第十一章 反比例函數(shù)

領(lǐng)" 銜" 人：黃秀旺（正高級(jí)教師、江蘇省特級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省南京市初中數(shù)學(xué)黃秀旺名師工作室

我們?cè)诎四昙?jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了“一次函數(shù)”，了解到研究函數(shù)的一般思路以及基本方法。本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)，以后還會(huì)學(xué)習(xí)二次函數(shù)，如果我們能把握函數(shù)視角的“前后聯(lián)系”，體會(huì)學(xué)習(xí)函數(shù)的共性，并以“一以貫之”的方式去探索和研究函數(shù)，將會(huì)事半功倍。

一、“反比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容

回顧一次函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，我們歸納出學(xué)習(xí)新函數(shù)大致包括以下內(nèi)容：（1）函數(shù)的概念；（2）函數(shù)的圖像與性質(zhì)；（3）函數(shù)與方程、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系；（4）用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。“反比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)也是從以上幾個(gè)方面展開(kāi)的。了解了反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容就相當(dāng)于我們知道了“要到哪里去”，并且會(huì)對(duì)函數(shù)有一個(gè)整體性的認(rèn)識(shí)。

二、“反比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)路徑與方法

我們除了知道了“要到哪里去”，還需要知道“怎么去”。所以，在這方面我們依然要聯(lián)系一次函數(shù)。一次函數(shù)的概念是通過(guò)具體的實(shí)例經(jīng)歷歸納、抽象、概括等過(guò)程得到的，同樣，反比例函數(shù)的概念也是經(jīng)歷以上過(guò)程得到的。

對(duì)于一次函數(shù)，我們先通過(guò)“點(diǎn)燃一支香，感受它的長(zhǎng)度隨著燃燒時(shí)間的變化而變化”的情境，直觀感受一次函數(shù)的圖像是一條直線，然后通過(guò)“列表、描點(diǎn)、連線”得到一次函數(shù)的圖像（是一條直線）；同樣，對(duì)于反比例函數(shù)，我們也是先通過(guò)反比例函數(shù)的表達(dá)式去描述函數(shù)的一些性質(zhì)，然后通過(guò)“列表、描點(diǎn)、連線”得到反比例函數(shù)的圖像，最后畫(huà)出更多不同反比例函數(shù)的圖像來(lái)歸納出它們的共性。

接下來(lái)，類(lèi)似于一次函數(shù)，我們可以利用反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)到反比例函數(shù)也是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一種模型。

在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，我們體會(huì)到一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系，比如，教材中的一個(gè)問(wèn)題：試根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像說(shuō)出2x+4=0、2x+4＞0、2x+4＜0的解。我們就可以利用一次函數(shù)y=2x+4的圖像，得到一元一次方程2x+4=0的解是x=-2，不等式2x+4＞0的解是x＞-2，不等式2x+4＜0的解是x＜-2。

那么，對(duì)于反比例函數(shù)，我們又該如何理解呢？我們以y=[6x]為例，如圖1，點(diǎn)（3，2）在圖像上，也就是說(shuō)當(dāng)x=3時(shí)，y=2，那么也可以理解為方程[6x]=2的解是x=3。同樣，不等式[6x]＞2表示的是圖像中點(diǎn)（3，2）的上方，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為x＜3，考慮反比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)，剛剛所提到的“點(diǎn)（3，2）的上方”，實(shí)際上是一條分支的上方，因此不等式[6x]＞2的解是0＜x＜3。顯然，不等式[6x]＜2的解是x＞3或x＜0。因此，我們也可以類(lèi)比一次函數(shù)與一次方程、一次不等式之間的聯(lián)系，來(lái)體會(huì)反比例函數(shù)與相應(yīng)的方程、不等式之間的聯(lián)系，正所謂“一以貫之”。

總之，我們應(yīng)善于運(yùn)用類(lèi)比的思想，展開(kāi)對(duì)新知的學(xué)習(xí)與研究。以一次函數(shù)為例，類(lèi)比學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，形成對(duì)反比例函數(shù)的整體性認(rèn)識(shí)，這樣我們不僅能習(xí)得反比例函數(shù)的知識(shí)與探究方法，更能提高探究函數(shù)的能力，為后續(xù)研究其他未知的函數(shù)奠定基礎(chǔ)。