夏杭英

【摘?? 要】“乘法模型”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。教師以小學(xué)“價格問題”模型為例，設(shè)計測評工具，并進行實證分析，由此提出了“基于多元情境建構(gòu)‘模型的結(jié)構(gòu)、基于生活實踐經(jīng)歷‘建模的過程”等教學(xué)策略，從而完善構(gòu)建“乘法模型”的路徑，促進學(xué)生數(shù)學(xué)建模力的不斷提升。

【關(guān)鍵詞】價格問題；數(shù)學(xué)建模力；乘法模型

小學(xué)數(shù)學(xué)建模力主要是指學(xué)生識別現(xiàn)實情境中的數(shù)學(xué)信息，運用文字、圖表等形式建立信息之間的關(guān)聯(lián)，以多元表征的方式解決問題，概括歸納一般化模型，并嘗試遷移應(yīng)用到一類問題的能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，實質(zhì)上就是數(shù)學(xué)建模的過程。教師要讓學(xué)生經(jīng)歷基于建模過程的學(xué)習(xí)，據(jù)此形成基于建模結(jié)果的結(jié)構(gòu)，提升其數(shù)學(xué)建模力。

一、研究緣起

“乘法模型”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，其學(xué)習(xí)序列為“乘法意義—倍數(shù)模型—等量模型”?！皢蝺r×數(shù)量=總價”這一“價格問題”模型屬于等量模型，人教版教材將其安排在四年級上冊進行學(xué)習(xí)。這一模型看似簡單，但在復(fù)雜現(xiàn)實情境下，理解起來也并不容易。為了調(diào)研學(xué)生在此類情境中的建模力，筆者以自己所教授班級的學(xué)生為樣本，設(shè)計了以下情境：①門票每張售價35元；②節(jié)假日優(yōu)惠，買3張送1張；③滿100元返現(xiàn)10元；④8人共需花費多少錢？

調(diào)研結(jié)果顯示，僅提供信息①與信息④，學(xué)生的解題正確率高達(dá)97%，但當(dāng)加入信息②后，學(xué)生的正確率下降至51.1%。若將信息②替換為信息③，正確率更是低至24.4%。這是因為學(xué)生在面對現(xiàn)實生活中的復(fù)雜情境時，難以將其轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的數(shù)學(xué)問題，與“單價×數(shù)量=總價”這一價格模型建立一一對應(yīng)關(guān)系。由此可見，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模力有待提升。在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生需要運用數(shù)學(xué)思想識別現(xiàn)實情境，采用數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實問題。這既是一個數(shù)學(xué)模型普適化的過程，也是運用數(shù)學(xué)思維解決生活事務(wù)的較好體現(xiàn)。因此，筆者針對“價格問題”設(shè)計了測評工具，旨在探索完善“乘法模型”構(gòu)建的路徑，促進學(xué)生數(shù)學(xué)建模力的提升。

二、測評工具設(shè)計

在本研究中，筆者先讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中經(jīng)歷自主識別“價格問題”模型的過程，再根據(jù)建模過程的核心要素設(shè)計相應(yīng)的測評工具。

（一）自主調(diào)研，認(rèn)識現(xiàn)實情境與模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》倡導(dǎo)基于真實情境展開真實學(xué)習(xí)。讓學(xué)生在熟悉的現(xiàn)實情境中開展調(diào)研，自主運用數(shù)學(xué)方法整理信息、數(shù)據(jù)，并據(jù)此進行分析判斷，有助于他們認(rèn)識并抽象出數(shù)學(xué)模型。針對“價格問題”，教師可引導(dǎo)學(xué)生去不同商場購物，并采用調(diào)研單識別與統(tǒng)計各商場的商品價格優(yōu)惠模型。表1是學(xué)生通過調(diào)研得出的價格優(yōu)惠模型。從表中數(shù)據(jù)來看，現(xiàn)實生活中的價格優(yōu)惠模型主要包括“買幾送幾”“打折”“滿幾減幾”和“沒有優(yōu)惠”四種。其中“買幾送幾”模型的占比最高，其次是“打折”和“沒有優(yōu)惠”。學(xué)生在“貨比三家”后，能從中找出最優(yōu)解決方案。

此調(diào)研活動旨在讓學(xué)生自主識別生活情境中的價格優(yōu)惠模型，而這些模型則可成為測評工具設(shè)計的主要依據(jù)。

（二）基于核心要素，設(shè)計測評工具

小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模力始于對信息的識別理解，并經(jīng)歷由現(xiàn)實問題簡化為數(shù)學(xué)問題的過程，在探索方法或規(guī)律后形成模型，最終應(yīng)用到生活中。依據(jù)調(diào)研結(jié)果，筆者設(shè)計了以“價格問題”為情境的測評工具，具體如下。

四年級某班要舉辦新年聯(lián)歡會，需購買4支鋼筆作為獎品。下面是他們調(diào)查到的同一種鋼筆的市場信息。他們在哪家商店購買最省錢？

[A商店：12元/支，買三送一。

B商店：9元/支。

C商店：15元/支，滿1000元返現(xiàn)金500元。 ]

（1）你獲取了哪些數(shù)學(xué)信息？需要解決什么數(shù)學(xué)問題？

（2）你怎么解決這個問題？寫出你的思考過程及結(jié)果。

（3）學(xué)校三年級、五年級、六年級分別需購買鋼筆21支、45支、82支，請協(xié)助他們選擇合適的商店，并分別計算出所需花費。

（4）根據(jù)你的經(jīng)驗，你能解釋這些優(yōu)惠現(xiàn)象嗎？如果你是商家，你會設(shè)計怎樣的優(yōu)惠方案？可以試著寫一寫。

此測評工具適用于小學(xué)四年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，用以評估數(shù)學(xué)建模過程中的“識別理解、表征聯(lián)結(jié)、解答反思、解釋應(yīng)用”等水平層次。

三、測評量規(guī)與實證分析

基于上述測評工具，筆者以杭州市富陽區(qū)某小學(xué)四年級一個班共35名學(xué)生為測試對象，展開了建模力測評。表2展示了根據(jù)建模過程制定的測評框架，以及學(xué)生建模水平的整體情況。

數(shù)學(xué)建模力的四個要素具備進階性。從各水平層次學(xué)生賦分的均值來看，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模力四個要素的水平層次上呈現(xiàn)從高到低的趨勢，其識別能力與簡化能力明顯優(yōu)于求解能力與應(yīng)用能力。

（一）在識別理解方面表現(xiàn)優(yōu)異，數(shù)學(xué)問題提出能力突出

評估識別理解水平旨在考查學(xué)生是否能識別生活情境中的關(guān)鍵信息，并從數(shù)學(xué)的角度理解其意義。測評結(jié)果表明，91.43%的學(xué)生在面對稍復(fù)雜情境時，能夠從中篩選出數(shù)學(xué)信息，并根據(jù)“價格問題”的數(shù)量關(guān)系提出數(shù)學(xué)問題。就問題質(zhì)量而言，除了“買4支鋼筆一共要多少元”這樣的求總價問題，有54.29%的學(xué)生還提出了“哪一家最省錢”等綜合性較強的問題。由此可見，學(xué)生在面對生活情境時，能夠構(gòu)建正確的數(shù)量關(guān)系，進而提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題。

（二）在表征聯(lián)結(jié)方面表現(xiàn)出色，生活情境簡化能力強

評估表征聯(lián)結(jié)水平旨在考查學(xué)生能否運用圖、表、算式等形式，將現(xiàn)實情境中的實際問題簡化為數(shù)學(xué)問題，嘗試初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。測評結(jié)果顯示，80.00%的學(xué)生能夠較好地完成這一簡化過程。如圖1所示，學(xué)生能通過畫圖理解“買三送一”的優(yōu)惠活動，并正確計算在三家商店購買鋼筆分別所需的花費，最終通過比對解決問題。這表明小學(xué)四年級學(xué)生的表征聯(lián)結(jié)水平相當(dāng)出色。

（三）在解答反思方面表現(xiàn)較弱，概括價格模型的能力不足

評估解答反思水平旨在考查學(xué)生是否能運用已有的知識、思維和方法解決問題，以及是否能對所提出的方案和結(jié)論進行說理、反思與歸納。這主要看學(xué)生能否運用“單價×數(shù)量=總價”的數(shù)量關(guān)系解決問題，并從數(shù)學(xué)角度進行解釋與反思。由表2的數(shù)據(jù)可知，只有45.72%的學(xué)生能夠正確解決問題，并采用如圖2所示的方式進行解釋。這說明這部分學(xué)生已初步具備“價格問題”的模型意識，但對于其他學(xué)生而言，這仍然具有一定的難度。

（四）在解釋應(yīng)用方面表現(xiàn)較弱，難以實現(xiàn)遷移應(yīng)用

評估解釋應(yīng)用水平旨在考查學(xué)生是否能將問題歸納為一般化模型，并運用該模型解決同類問題，具備一定的遷移能力。如圖3所示，對于A、B、C三種現(xiàn)象，僅有31.43%的學(xué)生能通過舉例子進行解釋并正確計算。同時，僅有25.71%的學(xué)生能自行提出某種商品的優(yōu)惠措施并正確計算。由此可見，小學(xué)四年級學(xué)生在解釋應(yīng)用方面的表現(xiàn)總體較弱，大部分學(xué)生難以達(dá)到遷移應(yīng)用水平。

綜上所述，在“價格模型”的建構(gòu)過程中，四年級學(xué)生在前三個階段的表現(xiàn)尚可，但在第四階段解釋應(yīng)用方面的水平較弱，兩極分化現(xiàn)象較為嚴(yán)重。大部分學(xué)生僅止步于解釋生活中的類似現(xiàn)象，遷移能力有待進一步提高。

四、反思與改進

從上述數(shù)據(jù)可知，學(xué)生在“價格模型”建構(gòu)后兩個水平層次上的表現(xiàn)有待提升。為此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)將作為結(jié)構(gòu)的模型與作為過程的模型融為一體，以促進學(xué)生建模力的提升。

（一）簡化數(shù)學(xué)模型：基于多元情境建構(gòu)“模型”的結(jié)構(gòu)

作為結(jié)構(gòu)的模型可理解為形成一般化的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，即將現(xiàn)實問題簡化為數(shù)學(xué)問題后，通過概括歸納得到普適性知識。教師可以借助生活中的多元情境，設(shè)計學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷將“現(xiàn)實模型”簡化為“數(shù)學(xué)模型”的過程，從而構(gòu)建最簡化的結(jié)構(gòu)化“模型”。如圖4所示，無論生活情境如何變化，價格問題始終是“單價×數(shù)量=總價”這一“價格問題”模型的變式。分別改變該模型中的三個要素，可形成三個不同的變式模型。教師可以讓學(xué)生先通過調(diào)研羅列出所有現(xiàn)實模型，再引導(dǎo)學(xué)生將其簡化為“單價×數(shù)量=總價”，以此構(gòu)建一般化模型。

這一模型結(jié)構(gòu)在后續(xù)學(xué)習(xí)中會進一步迭代。例如，在四年級下冊乘法意義的教學(xué)中，聚焦“幾個幾相加的和”這一模型，將其進一步拓展為“1倍量×倍數(shù)=倍數(shù)對應(yīng)的量”，然后在分?jǐn)?shù)問題的解決中建構(gòu)“單位‘1的量×分率=分率對應(yīng)的量”這一模型，以及利率、納稅、折扣等相關(guān)變式問題。每一次迭代，教師都可以讓學(xué)生將新知模型歸類到乘法模型中，最終形成整體性的結(jié)構(gòu)模型，實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模力的進階。

（二）實踐中學(xué)數(shù)學(xué)：基于生活實踐經(jīng)歷“建?！钡倪^程

建構(gòu)“模型”的過程，是學(xué)生形成“結(jié)構(gòu)模型”的過程，也是學(xué)生經(jīng)歷知識“模型化”的過程。實踐證明，在生活情境中運用數(shù)學(xué)可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)歷程，幫助學(xué)生對現(xiàn)實情境形成結(jié)構(gòu)化的理解，進而將大量的生活信息抽象為數(shù)學(xué)信息，與數(shù)量關(guān)系一一對應(yīng)，再歸類到同一模型中，構(gòu)建作為結(jié)果的“結(jié)構(gòu)模型”。

如針對“價格問題”這一模型，筆者設(shè)計了三個實踐活動（如表3），讓學(xué)生通過實踐，經(jīng)歷整個學(xué)習(xí)與建模過程，促進現(xiàn)實模型與數(shù)學(xué)模型的反復(fù)轉(zhuǎn)換，以幫助學(xué)生完善模型并對其進行拓展應(yīng)用。

“商品價格調(diào)研”活動讓學(xué)生經(jīng)歷對現(xiàn)實情境的數(shù)學(xué)化識別簡化過程，在求解表征的過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型?！百I賣”活動是對這一模型的具體應(yīng)用，學(xué)生在“買賣”活動中遷移或創(chuàng)新價格模型，這同時也是對這一模型的反復(fù)檢驗。“數(shù)頭發(fā)”活動是此模型遷移應(yīng)用到其他情境中的一種嘗試，更具挑戰(zhàn)性。學(xué)生在這一系列活動中，不斷重復(fù)“現(xiàn)實模型—數(shù)學(xué)模型—現(xiàn)實模型”的建立和轉(zhuǎn)換，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模力的不斷提升與進階。

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡金法，劉啟蒙.讀懂每一個學(xué)生：課堂評估的目的、設(shè)計、分析和使用策略［M］.上海：上海教育出版社，2022：126.

［2］劉琳娜，劉加霞.數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2018（7/8）：35-39.

［3］章勤瓊，陳肖穎.小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識的內(nèi)涵、表現(xiàn)與教學(xué)：兼論核心素養(yǎng)的表現(xiàn)性目標(biāo)［J］.課程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

（浙江省杭州市富陽區(qū)富春第八小學(xué)）