劉霞

【摘?? 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將百分?jǐn)?shù)知識(shí)從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域移至“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域。在學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義及初步感受其統(tǒng)計(jì)意義的基礎(chǔ)上，教師設(shè)計(jì)了“標(biāo)準(zhǔn)我來(lái)定”的核心任務(wù)，開(kāi)展了“制定班級(jí)仰臥起坐標(biāo)準(zhǔn)”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程。同時(shí)，以識(shí)別、聯(lián)結(jié)、解答和應(yīng)用四個(gè)要素為依托，制定評(píng)價(jià)量規(guī)，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中收集的數(shù)據(jù)，分析學(xué)生建模力的水平層次，由此提出教學(xué)改進(jìn)對(duì)策。

【關(guān)鍵詞】制訂標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)建模力；核心任務(wù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”）對(duì)百分?jǐn)?shù)知識(shí)進(jìn)行了調(diào)整，將其從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域移至“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域。同時(shí)，建議“利用現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的隨機(jī)數(shù)據(jù)引入百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)”，以凸顯百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。基于此教學(xué)理念，筆者設(shè)計(jì)了“標(biāo)準(zhǔn)我來(lái)定”的核心任務(wù)，在學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義及初步感受其統(tǒng)計(jì)意義的基礎(chǔ)上，開(kāi)展了“制定班級(jí)仰臥起坐標(biāo)準(zhǔn)”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程，提升數(shù)學(xué)建模力。

一、核心任務(wù)與量規(guī)設(shè)計(jì)

制定標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程能夠考查學(xué)生識(shí)別理解仰臥起坐數(shù)據(jù)信息，及運(yùn)用百分?jǐn)?shù)知識(shí)解決問(wèn)題方面的能力，涉及簡(jiǎn)化與聯(lián)結(jié)、解答與說(shuō)理、反思與歸納、內(nèi)化與遷移等過(guò)程?；诖?，可從“識(shí)別理解、表征聯(lián)結(jié)、解答反思和解釋應(yīng)用”四個(gè)層次出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“標(biāo)準(zhǔn)我來(lái)定”任務(wù)的模型（如圖1）。

（一）核心任務(wù)設(shè)計(jì)及意圖

“標(biāo)準(zhǔn)我來(lái)定”任務(wù)的建模過(guò)程相對(duì)比較開(kāi)放，但圍繞這一過(guò)程所設(shè)計(jì)的核心任務(wù)應(yīng)是明確且有序列的，學(xué)生可采用小組合作的方式完成。具體的任務(wù)設(shè)計(jì)如表1所示。

（二）“建模力”測(cè)評(píng)量規(guī)設(shè)計(jì)

“標(biāo)準(zhǔn)我來(lái)定”任務(wù)的評(píng)估量表將學(xué)生的建模能力分為識(shí)別理解、表征聯(lián)結(jié)、解答反思和解釋應(yīng)用四個(gè)水平層次，具體解析如表2所示。

二、實(shí)踐過(guò)程與結(jié)果分析

本次實(shí)證研究以“標(biāo)準(zhǔn)我來(lái)定”任務(wù)為驅(qū)動(dòng)，在杭州市的兩所城區(qū)學(xué)校和一所農(nóng)村學(xué)校各選取了一個(gè)六年級(jí)班級(jí)展開(kāi)教學(xué)實(shí)踐，并對(duì)這三個(gè)班共125名學(xué)生進(jìn)行了建模力測(cè)評(píng)。下面將結(jié)合學(xué)生課堂生成作品及課堂交流，對(duì)學(xué)生的建模水平進(jìn)行整體分析。

（一）總體把握，明確整體水平

為確保評(píng)估的精準(zhǔn)性，筆者在整理數(shù)據(jù)時(shí)，將量表的四個(gè)水平層級(jí)分別用“0～3”進(jìn)行賦分。平均分達(dá)到2分為優(yōu)秀，達(dá)到1.5分為良好，1分以上為合格。四個(gè)水平層級(jí)的具體均值如表3所示。

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，水平1、水平2、水平4層級(jí)的均值達(dá)到良好，表明大部分學(xué)生能夠確立一種標(biāo)準(zhǔn)。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：表征聯(lián)結(jié)層級(jí)的均值低于識(shí)別理解層級(jí)，說(shuō)明思考與實(shí)踐之間存在一定差距；解答反思層級(jí)的均值最低，表明學(xué)生并未充分理解“樣本數(shù)據(jù)的大小及各層級(jí)人數(shù)占比”對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的影響；解釋應(yīng)用層級(jí)的均值高于解答反思層級(jí)，說(shuō)明班級(jí)內(nèi)的交流與分享對(duì)部分同學(xué)產(chǎn)生了積極影響，也驗(yàn)證了合作交流的重要性。

總體來(lái)看，針對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用百分?jǐn)?shù)知識(shí)進(jìn)行建模的水平并不樂(lè)觀。因此，有必要展開(kāi)進(jìn)一步分析，找準(zhǔn)學(xué)生困惑點(diǎn)，有針對(duì)性地開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐。

（二）逐級(jí)分析，找準(zhǔn)學(xué)生困惑點(diǎn)

下面從四個(gè)水平層級(jí)出發(fā)，對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行深入分析，以找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑點(diǎn)。

1.能基于現(xiàn)實(shí)情境識(shí)別關(guān)鍵信息，但信息關(guān)聯(lián)能力較弱

識(shí)別理解是建模的第一環(huán)節(jié)，只有對(duì)問(wèn)題形成清晰的理解，才能順利進(jìn)入表征和建模環(huán)節(jié)。實(shí)踐數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，學(xué)生能從“學(xué)號(hào)”信息中讀取“總?cè)藬?shù)”信息，但只有32.00%的學(xué)生能綜合考慮仰臥起坐個(gè)數(shù)和人數(shù)占比兩個(gè)信息來(lái)制定標(biāo)準(zhǔn)，大部分學(xué)生只能借助一個(gè)信息來(lái)制定標(biāo)準(zhǔn)，而未能充分理解另一個(gè)信息在標(biāo)準(zhǔn)制定中的價(jià)值。

2.能依據(jù)一定規(guī)則構(gòu)建模型，但標(biāo)準(zhǔn)缺乏合理性

表4為學(xué)生在表征聯(lián)結(jié)層級(jí)的具體表現(xiàn)。由表4數(shù)據(jù)可知，88.00%的學(xué)生能夠根據(jù)自己的理解，建立一套屬于自己班級(jí)的仰臥起坐標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建初步模型。然而，學(xué)生并未關(guān)注所構(gòu)建的模型是否合理。所以，當(dāng)他們面對(duì)一個(gè)相對(duì)開(kāi)放的問(wèn)題情境時(shí)，就會(huì)因?yàn)槿狈Χ嘣畔⒌穆?lián)結(jié)力，導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)制定缺乏合理性。

表4 表征聯(lián)結(jié)層級(jí)的具體表現(xiàn)

[具體表現(xiàn)????? 人數(shù)/人?? 占比?????? 0分：無(wú)法制定標(biāo)準(zhǔn)???? 15??? 12.00%?? 1分：按照人數(shù)或者個(gè)數(shù)劃分出3～6個(gè)層級(jí)，能正確計(jì)算出占比，也能夠?qū)Ψ謱舆^(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)理?????? 39??? 31.20%?? 2分：標(biāo)準(zhǔn)制定過(guò)程中，能按照仰臥起坐個(gè)數(shù)劃分等級(jí)，并結(jié)合人數(shù)占比進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整??? 37??? 29.60%?? 3分：能夠發(fā)現(xiàn)不同標(biāo)準(zhǔn)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，并對(duì)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行優(yōu)化 34??? 27.20%?????? ]

3.能對(duì)所建模型的合理性進(jìn)行思辨，但反思說(shuō)理不夠到位

在開(kāi)展班級(jí)標(biāo)準(zhǔn)制定這一活動(dòng)后，教師設(shè)計(jì)了“與較大樣本對(duì)比、與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比、修正自定標(biāo)準(zhǔn)”的問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生思辨自身所制定標(biāo)準(zhǔn)的合理性。從實(shí)踐情況來(lái)看，學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的適用范圍和統(tǒng)計(jì)意義有一定的理解，但只有25.60%的學(xué)生能結(jié)合百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義合理地說(shuō)理（如表5）。

4.能結(jié)合評(píng)估模型和現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)、解釋，但決策能力較弱

解釋應(yīng)用環(huán)節(jié)考查學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解與將所建模型應(yīng)用到同類情境中的能力。從實(shí)踐情況來(lái)看，相較于標(biāo)準(zhǔn)制定環(huán)節(jié)，解釋應(yīng)用環(huán)節(jié)的活動(dòng)進(jìn)展得較為順利，這說(shuō)明思辨過(guò)程使學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義和所建模型的代表性有了更深入的理解。大部分學(xué)生能結(jié)合評(píng)估模型和現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)、解釋，但整體決策能力仍有待提升，僅有24.00%的學(xué)生能結(jié)合分析結(jié)果給出改進(jìn)建議。

三、教學(xué)思考

培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模力既能推動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)意義的理解，也能促使學(xué)生從數(shù)學(xué)角度審視現(xiàn)實(shí)世界，并解釋其中的現(xiàn)象。那么，如何提升學(xué)生運(yùn)用百分?jǐn)?shù)知識(shí)進(jìn)行建模的能力呢？可以從以下四個(gè)方面進(jìn)行思考。

（一）重視多元表征，理解知識(shí)本質(zhì)

百分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)量之一。如何構(gòu)建百分?jǐn)?shù)的模型，影響著學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解。而多元表征方式為學(xué)生深度理解知識(shí)提供了可視化支持。在教學(xué)百分?jǐn)?shù)知識(shí)時(shí)，教師可以呈現(xiàn)確定量和不確定量的素材，借助圖式表征，幫助學(xué)生構(gòu)建百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義和數(shù)學(xué)意義。

（二）注重信息聯(lián)結(jié)，簡(jiǎn)化現(xiàn)實(shí)情境

將現(xiàn)實(shí)情境簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)情境是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵步驟。在這一過(guò)程中，學(xué)生需要具備較強(qiáng)的信息關(guān)聯(lián)能力，并借助包含多元信息的問(wèn)題情境進(jìn)行實(shí)踐。例如，在完成“標(biāo)準(zhǔn)我來(lái)定”的核心任務(wù)之后，教師可讓學(xué)生結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行思辨：“同一件衣服，三家店鋪都有銷售，應(yīng)從哪家購(gòu)買？”并做出決策。解決這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需關(guān)聯(lián)“粉絲數(shù)”和“好評(píng)率”等相關(guān)數(shù)據(jù)，對(duì)情境進(jìn)行簡(jiǎn)化。

為提升學(xué)生的信息關(guān)聯(lián)能力，教師可以設(shè)計(jì)如下思考序列：（1）從題目中可以獲取哪些信息？（2）根據(jù)這個(gè)信息，你能知道什么？需要解決什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？（3）你的結(jié)論是什么？（4）你的想法是什么？由此，幫助學(xué)生養(yǎng)成看到數(shù)據(jù)就能產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的習(xí)慣，進(jìn)而提升簡(jiǎn)化能力。

（三）培養(yǎng)反思意識(shí)，修正建模路徑

在建模過(guò)程中，學(xué)生需要不斷反思并修正自己的建模方向。可見(jiàn)，反思意識(shí)是建模力提高的重要因素。采用小組合作的學(xué)習(xí)方式，有助于促進(jìn)學(xué)生間的信息交流和思維碰撞，進(jìn)而提高學(xué)生的反思意識(shí)。為此，在標(biāo)準(zhǔn)制定任務(wù)中，教師可以設(shè)計(jì)如下的問(wèn)題解決序列：（1）獨(dú)立完成，寫出想法；（2）小組交流分享；（3）反思修改；（4）全班匯報(bào)交流；（5）反思驗(yàn)證。這樣的問(wèn)題解決序列既給予學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)空，也給予他們交流碰撞的機(jī)會(huì)。

（四）創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)情境，拓寬應(yīng)用范圍

建模力的培養(yǎng)要以真實(shí)情境作為載體，并設(shè)計(jì)優(yōu)質(zhì)且多領(lǐng)域的問(wèn)題。2022年版課標(biāo)將百分?jǐn)?shù)知識(shí)從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，凸顯了百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。因此，教師可關(guān)注命中率、達(dá)標(biāo)率等典型統(tǒng)計(jì)素材，將其作為模型建構(gòu)與拓展的載體，以提升學(xué)生的建模能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)量、圖形有關(guān)的故事。指向建模力的數(shù)學(xué)核心學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐，能使數(shù)學(xué)走出書(shū)本，構(gòu)建起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界間的橋梁。

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（浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)靈橋鎮(zhèn)中心小學(xué)）