一、問題提出

PBL教學(xué)模式是以建構(gòu)主義為理論基礎(chǔ)，以問題為教學(xué)驅(qū)動(dòng)，依托真實(shí)生活情境，以小組合作交流為教學(xué)載體，以多元評(píng)價(jià)為教學(xué)反思的綜合性教學(xué)模式。在該模式下，教師是課堂的引導(dǎo)者，以問題為基礎(chǔ)，圍繞問題的生成、猜想、探究、感悟展開教學(xué)，通過引、問、導(dǎo)幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)；學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，通過問題探究、獨(dú)立思考、小組討論等方式經(jīng)歷思、探、悟，從而內(nèi)化知識(shí)。

數(shù)學(xué)公式教學(xué)容易形成“一背二套”“公式加例題”的模式，輕證明重應(yīng)用、輕理解重記憶。在誘導(dǎo)公式一節(jié)中，這種現(xiàn)象尤為突出，過往我們大多將誘導(dǎo)公式僅視為求值化簡的工具，忽視了公式的來龍去脈，導(dǎo)致不少學(xué)生無法準(zhǔn)確記憶、熟練應(yīng)用?；诖耍疚膶L試在大單元教學(xué)的視域下，探索將PBL教學(xué)模式融入誘導(dǎo)公式的課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)的有效性。

二、教學(xué)分析

（一）內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容安排在“任意角和弧度制”“三角函數(shù)的概念”之后，可以視作三角函數(shù)性質(zhì)的延伸，遵循函數(shù)的研究脈絡(luò)，從數(shù)與形的角度入手分析，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性。同時(shí)，誘導(dǎo)公式也是三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，是描述函數(shù)周期性的重要工具，有著承上啟下的作用，為后續(xù)學(xué)習(xí)角的和差倍分、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)打下基礎(chǔ)。本文將著重探討PBL教學(xué)模式在第一課時(shí)公式教學(xué)中的應(yīng)用。

本節(jié)對(duì)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)大致可分為兩種思路：對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)。但在舊版教材以及新人教B版、湘教版教材中，均提到了可利用已證明的誘導(dǎo)公式，通過三角函數(shù)變形推導(dǎo)得新的誘導(dǎo)公式的方法，從代數(shù)角度體現(xiàn)公式間的內(nèi)在聯(lián)系。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段對(duì)銳角三角函數(shù)已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，并掌握了任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念等知識(shí)，對(duì)集合、函數(shù)也有一定的理解。此外，學(xué)生也經(jīng)歷了借助單位圓研究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的學(xué)習(xí)過程，積累了一些合作探究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，具有一定的問題意識(shí)，初步形成了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，但其自主探究問題的能力不足、思維欠缺嚴(yán)謹(jǐn)性，過程中需要教師適時(shí)引導(dǎo)、歸納梳理。

（三）教法研究

PBL教學(xué)模式倡導(dǎo)教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，發(fā)揮其主動(dòng)性以建構(gòu)更可靠的知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。選擇從已經(jīng)學(xué)過的三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式一等知識(shí)入手，借助單位圓研究三角函數(shù)的方法，再通過具體三角函數(shù)值的求解設(shè)置認(rèn)知沖突，力求創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的數(shù)學(xué)情境，使公式的引入流暢自然，符合知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律。

在本章中，單位圓是問題研究的腳手架，而誘導(dǎo)公式本質(zhì)上是圓的對(duì)稱性的解析表示，因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)充分滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。借助單位圓，突出誘導(dǎo)公式的幾何本質(zhì)；合理使用信息技術(shù)，如使用GGB軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，挖掘角的終邊與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，將抽象問題具體化，便于學(xué)生理解和記憶。

在具體實(shí)施過程中，PBL教學(xué)模式認(rèn)為問題是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是知識(shí)選擇的根本依據(jù)，教師要“會(huì)問”，從學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平出發(fā)，引導(dǎo)其建立內(nèi)在的“已知”與“未知”的聯(lián)系?！皢栴}是數(shù)學(xué)的心臟”，教師可基于教學(xué)內(nèi)容設(shè)置梯度合理的問題串以驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，由淺入深、層層遞進(jìn)，問題指向明確、表達(dá)簡明清晰。同時(shí)，PBL教學(xué)模式倡導(dǎo)合作性的課堂學(xué)習(xí)，認(rèn)為在學(xué)生充分發(fā)散思維的情況下，加強(qiáng)小組溝通與合作有利于培養(yǎng)其創(chuàng)新精神、促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化。在本節(jié)中，教師可在完成公式二的推導(dǎo)之后，引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位自主完成后續(xù)公式探究，并關(guān)注學(xué)生的課堂生成，合理規(guī)劃、適當(dāng)干預(yù)、多元評(píng)價(jià)，以免探究流于形式。

（四）教學(xué)目標(biāo)

借助單位圓的對(duì)稱性，利用定義推導(dǎo)公式二～六。

（五）教學(xué)重點(diǎn)

利用圓的對(duì)稱性探究公式二～六。

（六）教學(xué)難點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間的關(guān)系，建立聯(lián)系。

三、教學(xué)過程

●環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

引入：在之前的學(xué)習(xí)中，我們借助單位圓定義了三角函數(shù)，并得到了誘導(dǎo)公式一，認(rèn)識(shí)到了三角函數(shù)周而復(fù)始的變化規(guī)律。再結(jié)合單位圓的幾何性質(zhì)，得到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

現(xiàn)已知sin20°=a，應(yīng)如何表示sin 380°，sin 200°，sin（-20°），sin160°，sin70°，sin110°等三角函數(shù)的值呢？

學(xué)生聯(lián)系三角函數(shù)的定義，在單位圓中畫出角的終邊猜想結(jié)果。

師：上述猜想是否正確，需要我們進(jìn)一步探究求證。我們知道，圓最重要的性質(zhì)是對(duì)稱性，而對(duì)稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)。那么，我們能否利用圓的對(duì)稱性來進(jìn)一步研究三角函數(shù)的對(duì)稱性呢？

（設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)過渡到一般抽象的三角函數(shù)的探究作鋪墊。）

●環(huán)節(jié)二：公式探究，深化理解

△探究1：

（1）如圖1所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1。

作P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P2，那么以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？

師：P1與P2兩點(diǎn)間的坐標(biāo)有什么關(guān)系？可否由三角函數(shù)的定義得到角β與角α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系？

追問1：除了由原點(diǎn)對(duì)稱得到外，角（π+α）還可以看成是角α經(jīng)歷怎樣的變換得到？

追問2：回顧公式二的探究過程，你能簡要概括我們的探究步驟嗎？

學(xué)生歸納，教師補(bǔ)充：圓的對(duì)稱性—角與角的關(guān)系—坐標(biāo)間的關(guān)系—三角函數(shù)的關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：探究（1）引導(dǎo)學(xué)生建立起圓的性質(zhì)與三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式之間的聯(lián)系。追問1意在引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)的角度認(rèn)識(shí)圓的中心對(duì)稱性；追問2意在歸納程序、建立研究方法，為后續(xù)類比遷移積累經(jīng)驗(yàn)。）

（2）請(qǐng)類比公式二的推導(dǎo)過程，嘗試探究：如過P1作關(guān)于x軸（或y軸）的對(duì)稱點(diǎn)P3（或P4），那么又可以得到什么結(jié)論？

小組合作探究、學(xué)生代表展示，師生修改完善，得到公式三、四，歸納公式特征。

追問1：上述推導(dǎo)過程中是否用到了P1所在的位置條件？如果P1在其他象限或者坐標(biāo)軸上，P1與P3間的坐標(biāo)關(guān)系、P1與P4間的坐標(biāo)關(guān)系會(huì)改變嗎？

追問2：公式二～四中的角α的取值范圍是什么？

教師借助GGB軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察公式二～四中角α變化時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，驗(yàn)證誘導(dǎo)公式的普適性。

（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生善于思考、敢于質(zhì)疑的科學(xué)精神。）

△探究2：

考慮其他的對(duì)稱關(guān)系，我們是否還能得到一些特殊結(jié)論呢？

作P1關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P1，以O(shè)P5為終邊的角γ與角α有什么關(guān)系？角γ與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

追問1：關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系？

追問2：類比公式二～四，可以得到什么結(jié)論？

教師提示輔助線，學(xué)生結(jié)合平面幾何知識(shí)完成推導(dǎo)。須說明考慮到α的任意性，關(guān)于坐標(biāo)關(guān)系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明將留在后續(xù)解析幾何的學(xué)習(xí)中完成。

△探究3：

以上探究1、探究2中，我們都是對(duì)P1作了一次對(duì)稱變換，如果再作P5關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，又能得到什么結(jié)論？

追問1：是否還有其他的變換方式呢？據(jù)此你將如何證明公式六？

生1：（軸對(duì)稱）角α的終邊首先關(guān)于x軸作對(duì)稱，再關(guān)于直線y=x作對(duì)稱。

生2：（旋轉(zhuǎn)對(duì)稱）將角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

追問2：除了利用對(duì)稱性，可否利用已有公式推導(dǎo)誘導(dǎo)公式六呢？

教師借助多媒體展示學(xué)生具有代表性的推導(dǎo)過程，共同探討完善。

追問3：公式五、六中角α的取值范圍是什么？

（設(shè)計(jì)意圖：追問1引入旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，為后續(xù)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)作鋪墊；追問2從代數(shù)角度體現(xiàn)公式間的內(nèi)在聯(lián)系。）

●環(huán)節(jié)三：課堂回顧，總結(jié)提升

本節(jié)我們學(xué)習(xí)了哪些誘導(dǎo)公式？請(qǐng)你回顧探究過程，思考我們的推導(dǎo)思路是怎樣的，當(dāng)中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)思想方法。

師生共同歸納得出以下思路（見圖2）：

師：本節(jié)課，我們通過類比同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的研究方法，借助單位圓的對(duì)稱性推導(dǎo)得到誘導(dǎo)公式，由單個(gè)公式的學(xué)習(xí)過渡到公式串的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一致性和連貫性。值得關(guān)注的是，三角函數(shù)是以角為變量的特殊的函數(shù)，其內(nèi)容框架和探究路徑與我們之前探究的其他函數(shù)相似，當(dāng)前學(xué)習(xí)的6組誘導(dǎo)公式都反映了三角函數(shù)的性質(zhì)，也是后續(xù)探究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)。而由平面幾何的知識(shí)可知，圓最重要的性質(zhì)是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，其中又蘊(yùn)含著三角函數(shù)哪些重要的性質(zhì)呢？待我們后續(xù)進(jìn)一步探究。

（設(shè)計(jì)意圖：從大單元教學(xué)的視域下再次認(rèn)識(shí)誘導(dǎo)公式，有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系。）

●環(huán)節(jié)四：課后訓(xùn)練，反思內(nèi)化

1.結(jié)合單位圓完成本節(jié)內(nèi)容的思維導(dǎo)圖。

2.嘗試推導(dǎo)圓的正切。

3.完成本節(jié)課后習(xí)題。

四、教學(xué)反思

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中蘊(yùn)含著“濃縮在教材中的數(shù)學(xué)家思維、對(duì)教材進(jìn)行再加工的教師思維、被教材和教師引導(dǎo)著的學(xué)生思維”三種思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)就是這三種思維相互碰撞和交融的過程。PBL教學(xué)模式應(yīng)用于公式教學(xué)，一方面有利于促進(jìn)教師深入整合教材、設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓數(shù)學(xué)家思維更為自然地與學(xué)生思維對(duì)接；另一方面，以問題為驅(qū)動(dòng)力，創(chuàng)設(shè)情境、合作探究、拓展延伸、反饋評(píng)價(jià)等教學(xué)環(huán)節(jié)，有利于加深學(xué)生對(duì)問題的思考與知識(shí)的建構(gòu)，提升其解決問題的能力。值得注意的是，當(dāng)前PBL教學(xué)模式應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)還面臨一些困境，如課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)不合理、學(xué)生探究合作不夠深入、評(píng)價(jià)較為單一等，這需要廣大教師不斷實(shí)踐探索、思考交流、沉淀經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：福建省廈門集美中學(xué)）

編輯：曾彥慧

注：本文系廈門市第六批基礎(chǔ)教育課程改革課題（Z643）的研究成果。

作者簡介：余奕（1994—），女，漢族，福建廈門人，理學(xué)學(xué)士，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教育。