圖形的變化主要內(nèi)容包括圖形的軸對稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的相似、圖形的投影等。為了便于大家對這一部分知識有更清楚的了解，現(xiàn)以2023年中考試卷中出現(xiàn)的幾道典型題為例加以剖析，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

考點1 立體圖形展開圖

例1 （2023·四川德陽）如圖1，在底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=[23]，AA1=2，點M為AC的中點，一只小蟲從B1沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到M處，則小蟲爬行的最短路程等于 。

【解析】平面展開圖分為3種情況：

①如圖2，將三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C和側(cè)面CC1A1A沿CC1展開在同一平面內(nèi)，連接MB1。在Rt△MBB1中，由勾股定理得B1M=[31]。

②如圖3，把底面ABC和側(cè)面BB1A1A沿AB展開在同一平面內(nèi)，連接MB1，過點M作MF⊥A1B1于點F，交AB于點E，則四邊形AEFA1是矩形，ME⊥AB。在Rt△AME中，∠MAE=60°，所以ME=AM·sin60°=[32]，AE=AM·cos60°=[32]。所以MF=ME+EF=[72]，B1F=A1B1-A1F=[332]。在Rt△MFB1中，由勾股定理得B1M=[19]。

③如圖4，把底面A1B1C1和側(cè)面AA1C1C沿A1C1展開在同一平面內(nèi)，連接B1M交A1C1于點N，則B1M⊥AC，B1N⊥A1C1。在Rt△A1NB1中，∠NA1B1=60°，所以NB1=A1B1·sin60°=3。所以B1M=NB1+MN=5。

因為[19]＜5＜[31]，所以小蟲爬行的最短路程為[19]。

考點2 圖形的翻折及解直角三角形

例2 （2023·山東濟(jì)南）如圖5，將菱形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點D落在射線CA上的點E處，折痕CP交AD于點P。若∠ABC=30°，AP=2，則PD的長等于 。

【解析】如圖6，過點A作AF⊥PE于點F。因為ABCD為菱形，所以∠D=∠ABC=30°，AD=DC。在△ADC中，∠DAC=∠ACD=[12]（180°-∠D）=75°。根據(jù)翻折可得∠E=∠D=30°，PD=PE。根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠APE=∠PAC-∠E=75°-30°=45°。在Rt△APF中，∠APE=45°，AP=2，可求得AF=PF=[22]AP=[2]。在Rt△AEF中，∠E=30°，AF=[2]，得EF=[3]AF=[6]。所以PD=PE=EF+PF=[6]+[2]。

考點3 圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似的性質(zhì)和判定

例3 （2023·江蘇無錫）已知曲線C1、C2分別是函數(shù)y=[-2x]（x＜0），y=[kx]（k＞0，x＞0）的圖像，邊長為6的正△ABC的頂點A在y軸正半軸上，頂點B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），現(xiàn)將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B在曲線C1上時，點A恰好在曲線C2上，則k的值為 。

【解析】如圖7，過點A′作A′D⊥x軸于點D，過點B′作B′E⊥x軸于點E。由反比例函數(shù)k的幾何意義，可得S△OA′D=[12]k，S△OB′E=[12]×[-2]=1。由題意可知OA⊥BC，OB=OC=[12]BC=3，OA=[33]。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知OB′=OB=3，OA′=OA=[33]。所以[OA′OB′]=[3]。根據(jù)相似三角形判定定理，可證得△A′OD∽△OB′E。根據(jù)相似三角形性質(zhì)“面積比等于相似比的平方”，可得[S△A′ODS△B′OE]=（[OA′OB′]）2，即[12k1]=3。解得k=6。

（作者單位：江蘇省泗陽縣育才雙語學(xué)校）