摘要：在結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程中，阻尼被視為核心參數(shù)。經(jīng)典阻尼假定適用于阻尼較小、質(zhì)量和剛度分布比較均勻的建筑物。然而，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的動力特性分布不均勻，如復(fù)合材料、混合結(jié)構(gòu)、減隔振結(jié)構(gòu)等。在分析該類結(jié)構(gòu)，經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)假定給結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析帶來顯著的誤差。為解決這一問題，學(xué)者們采用了非經(jīng)典阻尼假定。為獲得非經(jīng)典阻尼假定下的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，對結(jié)構(gòu)動力分析方法進(jìn)行論述，總結(jié)其特點(diǎn)和適用范圍。

關(guān)鍵詞：非經(jīng)典阻尼 復(fù)模態(tài)法 直接積分法 實(shí)模態(tài)法

中圖分類號：O322

A Review of Methods for Solving the Non-Classical Damping System

BAI Yibin

School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology， Harbin，Heilongjiang Province ，150006 China

Abstract：Damping is considered as a core parameter in structural dynamic equations. The classical damping assumption is acceptable for buildings with small damping and therelatively uniform distribution of mass and stiffness. However，the distribution of the dynamic characteristics of actual engineering structures is uneven， such as composite materials， hybrid structures and vibrationreduction and isolation structures.In the analysis of such structures， the assumption of classical dampingstructures brings significant errors to structural response analysis. In order to solve this issue， scholars have adopted thenon-classical damping assumption. In order to obtain the structural dynamic response under the non-classical damping assumption， this paper discusses the structural dynamic analysis method， and summarizes its characteristics and scope of applicable.

KeyWords： Non-classical damping; Complex modal method; Immediate integration; Real modal method

結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)是阻尼的函數(shù)。在結(jié)構(gòu)動力分析過程中，需用合理的方法來表達(dá)阻尼。經(jīng)典阻尼假定阻尼力和變形速度成線性關(guān)系。經(jīng)典阻尼假定對振動是解耦的，能夠表達(dá)頻率、共振等物理現(xiàn)象，而且能夠通過結(jié)構(gòu)體系質(zhì)量和剛度構(gòu)造出具體的阻尼系數(shù)。實(shí)際表明，經(jīng)典阻尼假定適用于阻尼較小、質(zhì)量和剛度分布比較均勻的建筑物。然而，當(dāng)上述動力系統(tǒng)的特性分布不均Jn/ztl/PSZoD6XBEhaAzHu/97NnyGfZoQFHZg12IH2E=勻時，如土-結(jié)構(gòu)、流體-結(jié)構(gòu)、主從結(jié)構(gòu)、設(shè)置耗能裝置的減震控制體系及由性質(zhì)不同的材料組成的組合結(jié)構(gòu)，經(jīng)典阻尼假定會導(dǎo)致系統(tǒng)動力反應(yīng)分析誤差。隨著現(xiàn)代抗震理論的發(fā)展和研究問題的深入，就必然會面對非經(jīng)典阻尼問題，從而尋求其準(zhǔn)確的表達(dá)方法成為抗震領(lǐng)域的重要問題。

1 阻尼理論

阻尼是指由于外界作用和（或）系統(tǒng)本身固有的原因引起的振幅隨時間逐漸減小的特性[1-2]。阻尼是結(jié)構(gòu)動力方程的基本變量，表征了振動過程中能量耗散。導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動衰減的多種因素包括結(jié)構(gòu)材料的內(nèi)部摩擦、連接部位的干摩擦、氣動阻尼以及地基與土壤之間的摩擦等。根據(jù)阻尼產(chǎn)生的物理機(jī)制，這些因素可以被分類為材料內(nèi)部阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼和流體阻尼。在實(shí)際工程應(yīng)用中，通常采用動力分析軟件對不同類型的阻尼比進(jìn)行計算，以得到最優(yōu)方案，從而為工程設(shè)計提供理論依據(jù)。在動力系統(tǒng)方程里，阻尼模型通常涵蓋了黏性阻尼、遲滯阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、結(jié)構(gòu)庫倫阻尼以及流體阻尼這幾種類型。

2 經(jīng)典阻尼和非經(jīng)典阻尼的區(qū)別

非經(jīng)典阻尼與經(jīng)典阻尼的區(qū)別在于質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣是否滿足矩MTC與MTK 可交換[3]。若滿足，則 φTCφ為對角陣，則運(yùn)動方程為一組獨(dú)立的微分方程組，代表經(jīng)典阻尼體系；若不滿足， φTCφ為非對角矩陣，運(yùn)動方程是關(guān)于φTCφ耦合的方程組，代表非經(jīng)典阻尼體系。

經(jīng)典阻尼的假定可使運(yùn)動方程解耦，其動力響應(yīng)可以采用模態(tài)疊加法，適用于阻尼較小、質(zhì)量和剛度分布較均勻結(jié)構(gòu)。常見的經(jīng)典阻尼模型有瑞利阻尼、柯西阻尼、修正的瑞利阻尼等。在非傳統(tǒng)阻尼系統(tǒng)里，該系統(tǒng)的無阻尼真實(shí)模態(tài)矩陣并不是正交的，模態(tài)之間存在相互的耦合作用，其振動行為表現(xiàn)為復(fù)雜的模態(tài)，具體為：（1）各點(diǎn)位間存在相位差；（2）隨著時間的推移，各個點(diǎn)位之間的移動比率會發(fā)生變化。對于土-結(jié)構(gòu)、流體-結(jié)構(gòu)、主從結(jié)構(gòu)、設(shè)置耗能裝置的減震控制體系及由性質(zhì)不同的材料組成的結(jié)構(gòu)，經(jīng)典阻尼假定導(dǎo)致系統(tǒng)動力反應(yīng)分析誤差，需要采用非經(jīng)典阻尼體系。

3 非經(jīng)典阻尼體系的解法綜述

非經(jīng)典阻尼體系動力分析方法的主要方法包括復(fù)模態(tài)方法、直接積分法和實(shí)模態(tài)近似法，其中實(shí)模態(tài)近似法又可細(xì)分為近似解耦方法、矩陣攝動法、擬力實(shí)模態(tài)疊加法Laplace變換法、實(shí)振型分解算法等。

3.1 復(fù)模態(tài)法

復(fù)模態(tài)分析法[4-6]利用狀態(tài)空間理論，將非經(jīng)典阻尼體系動力方程寫成以下1階2N個聯(lián)立微分方程式，將其轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間中的運(yùn)動方程，根據(jù)求解得到的N對復(fù)共軛特征值，得到解耦的運(yùn)動方程，進(jìn)而得到穩(wěn)態(tài)解，從而解決了這類體系不能解耦的問題。

復(fù)模態(tài)分解法具有明確的概念和實(shí)數(shù)形態(tài)，與目前普遍采用的基于無阻尼振型展開的方法有相似之處，適用于任何具有阻尼線的彈性系統(tǒng)。本文在介紹其基本思想和算法后，重點(diǎn)討論了如何確定復(fù)模態(tài)參數(shù)與求解復(fù)模態(tài)系數(shù)矩陣等有關(guān)問題，并通過算例對該方法進(jìn)行驗(yàn)證。相較于實(shí)模態(tài)方法，復(fù)模態(tài)特征問題：（1）具有2N×2N的階數(shù)，這導(dǎo)致其計算量相對于實(shí)模態(tài)方法增加了一倍；（2） 復(fù)模態(tài)振型的物理含義尚不清晰，主要用于理論探討，而在實(shí)際的分析和計算中應(yīng)用較少。

3.2 直接積分法

當(dāng)結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性范圍或具有非典型阻尼特征時，實(shí)模態(tài)分析與復(fù)模態(tài)分析將不再適用，國內(nèi)外學(xué)者提出了直接積分法。直接積分法也稱動力時程分析。在時程分析中，時間被分成一系列小的步長 ，第 時間間隔的反應(yīng)已經(jīng)確定，第 時間間隔的體系反應(yīng)將滿足運(yùn)動方程。其數(shù)值積分的精度依賴于插值函數(shù)和積分方法，其中無條件穩(wěn)定積分格均采用瑞利阻尼的假定。對于非經(jīng)典阻尼體系是否成立，并未得到證明。另外對于大型結(jié)構(gòu)，直接積分法內(nèi)存較多，計算時間長。針對上述缺陷，國內(nèi)學(xué)者汪夢甫等人[7]、王書霞等人[8]研究給出了解析與高精度積分方法等解決方案。

實(shí)際結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)，如地震作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，一般以初始速度和位移為0。采用直接積分法求解得到結(jié)構(gòu)時程反應(yīng)，能用于校驗(yàn)規(guī)范反應(yīng)譜的計算結(jié)果，可以真實(shí)地反映建筑物的地震響應(yīng)，從而能更精確找到結(jié)構(gòu)的薄弱部位。

3.3 實(shí)模態(tài)近似法

3.3.1 近似解耦方法

經(jīng)典阻尼體系普遍采用的模態(tài)分解法具有計算簡單、容易實(shí)現(xiàn)、物理意義明確等優(yōu)點(diǎn)，故科研人員研究提出了一種基于實(shí)模態(tài)對非經(jīng)典阻尼體系進(jìn)行地震分析的方法。近似解耦方法通過對耦合的模態(tài)阻尼矩陣進(jìn)行近似，例如：忽略阻尼矩陣中的非對角元素，從而使耦合方程近似解耦求解。近似處理不可避免地會帶來誤差。使用能量法來確定等效阻尼比實(shí)際上是一種將非經(jīng)典阻尼簡化為經(jīng)典阻尼的另一種近似手段，該方法是基于總能量相等的原則，將非經(jīng)典阻尼轉(zhuǎn)換為經(jīng)典阻尼。本文給出了用此法計算結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和動力可靠度分析結(jié)果的算例。《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》（GB/T50011—2010）已經(jīng)將這種方法納入其內(nèi)部規(guī)范，并明確指出，在消能部件布局相對均勻且阻尼比不超過0.20的情況下，強(qiáng)行解耦與精確解之間的誤差大多數(shù)情況下可以控制在5%以內(nèi)。

3.3.2 矩陣攝動法

為了解決復(fù)模態(tài)法在計算內(nèi)存方面存在的過大問題，郭永剛等人[9]推薦使用矩陣攝動法來解決非經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)體系的問題。本文對該方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出一種基于特征值靈敏度分析的快速計算方法?；跀z動理論，對動力方程中的非傳統(tǒng)阻尼矩陣進(jìn)行了研究C以經(jīng)典阻尼矩陣CC和另一矩陣△C表示為C=CC+ε△C，ε=0時轉(zhuǎn)化為經(jīng)典阻尼體系。當(dāng)體系非經(jīng)典阻尼較小時，攝動分析結(jié)果接近于精確解且計算速度比復(fù)模態(tài)法快，但隨著△C提 高，攝動分析迭代次數(shù)相應(yīng)增加，可能會得到不收斂的分析結(jié)果。

3.3.3 擬力實(shí)模態(tài)疊加法

動力方程中的阻尼會耗散能量。參照該思想，擬力實(shí)模態(tài)疊加法[10]把耦合的模態(tài)阻尼矩陣分成經(jīng)典和非經(jīng)典。經(jīng)典阻尼耗散能量，非經(jīng)典阻尼轉(zhuǎn)換能量，將后者移到方程右端，再迭代求解方程。由于右側(cè)存在未確定的項(xiàng)，因此有必要進(jìn)行迭代式的計算。在每一個時間步驟中，都需要對阻尼滿陣和速度矢量的乘積進(jìn)行計算，這種方法具有出色的解決準(zhǔn)確性，具有一定的實(shí)用性。

3.3.4 Laplace變換法

非傳統(tǒng)的阻尼結(jié)構(gòu)是一個復(fù)雜的耦合運(yùn)動方程，其方程的解耦過程相當(dāng)復(fù)雜。本文提出一種基于實(shí)數(shù)編碼遺傳算法求解耦聯(lián)系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)和位移響應(yīng)的數(shù)值算法。通過采用Laplace變換來簡化耦合的動態(tài)方程，并與實(shí)振型分解技術(shù)結(jié)合使用，我們可以對隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行動態(tài)響應(yīng)的分析。

3.3.5 實(shí)振型分解算法

隔震結(jié)構(gòu)中，非經(jīng)典阻尼體系由隔震系統(tǒng)的集中阻尼和上部結(jié)構(gòu)的分布阻尼組成。杜永峰等人[11]證明隔震結(jié)構(gòu)的阻尼耦合度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于非隔震結(jié)構(gòu)，即隔震系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)體系動力響應(yīng)有解耦效應(yīng)，通過對動力方程實(shí)施Laplace變換后進(jìn)行簡化，可先求得低階廣義坐標(biāo)解答，再求得高階廣義坐標(biāo)解答，進(jìn)而得到動力響應(yīng)的時域解答。實(shí)振型分解法與Laplace變換方法聯(lián)合應(yīng)用比復(fù)振型算法占用計算資源少且計算精度更高。該方法缺點(diǎn)是僅適用于隔震結(jié)構(gòu)。

3.3.6 矩陣變換轉(zhuǎn)換法

針對非經(jīng)典阻尼體系，為消除非經(jīng)典阻尼項(xiàng)給求解帶來的困難，徐濤等人[12]通過引入矩陣函數(shù)變換消除了原系統(tǒng)的阻尼條件項(xiàng)，將非經(jīng)典阻尼振動微分方程轉(zhuǎn)化為擬時不變經(jīng)典阻尼方程。矩陣變化轉(zhuǎn)換法，通過利用具有完全特征向量系的矩陣在約化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形過程中可正交相似對角矩陣的特性，將變換矩陣取為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形過程中的分解矩陣，從而求出所求系統(tǒng)的特征問題的全部特征值和相應(yīng)的特征向量。同時，根據(jù)矩陣正交相似的性質(zhì)分析得知不僅變換前后兩個矩陣的特征值完全相同并與時間變量無關(guān)，而且時間變化對此系統(tǒng)的影響可以只由變換后系統(tǒng)的特征向量來描述。

相比其他方法只給出特征向量的近似求解方法，矩陣變換轉(zhuǎn)換法給出的準(zhǔn)確的時間解方法，而且能反映了原始系統(tǒng)明確的振動狀態(tài)的物理解釋。

4 結(jié)語

隨著結(jié)構(gòu)減隔震技術(shù)在實(shí)際工程中的應(yīng)用，非經(jīng)典阻尼問題愈加突出，研究非經(jīng)典阻尼體系動力分析方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。直接積分法最精確，但該方法需首先構(gòu)造阻尼矩陣，然后需要選用較多條時程曲線來表達(dá)某地區(qū)的地震作用?；诘刃д裥妥枘岜确椒ǖ膹?qiáng)迫解耦方法，分析程序上方便實(shí)現(xiàn)，對阻尼分布比較均勻的結(jié)構(gòu)可將誤差控制在一定范圍內(nèi)。復(fù)模態(tài)方法能夠把握非經(jīng)典阻尼體系動力分析的本質(zhì)，分析精確，但也復(fù)雜，難以在實(shí)際工程中推廣。實(shí)數(shù)域內(nèi)的近似分析方法雖然相對簡單，在求解精度和有效性上仍需要進(jìn)一步研究。

本文所介紹的非經(jīng)典阻尼體系的分析方法，在阻尼的解耦方式上存在不同，可供實(shí)際工程中非經(jīng)典阻尼體系的動力分析研究參考。

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