèi)含。

師：大家看一下兩個(gè)圓運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)作回放。

（用微視頻慢播放呈現(xiàn)五種位置關(guān)系，如圖2所示。）

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)微視頻讓學(xué)生進(jìn)行自主觀察、探索并得出圓與圓的五種位置關(guān)系、五種位置關(guān)系的特點(diǎn)性質(zhì)，讓學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)體系。）■

圖2

（二）探究本質(zhì)，得出新知

探究一：圓與圓位置關(guān)系的判定

師：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們?nèi)绾闻卸▓A與圓的位置關(guān)系是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含呢？

生1：觀察兩個(gè)圓之間是否有交點(diǎn)，如果沒(méi)有交點(diǎn)，那就是外離或者內(nèi)含；如果有交點(diǎn)，那就是外切、相交或內(nèi)切。

師：外離、內(nèi)含該如何判定？外切、相交、內(nèi)切又該如何判定？我們能否通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷位置關(guān)系呢？

生2：我們可以通過(guò)兩個(gè)圓的圓心距和半徑來(lái)判定。如果圓心距大于兩個(gè)圓的半徑之和，那么兩圓外離；如果圓心距等于兩個(gè)圓的半徑之和，那么兩圓外切；如果圓心距小于兩圓半徑之和那么兩圓相交、內(nèi)切或內(nèi)含。

師：那么又出現(xiàn)了一個(gè)新的問(wèn)題，圓心距小于半徑之和時(shí)又該怎樣判斷兩圓是相交、內(nèi)切還是內(nèi)含呢？下面我們一起探索影響圓與圓位置關(guān)系的數(shù)量因素。出示用代數(shù)的方法來(lái)判斷圓與圓的位置關(guān)系的圖表（見(jiàn)表1）：

師：假設(shè)兩個(gè)圓C1和C2的半徑分別為r1、r2，圓心距為d，那么兩個(gè)圓的位置關(guān)系如表2所示。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教師提問(wèn)學(xué)生探究，教師再提問(wèn)學(xué)生再探究的方式，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的積極性。學(xué)生在探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題并獲得自主學(xué)習(xí)能力的提升。）

探究二：習(xí)題訓(xùn)練，強(qiáng)化鞏固

師：將兩個(gè)相交的圓的方程x2+y2+Dix+Eix+Fi=0（i=1，2）相減，可以得到一條直線方程，那么這條直線方程具有什么特殊性？

生：兩圓相減得到一條直線方程，那么它會(huì)經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)，所以該直線為兩圓公共弦所在的直線。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)題拓展學(xué)生思維，讓學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，形成舉一反三的能力，達(dá)到學(xué)以致用的目的。）

（三）內(nèi)化鞏固，拓展探究

1.判一判

師：圓是軸對(duì)稱圖形，那么兩個(gè)圓共同組成的圖形也是軸對(duì)稱圖形嗎？

生1：是的，它們的對(duì)稱軸就是兩個(gè)圓圓心的連線。

師：經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓心的線稱為連心線，兩個(gè)圓心間線段的長(zhǎng)度為圓心距。

師：如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)與連接線的位置關(guān)系如何？

（讓學(xué)生畫一畫）

生2：切點(diǎn)會(huì)在這條連接線上。

師：非常正確，所以我們得到了“如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上”這一數(shù)學(xué)性質(zhì)。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)判斷、動(dòng)手、動(dòng)腦獲得正確答案，這樣既可以鍛煉學(xué)生自主解決問(wèn)題的能力，又可以提高學(xué)生的邏輯思維能力。）

2.玩一玩

教師設(shè)計(jì)課堂游戲競(jìng)賽，將班組學(xué)生分成若干小組，每小組由兩人組成，各成員要相互配合，確定所得答案的正確性及解題過(guò)程及步驟的規(guī)范性。分組時(shí)采用“幫帶”原則，按照“組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì)”分配小組，保證每個(gè)小組都能水平相當(dāng)、能力相近、公平競(jìng)爭(zhēng)。

具體設(shè)計(jì)如下：先用多媒體呈現(xiàn)例題，得到例題之后每個(gè)小組有5分鐘的時(shí)間來(lái)解答，解答完成之后直接讓學(xué)生提交。計(jì)算機(jī)通過(guò)大數(shù)據(jù)處理對(duì)提交的答案給予判定。哪一組提交的答案既快又準(zhǔn)確，給哪一組加一分。一共設(shè)置例題5道，滿分5分，用時(shí)25分鐘。

（設(shè)計(jì)意圖：一是通過(guò)例題對(duì)課堂所講知識(shí)進(jìn)行強(qiáng)化和鞏固；二是借助數(shù)字化信息技術(shù)工具組織課堂游戲，讓課堂變得生動(dòng)有趣；三是通過(guò)科學(xué)合理分組探究，幫助全班學(xué)生共同進(jìn)步。）

3.練一練

師：前面我們學(xué)習(xí)了兩圓不相等情況下的位置關(guān)系，如果兩圓半徑相等，兩個(gè)圓的位置關(guān)系會(huì)有幾種？

生1：（學(xué)生自主畫圖）四種：外離、外切、相交、重合，因?yàn)閮蓤A半徑相同時(shí)它們內(nèi)切和內(nèi)含時(shí)會(huì)重合。

（教師用多媒體進(jìn)行動(dòng)畫展示）

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生觸類旁通，用常規(guī)方法解決個(gè)別問(wèn)題。）

師：如果兩圓是內(nèi)含關(guān)系，兩圓的圓心在同一個(gè)位置上（圓心重合），那么圓心距為多少？

生2：圓心距為0。

（多媒體展示圖形）

（設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這種探究類問(wèn)題，主要是為了讓學(xué)生掌握特殊情況下的特殊條件，避免出現(xiàn)忽視條件而結(jié)題的錯(cuò)誤。）

師：如果兩個(gè)圓的半徑為5+t和5-t（0＜t＜5），圓心距為2t，那么兩圓的位置關(guān)系是怎樣的？

生3：如果圓心距為2t，那么2t=（5+t）-（5-t），所以兩圓為內(nèi)切關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：從已知圓心距來(lái)求兩個(gè)圓的位置關(guān)系，用反向思維來(lái)推斷確定位置關(guān)系，解題效率更快。）

師：兩圓外切時(shí)圓心距為12，內(nèi)切時(shí)圓心距為4，求這兩個(gè)圓的半徑分別為多少。

生4：假設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為r1、r2則：

外切時(shí)圓心距為r1+r2=12.............A

內(nèi)切時(shí)圓心距為r1-r2=4................B

A+B=2r1=16，所以，r1=8，r2=4.

因此，這兩個(gè)圓的半徑分別為8和4。

（設(shè)計(jì)意圖：如果學(xué)生的思維只停留在前兩部分，那么將很難得到解。這一練習(xí)題型的設(shè)計(jì)不僅是對(duì)前兩個(gè)題型的鞏固和延伸，還是對(duì)學(xué)生思維轉(zhuǎn)化能力的鍛煉。）

（四）課堂總結(jié)，完善認(rèn)識(shí)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓與圓的五種位置關(guān)系，以及每個(gè)位置關(guān)系的判定方式，借助數(shù)字化信息技術(shù)工具組織了一系列課堂探究活動(dòng)；并對(duì)通過(guò)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系來(lái)判定圓與圓的位置關(guān)系，做了一些較為基礎(chǔ)的練習(xí)題，旨在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，為以后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

四、教學(xué)反思

優(yōu)點(diǎn)：本課以深度學(xué)習(xí)為理論基礎(chǔ)，以現(xiàn)代信息技術(shù)工具為課堂輔助，以問(wèn)題為導(dǎo)向，以學(xué)生自主探究為主要方式，注重在實(shí)踐中應(yīng)用、在應(yīng)用中強(qiáng)化，構(gòu)建了數(shù)字化賦能下的高效高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生能在“真實(shí)”的學(xué)習(xí)情境中通過(guò)自主探究、合作探究等方式深入了解了圓與圓的位置關(guān)系，并能運(yùn)用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

不足：在課時(shí)設(shè)計(jì)上留給學(xué)生自主探究和發(fā)現(xiàn)的時(shí)間太少。為減輕學(xué)生課后學(xué)習(xí)的壓力，教師應(yīng)充分利用好數(shù)字化工具，以提高課堂教學(xué)容量和效率，給學(xué)生更多的課余時(shí)間去完成一些具有探索性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)。

（作者單位：山西省太原市晉陽(yáng)街山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

編輯：蔚慧敏