李文彪 呂延豪 游龍飛

收稿日期：2023-05-06；接受日期：2023-06-23

基金項(xiàng)目：中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司科技研究開發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2021K027）

作者簡(jiǎn)介：李文彪，男，高級(jí)工程師，主要從事超深風(fēng)井開挖及穩(wěn)定性方面的研究。E-mail：004523@crfsdi.com

Editorial Office of Yangtze River. This is an open access article under the CC BY-NC-ND 4.0 license.

文章編號(hào)：1001-4179（2024） 06-0204-07

引用本文：李文彪，呂延豪，游龍飛.考慮土拱效應(yīng)的多層土體墻后主動(dòng)土壓力模式研究

［J］.人民長(zhǎng)江，2024，55（6）：204-210.

摘要：土拱效應(yīng)已經(jīng)被廣泛證明存在于巖土工程中，然而關(guān)于土拱效應(yīng)的土壓力研究目前常局限于單層土體，對(duì)于多層土體墻后主動(dòng)土壓力的分布規(guī)律尚不清楚。基于土拱效應(yīng)理論，提出了多層土體擋土墻后非線性主動(dòng)土壓力求解公式，并通過兩種典型地層研究了土體內(nèi)摩擦角和墻土摩擦角對(duì)主動(dòng)土壓力分布規(guī)律的影響。結(jié)果表明：所提出的計(jì)算公式能夠很好地描述多層土體墻后主動(dòng)土壓力分布規(guī)律，計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致；當(dāng)上、下土層參數(shù)一致時(shí)，該公式可以退化成單一土層土壓力計(jì)算模型；當(dāng)墻土摩擦角充分發(fā)揮時(shí)，上層土體墻后土壓力受土體內(nèi)摩擦角影響明顯，而當(dāng)墻土摩擦角部分發(fā)揮時(shí)，下層土體墻后土壓力受墻土摩擦角影響更大。

關(guān)? 鍵? 詞：土拱效應(yīng)； 擋土墻； 多層土體； 主動(dòng)土壓力

中圖法分類號(hào)： TU432

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.06.028

0? 引 言

擋土墻的墻后主動(dòng)土壓力一直是巖土工程學(xué)科中的重要研究課題。目前，經(jīng)典土壓力理論解和基于有限差分和有限元法等的數(shù)值手段是墻后土壓力求解過程中常常采用的兩類典型方法。其中經(jīng)典土壓力理論基于朗肯土壓力［1-2］和庫倫土壓力［3-4］。朗肯土壓力理論假定墻后為豎直光滑，庫倫土壓力在朗肯土壓力理論的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，拓展到了墻后傾斜且有墻土摩擦角的一般情況。然而經(jīng)典土壓力理論解的局限性在于墻后土體的土壓力分布為線性增加的分布模式，這與大量室內(nèi)試驗(yàn)以及實(shí)際監(jiān)測(cè)結(jié)果相悖，墻后土體往往是一種非線性的分布模式［5］。

土拱效應(yīng)廣泛存在于巖土工程中，如樁承式復(fù)合路基、地下管道、抗滑樁［6］、盾構(gòu)等結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中和擴(kuò)散現(xiàn)象。Terzaghi［7-9］最早研究了土拱效應(yīng)，并對(duì)土拱效應(yīng)進(jìn)行如下定義：“當(dāng)土體受到不均勻變形時(shí)，變形較大區(qū)域和變形較小區(qū)域存在一種剪切摩擦力，這種剪切摩擦力有阻撓變形較大區(qū)域土體繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)和增加臨近靜止區(qū)域土體變形的趨勢(shì)”。由此可知，土拱效應(yīng)實(shí)際是一種應(yīng)力重分布的現(xiàn)象。Finn［10］采用彈性理論研究了土拱效應(yīng)，然而這種理論僅當(dāng)土體處于小變形時(shí)才有效。實(shí)際情況是土拱形成時(shí)往往伴隨著大變形，所以應(yīng)用塑性理論特別是極限分析方法比較合適。Wang等［11］在邊坡工程的抗滑樁設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)用了土拱效應(yīng)，把邊坡假設(shè)成一個(gè)經(jīng)典無限邊坡模型，滑面上土體假設(shè)成理想剛塑性，滑面下臥非常堅(jiān)硬的基礎(chǔ)。他們得到如下結(jié)論：土拱效應(yīng)存在于黏性土和無黏性土邊坡中，存在一個(gè)極限樁間距，當(dāng)樁間距超過這個(gè)極限值時(shí)，土拱效應(yīng)消失。土拱效應(yīng)影響因素頗多，c、φ值對(duì)土拱效應(yīng)影響最明顯。應(yīng)宏偉等［12］基于傳統(tǒng)的考慮土拱效應(yīng)的土壓力解，考慮土體內(nèi)摩擦角對(duì)墻后土體滑傾面的影響，推導(dǎo)了擋土墻后主動(dòng)土壓力的計(jì)算公式。

目前，考慮土拱效應(yīng)的墻后主動(dòng)土壓力研究中大多將土層假定為單層土［12-15］，然而，在實(shí)際地層中，土層并不是唯一的，而是沿著深度方向逐漸變化。為此，本文在前人研究基礎(chǔ)上［16-18］，將考慮土拱效應(yīng)的土壓力計(jì)算公式擴(kuò)展到多層土體，并以雙層土為例，研究了“上軟下硬”型地層和“上硬下軟型”地層中的土壓力分布規(guī)律，有助于深入認(rèn)識(shí)土拱效應(yīng)對(duì)墻后主動(dòng)土壓力分布規(guī)律的影響。

1? 考慮土拱效應(yīng)的單層土墻后主動(dòng)土壓力

1.1? 擋土墻后土體滑裂面

如圖1所示，分析墻后土楔體的受力，假定擋土墻墻背直立，墻后填土水平，δ為墻土摩擦角，φ為土體內(nèi)摩擦角，β為墻后滑裂面傾角，q為墻后均布荷載，P為主動(dòng)土壓力合力，W為墻后土楔體的重力。

水平方向上力的平衡方程為

Pcosδ－Rcos（π2+φ－β）=0（1）

豎直方向上力的平衡方程為

Psinδ－Rsin（π2+φ－β）－W－qHcotβ=0（2）

其中，

W=12γH2cotβ（3）

將式（3）代入（2），得到：R=（12γH2+qH）cotβ－Psinδsin（π2+φ－β）（4）

P=（12γH2+qH）cosβsin（β－φ）sinβcos（β－φ－δ）（5）

為求主動(dòng)土壓力，用微分學(xué)中求極值的方法求P的最大值，令dP/dβ=0，得到：

β=arctantan2φ+tanφtan（φ+δ）+tanφ（6）

1.2? 擋土墻后主動(dòng)土壓力求解

以一個(gè)典型的擋土墻為例，取微段進(jìn)行受力分析，其受力分析模型可以大致概化為圖2所示。假定擋土墻墻背直立，墻后填土水平，σh為土體微元的水平受力，τ1為水平單元的豎向受力，dy為土體微元的豎向長(zhǎng)度，τ2為滑裂面受到的切應(yīng)力，r為滑裂面受到的正應(yīng)力，σav+dσav為作用于水平微分單元底面的平均豎向應(yīng)力，H為墻體高度，y為土體微元段所處深度。

根據(jù)水平土壓力與豎直土壓力的關(guān)系，可得水平土壓力為

σh=Kwσav（7）

要求解水平土壓力系數(shù)，需要獲得側(cè)土壓力系數(shù)Kw和豎向平均土壓力σav，本節(jié)先推導(dǎo)豎向平均土壓力的計(jì)算公式。

根據(jù)受力平衡分析，水平方向上力的平衡條件為

σhdy+τ2cosβsinβdy－rsinβcosβdy=0（8）

根據(jù)土體單元的豎向受力平衡分析可得：σav（H－y）cotβ+dW－（σav+dσav）（H－y－dy）×cotβ－τ1dy－τ2dy－rdycosβsinβ=0（9）

式中：dW為土體微元自重。根據(jù)土體重度定義，可得：dW=［（H－y）cotβ+（H－y－dy）cotβ］dy2γ（10）

式中：γ為土體自重。將公式（10）代入公式（9）后整理，略去二階量，可以得到：dσavdy=γ+1H－y［σav－r－（τ1+τ2）tanβ］（11）

將公式（7）中的σh=Kwσav，以及τ1=σhtanδ，τ2=rtanφ，代入公式（8）可得：r=Kwsinβcosφsin（β－φ）σav（12）

結(jié)合公式（11）和公式（12）可得：dσavdy=［1－sinβcos（β－φ－δ）cosβcosδsin（β－φ）Kw］·σavH－y+γ（13）

令（13）式中的sinβcos （β-φ-δ）cosβcosδsin （β-φ）=α，則公式（13）可以簡(jiǎn)寫為

dσavdy=1－αKw·σavH－y+γ（14）

對(duì)式（14）積分，并利用邊界條件y=0時(shí)，豎向土壓力σav等于地表壓力q，可得：σav=（q－γαKw－2H）（H-yH）αKw－1+γαKw－2（H－y）（15）

注意到上式中只有Kw未知，因此問題轉(zhuǎn)換為求土壓力系數(shù)Kw。

1.3? 圓弧拱形的側(cè)土壓力系數(shù)

根據(jù)摩爾庫倫準(zhǔn)則，土體任意一點(diǎn)受到的剪應(yīng)力τ和水平應(yīng)力σh與最大主應(yīng)力σ1和最小主應(yīng)力σ3的關(guān)系分別為

τ=（σ1－σ3）sinθcosθ（16）

σh=τcotθ+σ3（17）

式中：θ為應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角，σ1為最大主應(yīng)力，σ3為最小主應(yīng)力。聯(lián)立公式（16）和（17），并令σ3/σ1=Ka，可得：σhσ1=cos2θ+Kasin2θ（18）

根據(jù)應(yīng)力狀態(tài)分析易得Ka=（1-sinφ）/（1+sinφ）。由于σh-σ3=σ1-σv，因此有式（19）成立：σvσ1=sin2θ+Kacos2θ（19）

考慮土拱效應(yīng)時(shí)，土壓力系數(shù)Kw是土體微段水平應(yīng)力與平均豎向應(yīng)力之比，即σh/σav，而不是σh/σv，因此不能簡(jiǎn)單采用式（18）與式（19）比值得到。根據(jù)如上所述，考慮土拱效應(yīng)的側(cè)土壓力系數(shù)為

Kw=σhσav=σh/σ1σav/σ1=1σav/σ1（cos2θ+Kasin2θ）（20）

要求解式（20）得到土壓力系數(shù)，需要知道兩個(gè)未知量，即應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角θ和平均豎向應(yīng)力與最大主應(yīng)力的比值σav/σ1。

當(dāng)墻體光滑時(shí)，θ=90°；當(dāng)墻土摩擦角充分發(fā)揮時(shí)，θ=45°+φ/2。但是實(shí)際工程中，墻土摩擦角往往并未充分發(fā)揮。Paik等［18］考慮到墻土摩擦角往往小于土體內(nèi)摩擦角，采用Mohr Circle計(jì)算獲取拱角主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角θ：θ=π2－12arcsin（sinδsinφ）+δ2（21）

另一方面，任意位置微分單元豎向應(yīng)力平均值都可表示為

σavσ1=∫B0σmvσ1dxB（22）

式中：σmv為土條微段的任意一點(diǎn)受到的豎向土壓力，B為圓弧圓心距離擋土墻的水平距離（圖3）。假設(shè)土拱的形狀為圓弧狀，根據(jù)公式（19），可以得到圓弧上任意一點(diǎn)的水平應(yīng)力σmh和豎直應(yīng)力σmv為

σmh/σ1=cos2ψ+Kasin2ψσmv/σ1=sin2ψ+Kacos2ψ（23）

式中：σmh為任意圓弧拱任意微分單元上的水平方向應(yīng)力；σmv為圓弧拱任意微分單元上的豎直方向應(yīng)力；ψ為圓弧拱任意位置的中心線與水平方向的夾角。

根據(jù)相似三角形可以很容易得出：ψ=arccos（B－xBcosθ）（24）

根據(jù)圖3，土拱寬度L與圓弧圓心距離擋土墻的水平距離B的關(guān)系為

L=cotβcot（π/4+φ/2）B（25）

將式（25）代入式（24）可得：ψ=arccos（1－xLcotβcot（π/4+φ/2））cosθ（26）

將式（26）代入式（23），可以得到：σmvσ1=sin2{arccos［（1－xLcotβcot（π/4+φ/2））cosθ］}+Kacos2{arccos［（1－xLcotβcot（π/4+φ/2））cosθ］}（27）

注意到式（23）中所有的參數(shù)都在求解過程中得到具體的值，只有x為隨著圓弧拱的位置而變化的橫坐標(biāo)，將式（27）代入式（22），可以得到任意位置微分單元豎向應(yīng)力平均值σav/σ1，進(jìn)而可以由式（20）得到考慮土拱效應(yīng)的側(cè)土壓力系數(shù)Kw，再代入公式（15）和公式（7），即可得到墻后主動(dòng)土壓力。

2? 多層土墻后主動(dòng)土壓力計(jì)算

如圖4所示，對(duì)于多層土，由于每一層土體的重度、內(nèi)摩擦角、墻土摩擦角等參數(shù)不盡相同，根據(jù)前述推導(dǎo)過程，可以知道每一層土體的側(cè)土壓力系數(shù)Kw都是不同的。因此，在土層分界處由于側(cè)壓力系數(shù)的突變，分界處的土壓力也會(huì)出現(xiàn)突變，為此，需要計(jì)算分界面位置處上下的土壓力。以A點(diǎn)計(jì)算為例，考慮土拱效應(yīng)后上層土體中A點(diǎn)的墻后主動(dòng)土壓力σUpperA計(jì)算公式為

σUpperA=Kw1［（γ1α1Kw1－2H）（H-H1H）α1Kw1－1+γ1α1Kw1－2（H－H1）］（28）

下層土體中A點(diǎn)的主動(dòng)土壓力σLowerA為

σLowerA=Kw2σUpperAKw1－γ2α2Kw2－2（H－H1）+γ2α2Kw2－2（H－H1）（29）

對(duì)于第二層土中的其他任意位置處的土壓力分布計(jì)算公式可以表達(dá)為

σ=Kw2（σUpperAKw1－γ2α2Kw2－2（H－H1）（H-yH）α2Kw2－1+γ2α2Kw2－2（H－y）（30）

3? 算例分析

3.1? 算例1，上軟下硬型土層

本節(jié)考慮墻體后土層為“上軟下硬型”時(shí)主動(dòng)土壓力的分布規(guī)律。假定墻后土層為雙層土體，墻高20 m，上層土厚度為10 m，分別考慮墻后墻土摩擦角充分發(fā)揮時(shí)與部分發(fā)揮時(shí)兩種情況，并將理論解和數(shù)值解進(jìn)行對(duì)照，以便驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

3.1.1? 理論驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提理論解的合理性，在PLAXIS-2D中建立了一個(gè)相同尺寸的基坑開挖模型。土體參數(shù)上層土取內(nèi)摩擦角為10°，下層土內(nèi)摩擦角為20°，開挖深度為20 m，計(jì)算雙層土體墻后主動(dòng)土壓力。如圖5所示，可以發(fā)現(xiàn)借助有限元計(jì)算的土壓力和采用式（30）計(jì)算得到的土壓力可以較好地吻合在一起，在變化趨勢(shì)上也頗為一致，這說明本文提出的理論解可以計(jì)算考慮土拱效應(yīng)的多層土體墻后主動(dòng)土壓力。

3.1.2? 墻土摩擦角充分發(fā)揮

當(dāng)墻后土體充分發(fā)揮時(shí)，土體內(nèi)摩擦角φ與墻土摩擦角δ相等，此時(shí)雙層土體的墻后主動(dòng)土壓力分布規(guī)律如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)在土體分界處土壓力會(huì)出現(xiàn)突減的現(xiàn)象。此外，由圖可知，隨著土體內(nèi)摩擦角的增大，墻后的主動(dòng)土壓力逐漸減小，這主要由于內(nèi)摩擦角增大時(shí)，降低了土體的側(cè)壓力系數(shù)，當(dāng)豎向壓力不變時(shí)，根據(jù)σh=Kaσv可得側(cè)壓力系數(shù)越小，橫向主動(dòng)土壓力越小。當(dāng)上下土層的參數(shù)相同時(shí)，得到的土壓力分布與單層土相同，這驗(yàn)證了本文提出的多層土公式的正確性。

3.1.3? 墻土摩擦角部分發(fā)揮

圖7給出了當(dāng)墻土摩擦角部分發(fā)揮時(shí)（δ<φ），墻后主動(dòng)土壓力分別隨著上層土體的墻土摩擦角和下層土體的墻土摩擦角變化的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)下層土體的參數(shù)保持不變，上層土體的墻土摩擦角逐漸增大時(shí)，上層土的墻后主動(dòng)土壓力逐漸增大，而下層土的土壓力逐漸減??；當(dāng)上層土的土體參數(shù)保持不變時(shí)，上層土的墻后主動(dòng)土壓力不會(huì)隨著下層土的墻土摩擦角變化，然而下層土的墻后主動(dòng)土壓力會(huì)產(chǎn)生較大變化，最明顯的一個(gè)趨勢(shì)在于當(dāng)下層土的墻土摩擦角部分發(fā)揮時(shí)，下層土體的主動(dòng)土壓力最大值不會(huì)出現(xiàn)在土體分層處，而是由所下移，且最大土壓力會(huì)略大于墻土摩擦角充分發(fā)揮時(shí)的值。

3.2? 算例2，上硬下軟型土層

3.2.1? 理論驗(yàn)證

同樣，在PLAXIS-2D中建立與算例1中相同的數(shù)值模型。上層土體內(nèi)摩擦角取40°，下層土體內(nèi)摩擦角取20°。圖8為上硬下軟型土層的墻后主動(dòng)土壓力數(shù)值解與理論解之間的對(duì)比?？梢园l(fā)現(xiàn)無論在量值上還是在變化趨勢(shì)上，所提理論解均能很好地與有限元模擬數(shù)據(jù)吻合在一起，這反映了所提理論解的準(zhǔn)確性。

3.2.2? 墻土摩擦角充分發(fā)揮

以“上硬下軟型”土層為例，研究墻土摩擦角充分發(fā)揮時(shí)墻后主動(dòng)土壓力的分布規(guī)律。圖9給出了此時(shí)的墻后主動(dòng)土壓力分布規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)土層分布為“上硬下軟”時(shí)，土層分界處的主動(dòng)土壓力會(huì)出現(xiàn)突增現(xiàn)象，這與上軟下硬型土層的分布規(guī)律是相反的，但是隨著上層土的內(nèi)摩擦角逐漸增大，墻后主動(dòng)土壓力逐漸減小。

3.2.3? 墻土摩擦角部分發(fā)揮

圖10為當(dāng)墻土摩擦角部分發(fā)揮時(shí)墻后主動(dòng)土壓力的分布規(guī)律?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)下層土體參數(shù)保持不變，上層土體的墻土摩擦角逐漸增大時(shí)，上層土的墻后土壓力變化較小，但是下層土體主動(dòng)土壓力逐漸減小；當(dāng)上層土體參數(shù)保持不變時(shí)，隨著下層土體墻土摩擦角的增大，下層土的最大土壓力位置逐漸上移，這與“上軟下硬型”土層的分布規(guī)律是一致的。

4? 結(jié) 論

本文結(jié)合傳統(tǒng)土拱效應(yīng)理論，推導(dǎo)建立了一種多層土體的墻后主動(dòng)土壓力分布計(jì)算方法，并以兩個(gè)典型土層為例，通過數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了所提計(jì)算方法的適用性和合理性。同時(shí)，討論了兩種不同土層條件下墻土摩擦角充分發(fā)揮和未充分發(fā)揮時(shí)的墻后主動(dòng)土壓力變化規(guī)律，主要結(jié)論如下：（1） 提出了考慮土拱效應(yīng)的多層土體墻后主動(dòng)土壓力計(jì)算方法，通過與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的合理性和適用性。

（2） 在“上軟下硬型”土層中，當(dāng)墻土摩擦角充分發(fā)揮時(shí)，上層土體的主動(dòng)土壓力受到的影響更大，且隨著內(nèi)摩擦角的逐漸增大，墻后土壓力逐漸減??；當(dāng)墻土摩擦角部分法發(fā)揮時(shí)，下層土體的主動(dòng)土壓力受到的影響更大，且下層土體的最大應(yīng)力出現(xiàn)位置會(huì)隨著下層土體墻土摩擦角的增大而逐漸上移。

（3） 在“上硬下軟型”土層中，當(dāng)墻土摩擦角充分發(fā)揮時(shí)，隨著內(nèi)摩擦角的增大墻后主動(dòng)土壓力逐漸減

??；當(dāng)墻土摩擦角部分發(fā)揮時(shí)，隨著上層土墻土摩擦角

的逐漸增大，下層土的主動(dòng)土壓力逐漸減小，當(dāng)下層土的墻土摩擦角逐漸增大時(shí)，下層土體的主動(dòng)土壓力最大作用點(diǎn)逐漸上移。

（4） 墻土摩擦角充分發(fā)揮時(shí)，上層土的墻后土壓力受到土體內(nèi)摩擦角影響更大；而當(dāng)墻土摩擦角部分發(fā)揮時(shí)，下層土體的墻后土壓力受到墻土摩擦角變化影響更大。

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（編輯：鄭 毅）

Study on active earth pressure mode behind multi-layer soil considering soil arching effect

LI Wenbiao，LYU Yanhao，YOU Longfei

（China Railway Siyuan Survey and Design Group Co.，Ltd.，Wuhan 430063，China）

Abstract：

The soil arching effect is widely proven to be in geotechnical engineering.However，research on the soil pressure caused by the soil arching effect is currently limited to single-layer soil，and the distribution of active soil pressure behind multi-layer soil is still unclear.Therefore，based on the soil arching effect theory，this article proposed a solution for nonlinear active earth pressure behind retaining walls of multi-layer soil，and studied the influence of internal friction angle and friction angle between wall and soil on the distribution pattern of active earth pressure based on two typical strata.The results show that the proposed solution can effectively describe the distribution of active earth pressure behind multi-layer soil.The calculation results are basically consistent with the numerical simulation results.When the parameters of the upper and lower soil layers are consistent，the proposed solution can degenerate into a soil pressure calculation model of single soil layer.When the friction angle between wall and soil is fully utilized，the soil pressure behind the upper soil wall is significantly affected by the internal friction angle of the soil，while the friction angle between wall and soil is partially utilized，the soil pressure behind the lower soil wall is more affected by the wall soil friction angle.

Key words：

soil arching effect; retaining wall; multi-layer soil; active earth pressure