趙麗芳

【摘?? 要】基于學(xué)習(xí)路徑對“分?jǐn)?shù)加減法”進(jìn)行單元整體教學(xué)分析，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直觀模型，通過將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，可以實(shí)現(xiàn)相同分?jǐn)?shù)單位的加減運(yùn)算。這樣的學(xué)習(xí)過程有助于學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，從而進(jìn)一步認(rèn)識到分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)在數(shù)的意義和運(yùn)算上的一致性。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)加減法；算理理解；運(yùn)算的一致性

基于學(xué)習(xí)路徑對“分?jǐn)?shù)加減法”進(jìn)行單元整體教學(xué)分析，可知本單元的核心目標(biāo)是“理解分?jǐn)?shù)加減法的算理，掌握算法，發(fā)展運(yùn)算能力”。對學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)的分析表明，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握同分母分?jǐn)?shù)加減法，且大部分學(xué)生已能將異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行計算。然而，學(xué)生僅意識到可以利用通分使計算更加簡便，或通過模仿進(jìn)行簡便計算，而不能解釋“為什么分母不同就不能直接相加減”的算理。因此，在教學(xué)過程中，教師需重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，即通過轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，實(shí)現(xiàn)相同分?jǐn)?shù)單位相加減。同時，使學(xué)生明確同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)為“求相同分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的加減”，進(jìn)而認(rèn)識同分母分?jǐn)?shù)加減與異分母分?jǐn)?shù)加減的一致性，并通過與整數(shù)、小數(shù)加減法進(jìn)行比較，揭示其運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。

一、回顧舊知，深入探究同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理

學(xué)生在三年級時已學(xué)習(xí)過同分母分?jǐn)?shù)加減法，但主要通過圖形直觀表征來理解算理，尚未真正認(rèn)識同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)，即相同分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的加減。通過數(shù)形結(jié)合和對比辨析，喚醒學(xué)生對同分母分?jǐn)?shù)加減法算理的記憶，并深入探究其本質(zhì)，能夠為他們后續(xù)學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。

（一）直觀闡釋，明確同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理

對學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)概念往往比整數(shù)概念更為抽象。因此，需借助直觀模型（數(shù)線、面積模型、集合等）來幫助學(xué)生深化理解，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)體驗，并將學(xué)生的思維可視化，使他們能夠從多個角度深入理解同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理。在前測中，教師要求學(xué)生用自己的方式表征同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，以喚醒他們已有的知識經(jīng)驗，并了解他們對同分母分?jǐn)?shù)加減法算理的理解程度。

【教學(xué)片段1】

教師出示前測材料（如圖1）。

師：這四名同學(xué)的方法都解釋清楚了為什么“[ 38+18 ]”會得到“[ 48 ]”。那么，數(shù)形結(jié)合的三種方法（圓形、長方形、線段圖）之間有什么共同點(diǎn)呢？

生：它們都是先表示出3份，再加上1份，就變成了4份。

生：它們都是在3個[ 18 ]的基礎(chǔ)上加上1個[ 18 ]，變成4個[ 18 ]，也就是[ 48 ]。

（經(jīng)過交流，學(xué)生達(dá)成共識：這些方法都是把東西平均分成8份，取這樣的3份，與1份進(jìn)行合并。由于平均分的份數(shù)始終沒有變，所以分母保持不變，即分?jǐn)?shù)單位相同。）

在這一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生能借助直觀模型表征運(yùn)算，但對于運(yùn)算前后的邏輯和原理，部分學(xué)生并未形成清晰的認(rèn)知，一旦脫離直觀模型，就難以清晰闡述算理。這表明他們尚未真正掌握同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)，即相同的分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行累加或相減。

（二）對比辨析，揭示同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)

為了使學(xué)生深入領(lǐng)會同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，教師需引導(dǎo)學(xué)生對不同的同分母分?jǐn)?shù)加減算式進(jìn)行對比辨析。學(xué)生通過不斷尋找證據(jù)與思辨，逐步修正自己的理解，并達(dá)成共識，即只有相同分?jǐn)?shù)單位的數(shù)才能直接相加或相減。這樣的對比辨析不僅為算法提供了理論依據(jù)，而且使算法本身更加具體，更具有操作性。由此，學(xué)生在這一過程中所獲得的算法，不再是枯燥的文字法則，而是基于深刻計算體驗形成的智慧結(jié)晶，從而幫助他們更加牢固地掌握同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)。

【教學(xué)片段2】

讓學(xué)生在“[ 38+18 ]=3個[ 18 ]+1個[ 18 ]=4個[ 18 ]=[ 48 ]”的基礎(chǔ)上繼續(xù)想象：除8以外，分母還可以是多少？表示什么意思？

生：[ 39+19 ]=3個[ 19 ]+1個[ 19 ]=4個[ 19 ]=[ 49 ]，表示把一個正方形平均分成9份，先取這樣的3份即3個[ 19 ]，再取1份即1個[ 19 ]，合起來就是4個[ 19 ]，即[ 49 ]。

生：[ 311+111 ]=3個[ 111 ]+1個[ 111 ]=4個[ 111 ]=[ 411 ]，表示把一條線段平均分成11份，先取這樣的3份即3個[ 111 ]，再取1份即1個[ 111 ]，合起來就是4個[ 111 ]，即[ 411 ]。

……

生：還可以用字母a（a不能為0）表示，[ 3a+1a ]=3個[ 1a ]+1個[ 1a ]=4個[ 1a ]=[ 4a ]，表示把一個物體平均分成a份，先取這樣的3份即3個[ 1a ]，再取1份即1個[ 1a ]，合起來就是4個[ 1a ]，即[ 4a ]。

（經(jīng)過交流思辨，學(xué)生達(dá)成共識：只要單位“1”被分成的份數(shù)相同，即分母相同，那么各自取的份數(shù)就可以直接相加或相減。這正是同分母分?jǐn)?shù)加減時，分母保持不變，而分子進(jìn)行加減的原理所在。）

本教學(xué)環(huán)節(jié)通過多次舉例和思辨，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固“相同分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的加減”的算理，從而在新舊知識之間搭建起穩(wěn)固的橋梁。這不僅為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法奠定基礎(chǔ)，還為他們理解“為何異分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減需要轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，即統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位”提供依據(jù)。

二、自主探索，明確異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理和算法

在教學(xué)中，為了體現(xiàn)異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的必要性，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生自主提出問題、分析問題和解決問題，自主探究異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理與算法，從而深化對算理的理解，提高自主學(xué)習(xí)及解決問題的能力。

（一）詮釋轉(zhuǎn)化，剖析異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理

理解異分母分?jǐn)?shù)加減法算理的關(guān)鍵在于領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想，其要點(diǎn)是將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計算。為此，需引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用面積模型、線段圖等進(jìn)行多元表征，深入剖析運(yùn)算過程與結(jié)果，從而加深學(xué)生對異分母分?jǐn)?shù)加減法算理與算法的理解。

【教學(xué)片段3】

1.引發(fā)提問，自主探究

根據(jù)[ 3a+1a=4a ]（a不能為0）可知，分?jǐn)?shù)單位相同時，分子的個數(shù)可以直接相加。由此引發(fā)學(xué)生思考：分?jǐn)?shù)單位不同的分?jǐn)?shù)相加該怎么計算呢？

教師出示學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組交流。

（1）在算式[3（? ）+1（? ）=] 中填入不同的大于0的數(shù)（建議不要大于10）。

（2）嘗試計算，并說說為什么這樣算（可以用畫圖等方法進(jìn)行說明）。

2.對比辨析，感悟算理

（1）交流兩類算式

◆第一類：轉(zhuǎn)化為小數(shù)來計算，如[ 34+12 ]。

生：0.75+0.5=1.25。

生：我是利用畫圖來說明計算過程的。將[ 34 ]和[ 12 ]轉(zhuǎn)化為分母相同的分?jǐn)?shù)，就可以直接相加。因為2和4的最小公倍數(shù)是4，所以將[ 12 ]轉(zhuǎn)化為[ 24 ]來計算，即3個[ 14 ]+2個[ 14 ]=5個[ 14 ]=[ 54]（如圖2）。

圖2

師：觀察這兩種方法，它們有什么共同點(diǎn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)這兩種方法其實(shí)都是將不同的分?jǐn)?shù)單位轉(zhuǎn)化為相同的分?jǐn)?shù)單位后再相加。第一種方法大家都懂；第二種方法是將[ 12 ]轉(zhuǎn)化為[ 24]，這樣它就和[ 34 ]的分母相同了，而同分母分?jǐn)?shù)相加我們已經(jīng)會算了。

◆第二類：分母不是倍數(shù)關(guān)系，至少有一個加數(shù)不能化為有限小數(shù)，如[ 34+16 ]。

生：我最先想到的是24是4和6的積，但這樣畫圖太復(fù)雜。我就想到它們的最小公倍數(shù)是12，所以可以把[ 34 ]轉(zhuǎn)化為[ 912 ]，把[ 16 ]轉(zhuǎn)化為[ 212 ]來計算，這樣就可以得出：9個[ 112 ]+2個[ 112 ]=11個[ 112 ]=[ 1112 ]。

生：我是取兩個分母的最小公倍數(shù)來作為公分母，先通分再計算，即[34+16=912+212=1112 ]。

（2）方法異中求同

師：觀察這幾種不同情況，你們有什么感想？

生：它們都是通過把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成相同計數(shù)單位的數(shù)來計算的。

生：我發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為小數(shù)的方法有時無法使用，但通分的方法卻總是可行的。

師：通分時，為什么同為[ 34 ]，在[ 34+12 ]中不用轉(zhuǎn)化，在[ 34+13 ]中卻要轉(zhuǎn)化為[ 912 ]？

生：是否需要轉(zhuǎn)化要看另一個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個分?jǐn)?shù)單位的公倍數(shù)即可直接相加減。

在學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加法的算理與算法后，直接讓他們討論減法該怎么計算，并編制兩道減法算式讓同桌完成，要求說出其中一道的計算理由。最后在交流展示中，引導(dǎo)學(xué)生明晰算理，并強(qiáng)調(diào)將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個分?jǐn)?shù)單位的最小公倍數(shù)來計算最為方便。

（二）類比提煉，掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法的算法

在深入理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理后，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生通過類比遷移的方式提煉算法。首先，讓學(xué)生回顧同分母分?jǐn)?shù)加減法的運(yùn)算過程，使他們明確這種算法是在分?jǐn)?shù)單位相同的前提條件下進(jìn)行的。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：異分母分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位不同，如何能夠直接進(jìn)行加減運(yùn)算呢？經(jīng)過思考，學(xué)生認(rèn)識到通分是解決這一問題的關(guān)鍵。通過通分，將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，確保分?jǐn)?shù)單位一致，從而順利地進(jìn)行加減運(yùn)算。在這一過程中，學(xué)生不僅迅速掌握了異分母分?jǐn)?shù)加減法的算法，還在類比遷移中深化了對算法背后數(shù)學(xué)邏輯的理解。

通過類比遷移的方式，學(xué)生不僅能夠鞏固已學(xué)知識，還能夠拓展新知，構(gòu)建完整的知識體系。同時，這種學(xué)習(xí)方式也培養(yǎng)了學(xué)生的類比推理能力和遷移應(yīng)用能力，為他們未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。

三、縱向貫通，感悟整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算一致性

在深入探究異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理與算法之后，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生縱向探尋整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算之間的一致性。通過精細(xì)的對比，學(xué)生逐漸認(rèn)識到，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，在進(jìn)行加減運(yùn)算時，都遵循共同的數(shù)學(xué)原理，即對相同計數(shù)單位的個數(shù)進(jìn)行加減。這一數(shù)學(xué)原理的理解，不僅強(qiáng)化了學(xué)生對分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的掌握，更完善與豐富了他們的數(shù)運(yùn)算知識體系。

【教學(xué)片段4】

師：剛才在填寫算式[3（?? ）+1（?? ）= ]時，大家舉出了[34+12]的例子，并發(fā)現(xiàn)計算時把它轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)[ 34+24 ]就可以直接相加。那么，大家思考一下，在算式3個（? ）+1個（? ）中還可以填什么？

生：可以填3個（10）+1個（10）=30+10=40。

生：3個（0.1）+1個（0.01）=0.3+0.01=0.31。

……

（經(jīng)過交流，學(xué)生達(dá)成共識：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減計算方法相同，都是相同計數(shù)單位個數(shù)的加減。）

通過這一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生不僅更加熟練地掌握了各種數(shù)的加減運(yùn)算方法，還從更高的角度審視和理解了數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)。他們開始意識到，數(shù)學(xué)并不是一個個孤立的知識體系，而是一個相互聯(lián)系、相互滲透的整體。這種縱向貫通的思維方式，不僅有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能夠培養(yǎng)他們的綜合能力和創(chuàng)新思維，為他們未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。

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（浙江省杭州市奧體實(shí)驗小學(xué)）