小學(xué)數(shù)學(xué)建模力的內(nèi)涵思考與教學(xué)應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)課程要使學(xué)生“能夠在現(xiàn)實(shí)生活與其他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問題”。作為結(jié)構(gòu)的模型與作為過程的建模是數(shù)學(xué)模型的兩個(gè)方面。數(shù)學(xué)建模力的培養(yǎng)尤為關(guān)鍵。加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)建模過程與能力測評的研究，有助于在課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。為此，葛素兒老師和她的研究團(tuán)隊(duì)，結(jié)合相關(guān)教學(xué)實(shí)踐，對小學(xué)數(shù)學(xué)建模力的內(nèi)涵、價(jià)值與測評工具設(shè)計(jì)和培育路徑進(jìn)行了思考與實(shí)踐。本期特刊發(fā)她們的部分研究成果，為廣大教師落實(shí)關(guān)鍵學(xué)力測評提供實(shí)證研究樣例，進(jìn)而培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【摘?? 要】模型意識包括作為結(jié)構(gòu)的模型與作為過程的建模兩方面內(nèi)涵。教師從模型與建模的角度對數(shù)學(xué)建模力進(jìn)行闡述，并嘗試從評估量表和任務(wù)兩個(gè)層面設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)建模力測評工具，從而在觀照模型意識的同時(shí)，助推“三會”核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的落實(shí)。

【關(guān)鍵詞】模型意識；數(shù)學(xué)建模力；測評工具

數(shù)學(xué)的基本思想，即抽象、推理、模型，為實(shí)現(xiàn)由現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、由數(shù)學(xué)到現(xiàn)實(shí)提供了思維功能［1］。其中，建模所對應(yīng)的基本思想是模型。它一直以來都是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的焦點(diǎn)，被眾多國家列為數(shù)學(xué)課程的培育目標(biāo)。例如，美國于2010年發(fā)布的《州共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)建模列為貫穿小學(xué)、初中和高中階段的八個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)踐之一［2］。我國的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”），則分別以“模型意識”“模型觀念”及“數(shù)學(xué)建?！比齻€(gè)層級，體現(xiàn)從小學(xué)至高中階段的素養(yǎng)進(jìn)階。這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的重要性。

數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中無處不在。盡管相較于初中、高中，小學(xué)數(shù)學(xué)的建模要求較低，但這并不意味著小學(xué)數(shù)學(xué)可以忽視對建模的研究。數(shù)學(xué)建模能夠啟發(fā)小學(xué)生使用數(shù)學(xué)工具的意識，并為他們未來建立更加復(fù)雜的模型打下基礎(chǔ)［3］。2022年版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“能夠在現(xiàn)實(shí)生活與其他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問題”的過程，即要求依托數(shù)學(xué)建模來解決問題。因此，加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)建模過程與能力測評的研究，能使模型意識的內(nèi)涵更為清晰，表現(xiàn)水平更為具體，有助于“三會”核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的落實(shí)。

一、數(shù)學(xué)建模力的內(nèi)涵與要素

（一）模型與建模

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型是為了達(dá)到某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的等式、不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式［4］。這是對“模型”廣義上的理解。在廣義范疇內(nèi)，學(xué)習(xí)過程中的知識、思維和方法結(jié)構(gòu)均可視為模型。

從結(jié)構(gòu)視角來看，“模型”是作為名詞來理解的。但它同時(shí)也可作為動詞進(jìn)行解釋，以強(qiáng)調(diào)建模的過程（如圖1）。建模強(qiáng)調(diào)形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程，是一個(gè)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界（觀察行為或現(xiàn)象）和數(shù)學(xué)世界（模型、數(shù)學(xué)運(yùn)算和發(fā)展以及數(shù)學(xué)結(jié)論）的過程［5］107。

（二）模型意識與數(shù)學(xué)建模力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。2022年版課標(biāo)提出，“模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”，感悟模型的普適性需經(jīng)歷“能夠認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋”的建模過程。因此，模型意識的內(nèi)涵包括作為結(jié)構(gòu)的模型與作為過程的建模兩方面。發(fā)展模型意識需要將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化，形成一般化的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，再將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)問題的解決中［5］109。

那么，何謂數(shù)學(xué)建模力？《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將“數(shù)學(xué)建模”界定為“對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”。與高中數(shù)學(xué)建模不同的是，小學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒痈嗍沁\(yùn)用建模思想引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程。根據(jù)相關(guān)課程標(biāo)準(zhǔn)對“模型意識”“數(shù)學(xué)建?！钡慕缍āW(xué)業(yè)要求及小學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，給小學(xué)數(shù)學(xué)建模力下一個(gè)定義：學(xué)生識別現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)學(xué)信息，運(yùn)用文字、圖表等形式建立信息之間的關(guān)聯(lián)，以多元表征的方式解決問題，概括歸納一般化模型，并嘗試遷移應(yīng)用到一類問題的能力。

（三）數(shù)學(xué)建模力的核心要素

小學(xué)數(shù)學(xué)建模力的建構(gòu)過程（如圖2），是一個(gè)由“現(xiàn)實(shí)情境”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問題”，經(jīng)歷解決問題的過程后再回到現(xiàn)實(shí)情境應(yīng)用的過程。該過程強(qiáng)調(diào)識別與理解、表征與聯(lián)結(jié)、解答與說理、檢驗(yàn)與反思、解釋與歸納、內(nèi)化與遷移等數(shù)學(xué)活動，相對弱化建模過程中的假設(shè)、調(diào)整與驗(yàn)證。其核心要素是簡化、求解與應(yīng)用。

“簡化”主要是指學(xué)生能識別與理解現(xiàn)實(shí)情境中的關(guān)鍵信息，能用文字、圖表等多元表征的方式聯(lián)結(jié)有效信息，能將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。例如，面對“用12幅邊長是2分米的作品設(shè)計(jì)‘繪畫園地，并在其四周貼上花邊，如何設(shè)計(jì)才能使貼的花邊最短”這一現(xiàn)實(shí)情境，學(xué)生需識別與關(guān)聯(lián)“作品形狀”和“作品組合方式”兩個(gè)關(guān)鍵要素，將“如何設(shè)計(jì)花邊最短”的現(xiàn)實(shí)問題簡化為“如何使周長最短”的數(shù)學(xué)問題。問題簡化是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

“求解”主要是指學(xué)生能從不同角度思考問題，能用多種方法解決問題，形成正確結(jié)論并進(jìn)行說理，能反思與優(yōu)化解決問題的方案，形成初步建立模型的能力。例如，在求解“如何設(shè)計(jì)花邊最短”的問題時(shí)，學(xué)生嘗試用1×12、2×6或3×4等不同組合方式進(jìn)行表征，結(jié)合計(jì)算、對比、說理等活動，初步發(fā)現(xiàn)“邊的重合”與“周長”的關(guān)系，得到“3×4”的組合為最優(yōu)方案。問題求解是小學(xué)數(shù)學(xué)建模的核心環(huán)節(jié)。

“應(yīng)用”主要是指學(xué)生能歸納出一般化數(shù)學(xué)模型并作出解釋，能運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決同類問題的能力。例如，學(xué)生在得出“如何設(shè)計(jì)花邊最短”的方案之后，能從“邊的重合數(shù)”的角度進(jìn)行解釋，初步歸納出“所拼圖形最接近正方形（即長與寬最接近）時(shí)周長最短”的數(shù)學(xué)模型。隨后，學(xué)生能將該模型遷移應(yīng)用到長方形或長方形、正方形組合的周長何時(shí)最短等同類情境中。模型應(yīng)用是小學(xué)數(shù)學(xué)建模的拓展環(huán)節(jié)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)建模力培養(yǎng)的價(jià)值取向

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)建模的過程，側(cè)重于理解、聯(lián)結(jié)與應(yīng)用，具有多元化的價(jià)值。

（一）重視理解，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化

數(shù)學(xué)化是把不同層次的常識進(jìn)行提煉和組織，凝聚而成的概念、性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，包括橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化，基本方式是模型化與結(jié)構(gòu)化（如圖3）。［7］學(xué)生可在理解知識互譯的過程中，體驗(yàn)“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)建模過程。

例如，在“小數(shù)的初步認(rèn)識”的教學(xué)中，學(xué)生圍繞人民幣模型、面積模型和線段模型完成“尋找0.7元”和借助米尺“尋找0.7”兩個(gè)任務(wù)，經(jīng)歷“找一找、圈一圈、涂一涂、標(biāo)一標(biāo)、說一說”等多元表征活動，初步建立十進(jìn)分?jǐn)?shù)與一位小數(shù)的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，將0.7元、0.7米和0.7分米的直觀圖示進(jìn)行對比思辨，進(jìn)而抽象出數(shù)軸模型，強(qiáng)化單位細(xì)分的“十進(jìn)”關(guān)系。這一過程經(jīng)歷了從現(xiàn)實(shí)原型到面積模型、線段模型，再到數(shù)軸模型的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化。

（二）關(guān)注聯(lián)結(jié)，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化

在學(xué)習(xí)過程中，既有靜態(tài)儲蓄型的知識聯(lián)結(jié)，也有動態(tài)轉(zhuǎn)換型的思維過程聯(lián)結(jié)，更有自我更新型的方法觀念聯(lián)結(jié)［8］。在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生需經(jīng)歷從知識聯(lián)結(jié)到思維聯(lián)結(jié)再到方法觀念聯(lián)結(jié)的發(fā)展過程。例如，在構(gòu)建植樹問題模型時(shí)（如表1），將“植樹問題”簡化為“包含除問題”，將“棵數(shù)、間隔”抽象為“點(diǎn)段模型”，借助實(shí)物圖、線段圖等多元表征的方式尋求數(shù)學(xué)問題的解決方案，體會植樹問題中“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，概括歸納出“總長÷間隔=棵數(shù)”的一般化模型；再結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境對模型進(jìn)行驗(yàn)證與優(yōu)化，并遷移應(yīng)用到公交車站、路燈、臺階、鋸木頭等現(xiàn)實(shí)情境模型中。由此可見，在知識、思想與方法的聯(lián)結(jié)過程中，體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化。

（三）強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，突出一般化

從特殊到一般的概括歸納，將一個(gè)問題的解決拓展為一類問題的解決，是數(shù)學(xué)建模不可或缺的環(huán)節(jié)。例如，“用數(shù)字1、2、3、4、5編一個(gè)三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，如何組合能使算式的積最大或最小”這一問題，實(shí)際上是對周長、面積變化規(guī)律的拓展應(yīng)用。在解決這一“新問題”時(shí)，可以先將其還原為三位數(shù)乘兩位數(shù)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生嘗試用面積模型對算式進(jìn)行拆分，然后在對圖、式與義進(jìn)行表征聯(lián)結(jié)和解釋的基礎(chǔ)上，將“周長一定，長和寬越接近，面積越大”的幾何模型進(jìn)一步改造為“和一定，差越小，積越大”的代數(shù)模型。這一過程體現(xiàn)了一般化思想。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)建模力測評工具的初步構(gòu)建

研發(fā)測評工具是實(shí)現(xiàn)“學(xué)—教—評”一致性的重要手段，它能夠?yàn)榻處熢跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中貫徹建模思想以及培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)建模力提供評價(jià)依據(jù)。

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)建模力測評工具的設(shè)計(jì)

借鑒蔡金法教授的觀念，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)建模“循環(huán)”過程的評估包括問題、規(guī)劃、計(jì)算、解釋、驗(yàn)證與報(bào)告六個(gè)環(huán)節(jié)［6］126。結(jié)合王田等學(xué)者的觀點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)建模能力可分為數(shù)學(xué)建模元認(rèn)知能力與數(shù)學(xué)建模過程能力兩部分，其中數(shù)學(xué)建模過程能力可以進(jìn)一步分為理解信息、建立模型、數(shù)學(xué)運(yùn)算和解釋驗(yàn)證四個(gè)維度［9］。此外，章勤瓊博士提出模型意識具有識別、表征、抽象及概括這四個(gè)層次的表現(xiàn)［5］109。

綜合參考上述評估工具，以及本研究對小學(xué)數(shù)學(xué)建模力的界定，筆者從識別、簡化、求解與應(yīng)用四個(gè)維度嘗試設(shè)計(jì)了評估量表（如表2），以評估學(xué)生在建模過程中的能力水平。

識別理解水平主要評估學(xué)生是否能識別關(guān)鍵信息并理解其蘊(yùn)含的意義；表征聯(lián)結(jié)水平主要評估學(xué)生是否能借用表征手段，將現(xiàn)實(shí)問題簡化為數(shù)學(xué)問題，并嘗試初步建立模型；解答反思水平主要評估學(xué)生運(yùn)用已有知識、思維和方法結(jié)構(gòu)解決問題，以及對形成的方案、結(jié)論進(jìn)行說理、反思與歸納的能力；解釋應(yīng)用水平主要評估學(xué)生概括歸納一般化模型，以及運(yùn)用模型進(jìn)行解釋與應(yīng)用的能力。鑒于學(xué)生間存在能力差異，教師可在該量表基礎(chǔ)上對各水平層次進(jìn)行細(xì)化或通過賦分（0～4分）具體量化學(xué)生水平，從而更加精準(zhǔn)地評估學(xué)生的建模力。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)建模力測評任務(wù)的編制

評估量表一方面可以作為數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)任務(wù)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，另一方面也可以用來開展小學(xué)生數(shù)學(xué)建模力的專項(xiàng)測評。

1.作為驅(qū)動學(xué)習(xí)的建模任務(wù)編制

編制作為驅(qū)動學(xué)習(xí)進(jìn)程的建模任務(wù)，需結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)問題情境，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)評估目標(biāo)設(shè)計(jì)進(jìn)階任務(wù)與評價(jià)量規(guī)。以“百分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”教學(xué)內(nèi)容為例，筆者設(shè)計(jì)了核心任務(wù)“標(biāo)準(zhǔn)我來定”（如表3）的建模任務(wù)。該建模任務(wù)讓學(xué)生在理解百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義和初步感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究，并有測評工具作為評估依據(jù)，任務(wù)設(shè)計(jì)的針對性更強(qiáng)。

學(xué)生完成“標(biāo)準(zhǔn)我來定”任務(wù)的過程，其實(shí)就是經(jīng)歷“識別理解—表征聯(lián)結(jié)—解答反思—解釋應(yīng)用”進(jìn)行建模的過程。讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)所在班級仰臥起坐水平的評估模型，既是對百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義的靈活應(yīng)用，也是對學(xué)生數(shù)學(xué)建模力的培養(yǎng)。

2.作為專項(xiàng)測評的建模任務(wù)編制

專項(xiàng)測評有助于評估小學(xué)生的建模力，發(fā)現(xiàn)其在建模過程中存在的問題，并基于數(shù)據(jù)驅(qū)動教師改進(jìn)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)循證實(shí)踐。那么，如何設(shè)計(jì)一份評估目標(biāo)清晰的建模任務(wù)呢？以“租船任務(wù)”（表內(nèi)乘法的拓展）為例，為評估二年級學(xué)生對乘法意義的理解及其對乘法分配律的前認(rèn)知水平，筆者以春游中的“租船問題”為情境編制了相應(yīng)的建模力評估量表（如表4），以此展開測評。該測評在“表內(nèi)乘法”單元結(jié)束后進(jìn)行，測評時(shí)，問題（1）～（2）和問題（3）～（4）分兩次布置，具體如下。

二年級小朋友去坐游船，小船和大船各租了12條，每條船都坐滿。

（1）你知道了哪些數(shù)學(xué)信息？你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

（2）你準(zhǔn)備怎么解決這些數(shù)學(xué)問題？請你先畫一畫、算一算，再把自己的想法寫下來。

（3）樂樂是用下面兩種方法解決問題的，他采用的方法和你的方法一樣嗎？請你先根據(jù)點(diǎn)子圖填一填，再寫一寫自己的發(fā)現(xiàn)。

[2×12=（? ）×（? ）+（? ）×（? ）=（? ）

]

我發(fā)現(xiàn)：

4×12=（? ）×（? ）+（? ）×（? ）=（? ）

（4）你能用上面的方法來解決“每張門票要6元，12人需要付多少錢”這個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？你是怎么想的？

乘法分配律模型的建構(gòu)屬于長程設(shè)計(jì)過程，教師可以在小學(xué)二年級“表內(nèi)乘法”單元教學(xué)中加以滲透。通過專項(xiàng)評估可以發(fā)現(xiàn)，有40%的學(xué)生具備初步的“拆分”意識，這為在“表內(nèi)乘法”教學(xué)中滲透“乘法分配律”模型提供了佐證依據(jù)。

綜上所述，數(shù)學(xué)建?？梢钥醋饕环N學(xué)習(xí)與理解數(shù)學(xué)的教學(xué)活動，側(cè)重于用模型思想去理解數(shù)學(xué)的各種抽象模式，包括概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)。加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)建模力的培養(yǎng)和評估，在關(guān)注模型意識的同時(shí)，還培育了學(xué)生的“三會”核心素養(yǎng)。當(dāng)然，建模是一個(gè)相對復(fù)雜的過程，在后續(xù)研究中，還需要進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生在感悟“數(shù)學(xué)模型的普適性”過程中的元認(rèn)知能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］史寧中.漫談數(shù)學(xué)的基本思想［J］.中國大學(xué)教學(xué)，2011（7）：9-11.

［2］全美州長協(xié)會和首席州立學(xué)校官員理事會.美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：歷史、內(nèi)容和實(shí)施［M］.蔡金法，孫偉，江春蓮，等譯.北京：人民教育出版社，2016．

［3］美國數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會，美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會.數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評估指南［M］.梁貫成，賴明治，喬中華，等譯.上海：上海大學(xué)出版社，2017．

［4］劉琳娜，劉加霞.數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2018（7/8）：35-39.

［5］章勤瓊，陳肖穎.小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識的內(nèi)涵、表現(xiàn)與教學(xué)：兼論核心素養(yǎng)的表現(xiàn)性目標(biāo)［J］.課程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

［6］蔡金法，劉啟蒙.讀懂每一個(gè)學(xué)生：課堂評估的目的、設(shè)計(jì)、分析和使用策略［M］.上海：上海教育出版社，2022.

［7］劉加霞.數(shù)學(xué)化：“是什么”與“怎么做”［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（7/8）：1.

［8］葛素兒.數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)力：內(nèi)涵、價(jià)值與測評列舉［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2023（5）：5-9.

［9］王田，周達(dá)，謝志勇，等.小學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力結(jié)構(gòu)模型的建構(gòu)研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（6）：72-80.

（浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心）