王曉梅 計東海

摘 要：參考內積空間中正交組的定義，在有限維實Banach空間中引入了Birkhoff正交組的概念，并圍繞光滑的Banach空間中是否存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組這一問題展開研究。證明了二維光滑的Banach空間中不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組；三維及以上的光滑Banach空間中不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)且所含元素均為左（右）對稱點的Birkhoff正交組。表明了若n（≥3）維光滑的Banach空間中存在Birkhoff正交組A={x1，x2，…，xn，xn+1}，則A必不滿足以下兩個條件：（1）對A中任意一點xm有xm⊥Bxi（i≠m）；（2）對A中任意一點xm有xi⊥Bxm（i≠m）。

關鍵詞：Banach空間；Birkhoff正交；Birkhoff正交組；光滑性

DOI：10.15938/j.jhust.2024.01.016

中圖分類號： O177? 文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）01-0143-07

A Study of Birkhoff Orthogonal Sets in Smooth Banach Spaces

WANG Xiaomei， JI Donghai

（College of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Referring to the definition of orthogonal set in inner product space， the concept of Birkhoff orthogonal set is introduced in finite-dimensional real Banach spaces， and the problem of whether there exists a Birkhoff orthogonal set whose number of elements exceeds the space dimension is studied in smooth Banach spaces. It is proved that there is no Birkhoff orthogonal set whose number of elements exceeds the space dimension in two-dimensional smooth Banach spaces. In a smooth Banach space with more than three dimensions， there is no Birkhoff orthogonal set with more elements than the space dimension and all the elements are left （right） symmetric points. It is also proved that if there is a Birkhoff orthogonal set A={x1，x2，…，xn，xn+1} in an n-dimensional （n≥3） smooth Banach space， and then A must not satisfy the following two conditions： （1）for each xm∈A， there exists xm⊥Bxi（i≠m）; （2）for each xm∈A， there exists xi⊥Bxm（i≠m）.

Keywords：Banach space; Birkhoff orthogonality; Birkhoff orthogonal set; smoothness

0 引 言

眾所周知， 正交性的存在使得內積空間具有許多重要的幾何特征。隨著賦范線性空間廣義正交性的出現(xiàn)，將內積空間中的相關理論推廣到一般賦范線性空間，豐富賦范線性空間的幾何知識成為可能。

Birkhoff正交［1］在Banach空間的幾何研究中起著至關重要的作用。Birkhoff正交與空間的各種幾何性質（如光滑性、嚴格凸性等）之間有著自然地聯(lián)系。Birkhoff正交是許多中外學者一直以來的研究熱點。

參考內積空間中正交組的定義，自然地可以給出實有限維Banach空間中Birkhoff正交組的定義。

在實有限維Banach空間中，若一組非零元素它們兩兩Birkhoff正交就稱為Birkhoff正交組。本文的主要目的是對Birkhoff正交組進行研究?；诖?，需要了解Birkhoff正交的一系列性質。

JAMES R C詳細研究了Birkhoff正交的相關性質［2-3］，他指出三維以上的實賦范空間中的Birkhoff正交如果是對稱的，則該空間是內積空間；Birkhoff正交具有齊次性；它不具有唯一性，一個空間中的Birkhoff正交是是左唯一的當且僅當該空間是嚴格凸的；Birkhoff正交是右唯一的或者是右可加的當且僅當該空間是光滑的。Birkhoff正交相關性質的研究正在不斷豐富［4-11］。由于內積空間中的正交具有對稱性而Birkhoff正交在一般賦范線性空間中不具有對稱性，許多學者在Birkhoff正交對稱性這一研究方向得出了許多結論［12-18］。

2016年，GHOSH P等在文［12］中研究了有限維實Hilbert空間H上定義的線性算子為左（右）Birkhoff正交對稱充要條件。2017年，SAIN D 在Banach空間中引入了Birkhoff正交意義下的左對稱點和右對稱點的概念［13］。該論文還研究了有限維Banach空間X上定義的有界線性算子的Birkhoff正交性及滿足Birkhoff正交性的對稱線性算子。2017年，SAIN D 等人研究了賦范線性空間X上的有界線性算子T的左對稱性［14］。2018年，SAIN D 在文［15］中論證了對于一個實光滑的Banach空間，左對稱點的集合在任何等距下都是不變集。近兩年，CHATTOPADHYAY A等在文［16］中完全刻畫了實Banach空間lnp（1≤p≤∞）中Birkhoff正交意義下的左對稱點和右對稱點。SAIN D 在這之后全面地刻畫了實Banach空間中的左對稱點和右對稱點［17］。

Birkhoff正交組與空間中的左對稱點以及右對稱點有著密切的聯(lián)系，將左對稱點和右對稱點與Birkhoff正交組結合起來，有助于Birkhoff正交組性質的研究，也有助于豐富Birkhoff正交對稱性的研究。

2021年，ARAMBAI L等在文［18］中提出可交換Birkhoff正交的概念。設X是一個實有限維賦范線性空間，x，y∈X，稱x與y為可交換Birkhoff正交的若x⊥By且y⊥Bx，記為x⊥⊥y。根據(jù)可交換Birkhoff正交的定義，可以給出實有限維Banach空間中可交換Birkhoff正交組的定義。在實有限維Banach空間中，若一組非零元素它們兩兩可交換Birkhoff正交就稱為可交換Birkhoff正交組。顯然，可交換Birkhoff正交組必為Birkhoff正交組，反之則不成立。例如在ln∞空間中，集合A={（1，1，0，…，0），（1，－1，0，…，0），（0，1，0，…，0）}為空間中的Birkhoff正交組，但不是可交換Birkhoff正交組。

正如大眾所知內積空間中的一組非零元素，如果它們兩兩正交就稱為正交組。在n（∈N）維內積空間中兩兩正交的非零元素不能超過n個，即內積空間中不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的正交組。ARAMBAI L等在文［18］中表明n維光滑賦范線性空間中至多有n個兩兩可交換Birkhoff正交的非零元素。這表明n維光滑的Banach空間中不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的可交換Birkhoff正交組。由于空間中可交換Birkhoff正交組不一定是Birkhoff正交組，故這一性質不一定能應用到Birkhoff正交組上。本文將重點圍繞n（≥2，∈N）維光滑的Banach空間中能否存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組展開研究。

1 預備知識

定義1［1］ 設X是一個實賦范線性空間，x，y∈X，如果對于任意λ∈瘙綆都有

‖x+λy‖≥‖x‖

則稱xBirkhoff正交于y記作x⊥By，稱y為x的Birkhoff正交元。

顯然，若x⊥By且x和y都是非零元素時，x與y是線性無關的。

定義2 設X是一個實有限維Banach空間，AX為所含元素均為非零元素的集合。若對x，y∈A（x≠y），有x⊥By或y⊥Bx。則稱A為Birkhoff正交組。

定義3［13］ 設X是一個實有限維Banach空間，元素x∈X稱為左對稱點若

x⊥Byy⊥Bx

對所有的y∈X成立。

元素x∈X稱為右對稱點若

y⊥Bxx⊥By

對所有的y∈X成立。

若元素x∈X既為左對稱點又為右對稱點，則稱該元素為對稱點。

定義4［19］ 設X為賦范線性空間，x∈X，稱f∈X*為x點處的支撐泛函，若f（x）=‖x‖。

定義5［2］ 賦范線性空間X上的Birkhoff正交是右可加的是指：對x，y，z∈X，若x⊥By且x⊥Bz，則有x⊥By+z。

定理1［3］ 設X為光滑的賦范線性空間，對x∈SX都存在唯一的支撐泛函f∈SX*。

定理2［3］ 設X為賦范線性空間，則X上的Birkhoff正交是右可加的當且僅當X是光滑的。

此外，本文中出現(xiàn)的符號表示含義如表1所示。

2 主要結果

首先，從二維空間開始研究，證明二維光滑的Banach空間中不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組。

引理1［3］ 設X是一個實有限維賦范線性空間，x，y∈X。x⊥By的充要條件是存在f∈X*，使得f（x）＝‖x‖且f（y）＝0。

定理3 設X是一個光滑的實有限維Banach空間且dimX=2。則空間X中不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組。

證明：反證法，假設A=（x1，x2，x3）為空間X中的Birkhoff正交組。由于空間X是光滑的，故A中任一元素xm均存在唯一的支撐泛函fm∈X*。設x1，x2，x3對應的支撐泛函分別為f1，f2，f3。

當x2⊥Bx1和x3⊥Bx1在空間X中同時存在時：

由引理1可得

x2⊥Bx1，x3⊥Bx1

x1∈kerf2，x1∈kerf3

x1∈kerf2∩kerf3

由Birkhoff正交組的定義可知，當x2⊥Bx1和x3⊥Bx1同時存在時，此時必有x2⊥Bx3或x3⊥Bx2。即必有x2∈kerf3或x3∈kerf2。

若kerf2=kerf3，則有x2∈kerf2即x2⊥Bx2。然而x2⊥/

Bx2，矛盾。故kerf2≠kerf3。又由dimX=dimX*=2，故

dim（kerf2）=dim（kerf3）=1

則有

x1∈kerf2∩kerf3={0}

然而x1≠0，矛盾。故x2⊥Bx1和x3⊥Bx1在空間X中不能同時存在。

同理可得x1⊥Bx2和x3⊥Bx2在空間X中不能同時存在；x1⊥Bx3和x2⊥Bx3在空間X中不能同時存在。

此時Birkhoff正交組A=（x1，x2，x3）在空間X中只能有以下兩種可能的Birkhoff正交情況：

1）x1⊥Bx3，x3⊥Bx2，x2⊥Bx1；

2）x1⊥Bx2，x2⊥Bx3，x3⊥Bx1。

考慮情況（1）：

由Birkhoff正交的性質可知此時x1和x3是線性無關的；x3和x2是線性無關的；x2和x1是線性無關的。又因為dimX=2，故A=（x1，x2，x3）在空間X中是線性相關的。則此時有

a1x1+a2x2+a3x3=0（a1a2a3≠0）。

由Birkhoff正交的齊次性可得

x1⊥Bx3a1x1⊥Ba3x3－a2x2－a3x3⊥Ba3x3

‖a2x2+（λ+1）a3x3‖≥‖a2x2+a3x3‖，λ∈x3⊥Bx2a3x3⊥Ba2x2

‖a3x3+λa2x2‖≥‖a3x3‖，λ∈λ=1

‖a3x3+a2x2‖≥‖a3x3‖

x2⊥Bx1a2x2⊥Ba1x1

a2x2⊥B－a2x2－a3x3

‖a2x2+λ（－a2x2－a3x3）‖≥‖a2x2‖，

λ∈λ=1‖a3x3‖≥‖a2x2‖

故

x1⊥Bx3，x3⊥Bx2，x2⊥Bx1

‖a2x2+（λ+1）a3x3‖≥

‖a2x2+a3x3‖≥‖a3x3‖≥‖a2x2‖，

λ∈x2⊥Bx3

然而，由上述可知x1⊥Bx3和x2⊥Bx3在空間X中不能同時存在，矛盾。

同理考慮情況（2）可得

x1⊥Bx2，x2⊥Bx3，x3⊥Bx1x3⊥Bx2

由于x1⊥Bx2和x3⊥Bx2在空間X中不能同時存在，矛盾。

綜上所述，可知空間X中不存在Birkhoff正交組A=（x1，x2，x3）。

若空間X中存在Birkhoff正交組

S={x1，x2，x3，x4}，則必存在S的子集

A=（x1，x2，x3）為空間X的Birkhoff正交組，矛盾。

同理，以此類推可以證得空間X中不存在超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組，證畢。

由于所含元素個數(shù)為二的Birkhoff正交組必為線性無關組，故由定理3可得出如下結論。

推論1 設X是一個光滑的實有限維Banach空間且dimX=2。則空間X中的Birkhoff正交組為線性無關組。

接下來研究光滑的實有限維Banach空間X（dimX≥3）中是否存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組。

既然二維光滑的Banach空間不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組，那么自然地猜想光滑的Banach空間X（dimX≥3）中也不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組。

為了驗證這一猜想，先研究一些具有特殊性質的Birkhoff正交組是否符合這個猜想。

設A={x1，x2，…，xn}為光滑的實有限維Banach空間X（dimX≥3）中的Birkhoff正交組，且滿足條件：A中的元素均為左（右）對稱點。接下來證明Birkhoff正交組A在空間X中所含元素個數(shù)必不超過空間維數(shù)。

定理4 設X是一個光滑的實有限維Banach空間且dimX≥3，A={x1，x2，…，xn}為空間X中的Birkhoff正交組且滿足條件：A中的元素均為左（右）對稱點。則Birkhoff正交組A為線性無關組。

證明：由Birkhoff正交組定義可知對于A中的任意兩元素x，y，一定有x⊥By或y⊥Bx。

故當A中的元素均為左（右）對稱點時，A必滿足條件：x1⊥Bxj（j=2，…，n），x2⊥Bxm（m=3，…，n），…，xn－1⊥Bxn。

由于空間X是光滑的，故A中任一點均為空間X中的光滑點。因此A中任一元素xm均存在唯一的支撐泛函fm∈X*。

設x1，x2，…，xn對應的支撐泛函分別為f1，f2，…，fn，由引理1可知

x1⊥Bxj（j=2，…，n）x2，x3，…，xn∈kerf1，

x2⊥Bxm（m=3，…，n）x3，…，xn∈kerf2，

…

xn－1⊥Bxnxn∈kerfn－1。

令∑nj=1cjxj=0則有

c1x1=－c2x2－c3x3－…－cnxn

又因為x2，x3，…，xn∈kerf1則有

f1（c1x1）=f1（－c2x2－c3x3－…－cnxn）=0

即

c1f1（x1）=－c2f1（x2）－c3f1（x3）－…－cnf1（xn）=0

因f1（x1）=‖x1‖≠0，故有c1=0。

同理，由x3，…，xn∈kerf2以及f2（x2）=‖x2‖≠0可得c2=0。

以此類推可得c1=c2=…=cn=0，故A為線性無關組，證畢。

推論2 設X是一個光滑的實有限維Banach空間且dimX≥3，A={x1，x2，…，xn}為空間X中的Birkhoff正交組且滿足條件：A中的元素均為左（右）對稱點。則A在空間X中所含元素個數(shù)必不超過空間維數(shù)。

受定理4的啟發(fā)，用Birkhoff正交的左（右）對稱點對內積空間進行刻畫。

定理5 設X為實賦范線性空間且dimX≥3?？臻gX為內積空間的充要條件為SX上的點均為左（右）對稱點。

證明：首先證明空間X為內積空間的充要條件為SX上的點均為左對稱點。

因為內積空間中的Birkhoff正交具有對稱性，故當空間X為內積空間時，SX上的點均為對稱點，故均為左對稱點。

當SX上的點均為左對稱點時，對u，v∈SX，

u⊥Bvv⊥Bu

同理

v⊥Buu⊥Bv

即

u⊥Bvv⊥Bu

根據(jù)Birkhoff正交的齊次性可得此時空間X中的Birkhoff正交具有對稱性。由JAMES R C的結論可知空間中的Birkhoff正交具有對稱性當且僅當該空間是內積空間。因此空間X為內積空間。

同理可以證明空間X為內積空間的充要條件為SX上的點均為右對稱點，證畢。

要研究光滑的Banach空間X（dimX≥3）中是否真的不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組這一復雜問題，可以先進行逆向思維。假設空間X中存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組，探究此時這些Birkhoff正交組需要滿足什么條件。

在此之前需要用到文［20］中的一個結論。

引理2［20］ 設X為向量空間，{f，f1，f2，…，fn}X#。f為f1，…，fn的線性組合當且僅當∩nj=1kerfjkerf。

定理6 設X是一個光滑的實有限維Banach空間且dimX≥3，A={x1，x2，…，xn}為空間X中的Birkhoff正交組，對xi∈A（i=1，2，…，n）有唯一的支撐泛函fi。若A中存在元素xm滿足其對應支撐泛函fm為f1，f2，…，fm－1，fm+1，…，fn的線性組合，則必不存在對j≠m有xj⊥Bxm成立。

證明：反證法，假設空間X中的Birkhoff正交組A={x1，x2，…，xn}中存在一點xm滿足其對應對支撐泛函fm為f1，f2，…，fm－1，fm+1，…，fn的線性組合且滿足對j=1，2，…，m－1，m+1，…，n有xj⊥Bxm成立。

由引理1可知

xj⊥Bxm（j=1，2，…，m－1，m+1，…，n）

xm∈∩1，…m－1，m+1，…nj=1kerfj

再由引理2可知fm為f1，f2，…fm－1，fm+1，…，fn的線性組合可以推出

∩1，…m－1，m+1，…nj=1kerfjkerfm

故有xm∈kerfm即有xm⊥Bxm，矛盾。證畢。

定理7 設n∈N，X為n（≥3）維光滑的實Banach空間，A={x1，x2，…，xn，xn+1}為空間X中的Birkhoff正交組。則A必不滿足以下這兩種情況：

1）對A中任意一點xm有xm⊥Bxi（i≠m）；

2）對A中任意一點xm有xi⊥Bxm（i≠m）。

證明：考慮情況（1）： 要證該定理即證在空間X中，A中存在元素不滿足該元素Birkhoff正交于A中其余所有元素的條件。同時可以證得這樣的元素至少有四個。

首先由定理3的證明過程可知光滑的實Banach空間中所含元素個數(shù)為3的Birkhoff正交組必為線性無關組。因此，在光滑的實Banach空間中當所含元素個數(shù)為4的Birkhoff正交組為線性相關組時，該正交組中任一元素均可由其余元素線性表出。故當n=3時，Birkhoff正交組A={x1，x2，x3，x4}中任一元素均可由其余元素線性表出。

當n=4時，Birkhoff正交組A={x1，x2，x3，x4，x5}必定為線性相關的，此時有ax1+bx2+cx3+dx4+ex5=0，其中a，b，c，d，e不全為0。若a，b，c，d，e均不為0，則有五個元素滿足可被除該元素本身外的A中其余元素線性表出的條件。若a，b，c，d，e中有一個元素為0，不妨設a=0且bcde≠0此時必有四個元素滿足可被除該元素本身外的A中其余元素線性表出的條件。若a，b，c，d，e中有兩個元素為0，由定理3的證明過程可知這種情況不存在。同理也不存在a，b，c，d，e中有3個元素為0或者4個元素為0的情況。即當n=4時A={x1，x2，x3，x4，x5}中必定存在4個元素滿足可被除該元素本身外的A中其余元素線性表出的條件。

以此類推可以知道在n（≥3）維光滑的實賦范線性空間中Birkhoff正交組A={x1，x2，…，xn，xn+1}至少存在4個元素滿足可被除該元素本身外的A中其余元素線性表出的條件。

下證若A中某一元素xm滿足可被除該元素本身外的A中其余元素線性表出的條件則該元素必不滿足xmBirkhoff正交于A中其余所有元素的條件。

若元素xm滿足xmBirkhoff正交于A中其余所有元素的條件，根據(jù)Birkhoff正交的齊次性和光滑賦范線性空間中Birkhoff正交的右可加性可得

xm⊥Ba1x1+…+am－1xm－1+am+1xm+1+…+an+1xn+1

即xm⊥Bxm，由上述可知矛盾。

故在空間X中，A中存在元素不滿足該元素Birkhoff正交于A中其余所有元素的條件，且這樣的元素至少有4個。

考慮情況（2）：

要證這個定理即證A中存在一點xm不滿足A中其余所有元素均Birkhoff正交于xm的條件。

由于空間X為n維光滑的，故A為線性相關的且A中任意一元素xm均存在唯一的支撐泛函fm∈X*。

設x1，x2，…，xn，xn+1對應的支撐泛函分別為f1，f2，…，fn，fn+1。由于dimX=dimX*，故S={f1，f2，…，fn，fn+1}在空間X*中是線性相關的，那么S中必定存在元素fm滿足可被其余元素線性表出的條件?？芍撛豧m∈S為xm∈A的支撐泛函，而元素xm∈A即為我們要找的元素xm。

由定理6可知此時xm不滿足A中其余所有元素均Birkhoff正交于xm的條件。故在空間X中，A中存在元素不滿足A中其余所有元素均Birkhoff正交于該元素的條件，證畢。

由定理4可知所含元素均為左（右）對稱點的Birkhoff正交組在光滑的Banach空間中必為線性無關組。那么n（≥3）維光滑的Banach空間中若存在Birkhoff正交組A={x1，x2，…，xn，xn+1}，則A中元素不全為左對稱點或不全為右對稱點。

接下來，進一步證明在n（≥3）維光滑的Banach空間X中，A={x1，x2，…，xn，xn+1}必不由一個左對稱點和n個右對稱點構成。

定理8 設n∈N，X為n（≥3）維光滑的實賦范線性空間，A={x1，x2，…，xn，xn+1}為空間X中Birkhoff正交組。則A必不由一個左對稱點和n個右對稱點構成。

證明：反證法，不妨設xn+1為空間X中的左對稱點，x1，x2，…，xn均為右對稱點。

當x1，x2，…，xn均為右對稱點時，由定理4的證明過程可知此時必然有x1⊥Bxj（j=2，…，n），x2⊥Bxm（m=3，…，n），…，xn－1⊥Bxn。

而當xn+1為左對稱點時，由Birkhoff正交組的定義可知此時必然有

x1，x2，…，xn⊥Bxn+1

由于空間X是光滑的，故x1，x2，…，xn分別存在唯一的支撐泛函f1，f2，…，fn。此時由dimX=n和引理1可知

x1，x2，…，xn⊥Bxn+1

xn+1∈kerf1∩kerf2∩kerf3∩…∩kerfn={0}

然而由Birkhoff正交組定義可知xn+1≠0，矛盾，證畢。

注：上述定理的結論不能更換成：則A必不由一個右對稱點和n個左對稱點構成。因為當A滿足這個條件時，不一定能得出這n個左對稱點均Birkhoff正交于這個右對稱點的結果。故基于上述證明過程，不能找出矛盾點。

3 結 論

針對光滑的Banach空間中是否存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組這一問題，我們已經在二維空間中找到答案。對于三維及以上的空間中是否也具有這樣的性質，我們通過逆向思維得出了一些有助于解決這一復雜問題的有用結論，如定理7以及定理8所示。

基于目前的研究我們猜測三維及以上的光滑Banach空間中不存在所含元素個數(shù)超過空間維數(shù)的Birkhoff正交組。

我們將在后續(xù)繼續(xù)研究并驗證我們的猜想，解決這一復雜問題。

參 考 文 獻：

［1］ BIRKHOFF G. Orthogonality in Linear Metric Spaces［J］. Duke Mathematical Journal， 1935， 1（2）： 169.

［2］ JAMES R C. Inner Products in Normed Linear Spaces. Bulletin of the American Mathematical Society， 1947， 53（6）： 559.

［3］ JAMES R C. Orthogonality and Linear Functionals in Normed Linear Spaces［J］. Transactions of the American Mathematical Society， 1947， 61（2）： 265.

［4］ ARAMBAI L， RAJIC R. On Symmetry of the （Strong） Birkhoff-James Orthogonality in Hilbert C*-Modules［J］. Annals of Functional Analysis， 2016， 7（1）： 17.

［5］ SAIN D， PAUL K， MAL A. On Approximate Birkhoff-James Orthogonality and Normal Cones in a Normed Space［J］. Journal of Convex Analysis， 2019， 26（1）： 341.

［6］ ZAMANI A. Birkhoff-James Orthogonality of Operators in Semi-Hilbertian Spaces and Its Applications［J］. Annals of Functional Analysis， 2019， 10（3）： 433.

［7］ ALONSO J， MARTINI H， WU S L. On Birkhoff Orthogonality and Isosceles Orthogonality in Normed Linear Spaces［J］. Aequationes Mathematicae， 2012， 83（1）： 153.

［8］ JI D H， WU S L. Quantitative Characterization of the Difference Between Birkhoff Orthogonality and Isosceles Orthogonality［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2006， 323（1）： 1.

［9］ 吳森林， 計東海. 正交性和內積空間的一些特征［J］. 哈爾濱理工大學學報， 2004， 9（6）： 113.

WU Senlin， JI Donghai. Orthogonalities and Some Characterizations of Inner Product Spaces［J］. Journal of Harbin University of Science & Technology， 2004， 9（6）： 113.

［10］吳森林， 計東海. 正交性相關問題的研究［D］. 哈爾濱：哈爾濱理工大學， 2006.

［11］楊沖， 張登華. Banach 空間中 Birkhoff 正交性的刻畫［J］. 數(shù)學的實踐與認識， 2008， 38（9）： 187.

YANG Chong， ZHANG Denghua. Characterizations of Birkhoff Orthogonality in Banach Space［J］.Mathematics in Practice and Theory， 2008， 38（9）： 187.

［12］GHOSH P， SAIN D， PAUL K. Orthogonality of Bounded Linear Operators［J］. Linear Algebra and Its Applications， 2016， 500： 43.

［13］SAIN D. Birkhoff-James Orthogonality of Linear Operators on Finite-dimen-sional Banach Spaces［J］. Journal of Mathematical Analysis Applications， 2017， 447（2）： 860.

［14］SAIN D， GHOSH P， PAUL K. On Symmetry of Birkhoff-James Orthogonality of Linear Operators on Finite-dimensional Real Banach Spaces［J］. Operators and Matrices， 2017， 11（4）： 1087.

［15］SAIN D. On the Norm AttainmentSet of a Bounded Linear Operator［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2018， 457（1）： 67.

［16］CHATTOPADHYAY A， SAIN D， SENAPATI T. Characterization of Symmetric Points in lpn-spaces［J］. Linear and Multilinear Algebra， 2021， 69（16）： 2998.

［17］SAIN D， ROY S， BAGCHI S， ET AL. A Study of Symmetric Points in Banach Spaces［J］. Linear and Multilinear Algebra， 2022， 70（5）： 888.

［18］ARAMBAI L， GUTERMAN A， KUZMA B， ET AL. Symmetrized Birkhoff-James Orthogonality in Arbitrary Normed Spaces［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2021， 502（1）： 125203.

［19］定光桂. 巴拿赫空間引論（第2版）［M］. 北京： 科學出版社， 2008： 2.

［20］MEGGINSON R E. An Introduction to Banach Space Theory［M］. Springer Science & Business Media， 2012.

（編輯：溫澤宇）

基金項目： 國家自然科學基金（11571085）.

作者簡介：王曉梅（1998—），女，碩士研究生.

通信作者：計東海（1964—），男，教授，博士研究生導師，E-mail：jidonghai22hrbust@163.com.