黃燕玲

摘?要：高中數(shù)學(xué)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸、推廣、升級(jí)與完善，不僅理論知識(shí)學(xué)習(xí)起來(lái)晦澀難懂、抽象枯燥、乏味無(wú)趣，試題難度更是有較大程度的提升，學(xué)生在解題過(guò)程中往往會(huì)遇到不少障礙與困境，假如不及時(shí)加以破解，不僅會(huì)影響繼續(xù)參與解題訓(xùn)練的積極性，還不利于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)自信心的樹立.教師可指導(dǎo)他們借助類比思維展開解題，使其通過(guò)各種類比快速找到解題思路、確定解題方案，最終順利破解解題困境.

關(guān)鍵詞：類比思維；數(shù)學(xué)解題

中圖分類號(hào)：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1008-0333（2024）15-0047-04

類比思維指的是根據(jù)兩個(gè)具有相似或者相同特征的事物進(jìn)行對(duì)比，基于某一事物的已知特征來(lái)推測(cè)另外一個(gè)事物相應(yīng)特征的思維活動(dòng)，主要包含兩個(gè)方面：一方面是聯(lián)想，即根據(jù)新信息把已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的舊信息回憶和引發(fā)出來(lái)；另一方面是比較，在新舊信息之間尋找相同點(diǎn)與不同點(diǎn).

1 類比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的主要作用

1.1 類比思維能夠提升學(xué)生解題效率

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的解題能力是相當(dāng)重要的，只有掌握常用的解題技巧，熟練運(yùn)用解題方法，才可以取得優(yōu)異成績(jī).高中數(shù)學(xué)知識(shí)雖然體系龐大、網(wǎng)絡(luò)錯(cuò)綜復(fù)雜、分布散亂，但是彼此之間又有一定的聯(lián)系.借助類比思維解答數(shù)學(xué)試題時(shí)，能夠結(jié)合學(xué)過(guò)的解題方法或者知識(shí)展開分析，迅速找到解題思路.高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有顯著的抽象性特征，學(xué)生應(yīng)用類比思維解題，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樽约核熘膬?nèi)容，提升解題效率.

1.2 類比思維能夠提升學(xué)生思維能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，借助類比思維進(jìn)行解題時(shí)，學(xué)生可以將不同的知識(shí)點(diǎn)整合到一起，結(jié)合新舊知識(shí)之間的聯(lián)系展開類比推理，從而找到新的解題路徑，破解解題困境.同時(shí)，學(xué)生在類比思維中對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)展開充分的延伸與擴(kuò)展，通過(guò)舉一反三，構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)知識(shí)框架，鞏固原有知識(shí)的同時(shí)不斷深化與豐富，激發(fā)創(chuàng)新潛能，借此培養(yǎng)創(chuàng)造能力與邏輯思維能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)解題水平.

1.3 類比思維能夠提升學(xué)生解題興趣

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用類比思維，能夠有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與解題興趣，使其深入探索解題方法與歸納經(jīng)驗(yàn)，并獲得一定的成就感.以此調(diào)動(dòng)他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與破解數(shù)學(xué)解題困境的樂趣.同時(shí)，學(xué)生借助類比思維破解數(shù)學(xué)解題困境，有利于自身創(chuàng)造性思維的發(fā)展，解題中通過(guò)對(duì)新舊數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)想或者對(duì)比，可以加深他們對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，方便在后續(xù)解題中更好地應(yīng)用，提升解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣[1].

2 類比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的具體問(wèn)題

2.1 忽視培養(yǎng)學(xué)生的類比思維

數(shù)學(xué)是一門集演繹歸納為一體的科目，但不少教師在平常教學(xué)中都忽視對(duì)學(xué)生類比思維的培養(yǎng)，只是讓他們借助類比推理的方式來(lái)解題，這樣將會(huì)導(dǎo)致不少同學(xué)缺乏自我認(rèn)知意識(shí)，影響創(chuàng)新思維能力的發(fā)展.長(zhǎng)此以往，在這一教學(xué)理念與模式下，由于對(duì)學(xué)生類比思維能力培養(yǎng)的忽視，他們就會(huì)缺乏一種根本上的研究意識(shí)，最終導(dǎo)致在具體的解題教學(xué)中，高中生沒有真正掌握并運(yùn)用類比思維解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的技巧與能力.

2.2 類比思維僅局限于解題中

當(dāng)前，一些高中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生借助類比思維破解數(shù)學(xué)解題困境時(shí)，仍然采用以往的“題海戰(zhàn)術(shù)”，以此來(lái)應(yīng)對(duì)考試所帶來(lái)的壓力.其實(shí)類比思維不能簡(jiǎn)單局限于解題訓(xùn)練之中尋找類似點(diǎn)，需要用到剖析數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系之中，助推他們理清知識(shí)要點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性.

2.3 學(xué)生的類比思維水平較弱

眼下，大部分高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，并沒有形成一種發(fā)現(xiàn)、提出與解決問(wèn)題的成熟心理與創(chuàng)新意識(shí)，以至于他們沒有掌握系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)方法，只會(huì)純粹模仿教師教授的方法，通過(guò)套用固有公式或做題方式進(jìn)行解題.長(zhǎng)期如此，這些學(xué)生就無(wú)法借助類比思維簡(jiǎn)便解題與深化知識(shí)，他們的類比思維水平顯得較弱，無(wú)法清晰掌握類比推理的屬性.還有的學(xué)生在解題中沒有完整理解類比思維的概念，以至于他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)只會(huì)把題目信息進(jìn)行對(duì)比，無(wú)法從根本上類比、加工題目［2］.

3 類比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐應(yīng)用

3.1 注重類比思維解題，訓(xùn)練學(xué)生轉(zhuǎn)化能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，主要進(jìn)行的活動(dòng)是講授理論知識(shí)和解題訓(xùn)練，類比思維不僅可以用來(lái)講解理論知識(shí)，還能夠廣泛適用于解題，借助類比思維解題通常可以起到不錯(cuò)的效果.因此，高中數(shù)學(xué)教師在平常的解題訓(xùn)練中可指導(dǎo)學(xué)生借助類比思維解題，先簡(jiǎn)化題目，根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)概念和公式找到解題的突破口，再利用類比思維優(yōu)化解題思路，使其結(jié)合邏輯推理的方式找到新的解題方向與方法，促使他們高效地突破解題困境，并訓(xùn)練個(gè)人轉(zhuǎn)化能力［3］.

例1?已知一個(gè)小球從100米高的樓頂做自由下落運(yùn)動(dòng)，每次小球落地后會(huì)反彈至原來(lái)高度的一半且繼續(xù)自由下落，當(dāng)該小球第10次落地后，一共運(yùn)動(dòng)的距離是多遠(yuǎn)？

分析?解決這一題目的關(guān)鍵就在于運(yùn)用類比思維，其實(shí)該小球的運(yùn)動(dòng)情況就類似于一個(gè)特殊的函數(shù)，學(xué)生可先基于變量視角分析得出這個(gè)小球前兩次運(yùn)動(dòng)的總距離，再利用類比思維得到小球每次運(yùn)動(dòng)的距離，最后相加起來(lái)即可獲得答案.詳解?根據(jù)題意可知，當(dāng)這個(gè)小球進(jìn)行第一次自由下落運(yùn)動(dòng)時(shí)，起始點(diǎn)之間的距離為100米，小球第一次落地到第二次落地之間的距離是2×1002＝100米，然后借助類比思維研究小球的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)該小球第10次落地時(shí)一共運(yùn)動(dòng)的距離為100+100+1002+10022+10023+…+10028=100+100［1-（1/2）9］1-1/2≈300（米），即該小球一共運(yùn)動(dòng)的距離大約是300米.

3.2 教師做好解題導(dǎo)向，學(xué)生會(huì)用類比思維

高中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中可精心設(shè)計(jì)一些需用到類比思維解決的問(wèn)題，由此開設(shè)專項(xiàng)訓(xùn)練活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生借助類比思維來(lái)破解解題困境，使其學(xué)會(huì)運(yùn)用類比思維，提升他們的解題能力［4］.

例2?已知a、b、c、d均為不是0的實(shí)數(shù)，其中（a2+b2）d2-2b（a+c）d+b2+c2＝0，請(qǐng)證明：a、b、c能夠組成一個(gè)等比數(shù)列，且公比是d.

分析?學(xué)生通過(guò)閱讀題目?jī)?nèi)容，發(fā)現(xiàn)解決本題時(shí)需要先把原式與方程的根進(jìn)行類比，使其發(fā)現(xiàn)類比思維可以跨越原有理論的框架，把不同類別的數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，讓他們?cè)陂_闊的領(lǐng)域中進(jìn)行類比推理，從而把結(jié)論給證明出來(lái).

詳解?根據(jù)題意可以判斷出（a2+b2）d2-2b（a+c）d+b2+c2＝0存在實(shí)根，此時(shí)可借助類比思維結(jié)合一元二次方程根的相關(guān)知識(shí)獲得Δ＝4b2（a+c）2-4（a2+b2）·（b2+c2）≥0，整理化簡(jiǎn)之后能夠得到-（b2-ac）2≥0，所以b2-ac＝0，也就是b2＝ac，由此證明a、b、c組成一個(gè)等比數(shù)列；隨后設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，那么b＝aq，c＝aq2，將它們分別代入到原式中可以得到d＝q，且d≠0，則d是該等比數(shù)列的公比.

3.3 采用類比思維解題，開闊學(xué)生解題思路

教師可指導(dǎo)學(xué)生借助類比思維解題，使其主動(dòng)尋求知識(shí)要點(diǎn)之間的聯(lián)系，以及之前用過(guò)的類似解題方法，從而開闊他們的解題思路，促進(jìn)其類比思維能力的發(fā)展和強(qiáng)化，提高解題效率[5].

例3?已知點(diǎn)A（x0，y0）為橢圓C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE和AF是為橢圓C上的兩條切線，且AE與AF是垂直關(guān)系，請(qǐng)證明動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是x2+y2＝a2+b2.

分析?教師可提示學(xué)生采用類比思維將橢圓的性質(zhì)與圓的性質(zhì)進(jìn)行類比，并讓他們類比處理直線與圓是相切關(guān)系這類試題的解題方法，使其通過(guò)類比知識(shí)與解法迅速找到解題的切入點(diǎn)，順利破解解題困境.

詳解?若直線AE和AF之間存在一條直線與y軸是平行關(guān)系，則說(shuō)明不存在斜率，動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)就是（a，b），假如直線AE與AF均不與y軸平行，可設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為y＝kx+m，代入橢圓的方程后可以得到（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2＝0，讓?duì)ぃ?，即為b2+a2k2＝m2，根據(jù)題意可知點(diǎn)A位于直線y＝kx+m之上，那么y0＝kx0+m，則（y0-kx0）2＝b2+a2k2，整理、化簡(jiǎn)后能得到（x20-a2）k2-2x0y0k+y20-b2＝0，依據(jù)韋達(dá)定理可得k1k2＝y(tǒng)20-b2x20-a2，再加上過(guò)點(diǎn)A的兩條切線AE與AF垂直，所以說(shuō)k1k2＝-1，x2+y2＝a2+b2.

3.4 借助類比思維優(yōu)勢(shì)，破解方程解題困境

眾所周知，方程和函數(shù)之間有著較為密切的關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，針對(duì)一些難度系數(shù)較大的方程類試題來(lái)說(shuō)，如果難以直接求出方程的根，則可以利用類比思維，轉(zhuǎn)變成函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，由此找到解題的切入點(diǎn)，降低試題難度.具體而言，教師在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，可以專門設(shè)計(jì)一些求解特殊方程的根的試題，引領(lǐng)學(xué)生借助類比思維的優(yōu)勢(shì)嘗試解答，使其體會(huì)到類比思維的價(jià)值與作用，幫助他們掌握求解方程根的新方法[6].

例4?已知方程log2x+log3x＝0，求該方程的根時(shí)，可設(shè)函數(shù)f（x）＝log2x+log3x，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上呈單調(diào)遞增，且f（1）＝0，所以原方程有唯一根x＝1，請(qǐng)類比上述思路，求方程（x-1）5+x-1＝34的根.

分析?因?yàn)榉匠痰母菍?duì)應(yīng)函數(shù)同x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解答這一高次方程時(shí)應(yīng)從題干中獲得啟示，展開合理類比，即先判斷出對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，基于整體視角把握方程根的數(shù)量，然后根據(jù)個(gè)人解題經(jīng)驗(yàn)確定方程的解集.

詳解?結(jié)合提供的解題思路展開類比，讓f（x）＝（x-1）5+（x-1）-34，求導(dǎo)后可以得到f ′（x）＝4（x-1）4+1，可知x∈R上f ′（x）＞0，由此表明函數(shù)f（x）在x∈R上呈單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）與x只存在一個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明原方程只有一個(gè)實(shí)根，故x-1＝2，解之得x＝3.

3.5 借助類比思維優(yōu)勢(shì)，破解數(shù)列試題困境

教師可以指引學(xué)生借助類比思維的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)類比精準(zhǔn)找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，把數(shù)列題目由復(fù)雜化變得簡(jiǎn)單化，助推他們形成類比推理的數(shù)學(xué)思維，且加深對(duì)數(shù)列類問(wèn)題的理解，最終能夠自主破解困境[7].

例5?已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和其中a2n+1＝2anSn，且an＞0，如果對(duì)任意n∈N*，S4n-2S2n≤m×2n恒成立，請(qǐng)求m的取值范圍（??）.

A.m≥14?B.m≥38?C.m≥12?D.m≥1

分析?題干中給出的式子比較繁雜與特殊，解題時(shí)不能只使用數(shù)列知識(shí)，還要同函數(shù)知識(shí)進(jìn)行類比，以構(gòu)造函數(shù)的方式找解題突破口.

詳解?因?yàn)閍n＝Sn-Sn-1（n≥2），a2n+1＝2anSn，把這兩個(gè)式子聯(lián)立起來(lái)，整理化簡(jiǎn)后可以得到S2n-S2n-1＝1（n≥2），由于a1＝S1，將其代入a2n+1＝2anSn中可求得S21＝1，由此說(shuō)明{S2n}是一個(gè)首項(xiàng)是1，公差是1的等差數(shù)列，則S2n＝n，由于S4n-2S2n≤m×2n，則n2-2n≤m×2n，整理后可以得到m≥n2-2n2n對(duì)于任意n∈N*恒成立.當(dāng)n＝1時(shí)，n2-2n2n＝-12；當(dāng)n＝2時(shí)，n2-2n2n＝0；當(dāng)n＝3時(shí)，n2-2n2n＝38；當(dāng)n＝4時(shí)，n2-2n2n＝12；當(dāng)n≥4時(shí)，通過(guò)類比思維能構(gòu)造函數(shù)f（n）＝n2-2n2n，屬于減函數(shù)，則n2-2n2n的最大值為12，所以m≥12，故C選項(xiàng)是正確答案.

3.6 借助類比思維優(yōu)勢(shì)，破解幾何解題困境

幾何知識(shí)主要包含平面幾何、立體幾何與解析幾何三大類，幾何知識(shí)之間同樣存在著一定的相似性，能夠通過(guò)類比思維加以運(yùn)用，為解題提供新的思路.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)處理難度較大的幾何試題時(shí)，教師可指導(dǎo)學(xué)生充分借助類比思維的優(yōu)勢(shì)，認(rèn)真閱讀和思考題目?jī)?nèi)容，以類比思維為依托，推導(dǎo)平面幾何中的一些性質(zhì)在立體幾何中是否適用，或者從平面幾何結(jié)論視角分析立體幾何知識(shí)，促使他們親身感受類比過(guò)程，破解解題困境[8].

例6?在一個(gè)直角三角形中，∠A＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，該直角三角形的內(nèi)切圓半徑是r，根據(jù)S△ABC＝12bc可得S△ABC＝12ar+12br+12cr，以及r＝bca+b+c，類比上述方法，在三棱錐P-ABC中∠BAC＝90°，PA平面ABC，△ABC，△PAB，△PAC，△PBC的面積分別是S1，S2，S3，S4，那么該三棱錐的內(nèi)切球半徑是什么？

分析?本題以學(xué)生熟悉的平面幾何知識(shí)為切入點(diǎn)，要求利用類比思維推導(dǎo)出立體幾何中的相關(guān)結(jié)論.由于提供已知條件不夠多，學(xué)生需透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，大膽設(shè)出相關(guān)參數(shù)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)展開嚴(yán)謹(jǐn)推理，既能鞏固個(gè)人所學(xué)，又可鍛煉類比推理能力.

詳解?結(jié)合題意可設(shè)AB=a，AC=b，PA=c，三棱錐的內(nèi)切球球心是O，半徑是r，那么VP-ABC=13×12abc，類比可得VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+V0-PAC+VO-PBC=13S1r+13S2r+13S3r+13S4r=13r（S1+S2+S3+S4），即為r=abc/2S1+S2+S3+S4，又因?yàn)镾1=12ab，S2=12ac，S3=12bc，則S1S2S3=18a2b2c2，

12abc=2S1S2S3，那么r=2S1S2S3S1+S2+S3+S4.

4 結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動(dòng)中，類比思維有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用.教師需幫助學(xué)生牢固掌握類比思維的定義、本質(zhì)與運(yùn)用技巧，據(jù)此設(shè)置專題訓(xùn)練，帶領(lǐng)他們?cè)诮柚惐人季S解答數(shù)學(xué)試題的過(guò)程中，回顧、聯(lián)想試題中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)類比思維的使用技巧，掌握類比思維的精髓，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)解題困境的高效破解.

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［責(zé)任編輯：李?璟］