摘要：測(cè)量材料的彈性模量和泊松比是材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)的一項(xiàng)重要實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。為了豐富材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)手段和教學(xué)內(nèi)容，把理論計(jì)算、有限元仿真技術(shù)和電測(cè)法測(cè)試技術(shù)有機(jī)的融合在一起。分別通過電測(cè)法、ABAQUS軟件模擬和理論計(jì)算方法得到低碳鋼的彈性模量和泊松比。結(jié)果表明：模擬結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果幾乎相等，但是電測(cè)法實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果之間的誤差相對(duì)較大，主要是由于電阻應(yīng)變片在試樣表面的黏貼質(zhì)量不高和試樣的幾何尺寸測(cè)量不精確造成的。

關(guān)鍵詞：電測(cè)法ABAQUS軟件 彈性模量 泊松比材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：TB302.1

AnExperimental Study on the Measurement of the Elastic Modulus and Poisson's Ratio Based on the Electrical Measurement Method

CHEN Hongbing HU Libang YAO Liping LI Li

College of Engineering and Technology， Southwest University， Chongqing，400715 China

Abstract：Measuring the elastic modulus and Poisson's ratio of materials is an important experimental project inExperimentsofMechanics ofMaterials. In order to enrich the teaching methods and teaching contents of Experiments ofMechanics ofMaterials， theoretical calculation， finite element simulation technology and electrical measurement testing technology are organically integrated， andthe elastic modulus and Poisson's ratio of low-carbon steel are obtained by electrical measurement， ABAQUS software simulation and theoretical calculation methods. The results show that simulation results are almost equal to theoretical calculation results， but the error between the experimental measurement results of the electrical measurement method and the resultsof theoretical calculation is relatively large， which is mainly caused by the poor bonding quality of the resistance strain gauge on the surface of the sample and the inaccurate measurement of the geometricdimension of the sample.

Key Words：Electrical measurement method; ABAQUS software; Elastic modulus; Poisson's ratio; Experiments ofMechanics of Materials

目前，很多高校的材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)不管是在教學(xué)內(nèi)容上還是在教學(xué)方法上都沒有得到長(zhǎng)足發(fā)展，主要原因：（1）材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目依附于理論課，新的理論沒有增補(bǔ)進(jìn)教材，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目更新緩慢；（2）學(xué)時(shí)數(shù)縮減，無(wú)法充實(shí)更多的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目；（3）經(jīng)費(fèi)缺乏，實(shí)驗(yàn)設(shè)備更新緩慢；（4）教學(xué)方法沒有得到根本性的改進(jìn)，實(shí)驗(yàn)課仍然以講授和演示為主[1]。因此，實(shí)驗(yàn)課的吸引力不足，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高。為了改變這種狀況，實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目應(yīng)具有一定的前沿性和挑戰(zhàn)性，教學(xué)手段應(yīng)具有一定的先進(jìn)性和互動(dòng)性。將有限元分析技術(shù)引入教學(xué)過程中有利于激發(fā)學(xué)生興趣，使實(shí)驗(yàn)課變得生動(dòng)形象，培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生解決復(fù)雜工程問題的能力。已有一些學(xué)者利用有限元仿真技術(shù)輔助實(shí)驗(yàn)教學(xué)，例如：苑霄雯等人[2]利用ANSYS軟件模擬了低碳鋼的拉伸實(shí)驗(yàn)；王國(guó)明等人[3]利用ANSYS軟件模擬了矩形截面梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)；張建勛等人[4]利用ABAQUS軟件模擬得到的各種應(yīng)力、應(yīng)變?cè)茍D，直觀、形象地解釋了材料力學(xué)的基本概念和材料的變形過程；趙通來等人[5]利用ABAQUS軟件模擬了飛機(jī)起落架的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，對(duì)起落架的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和輕量化減重進(jìn)行了優(yōu)化分析。從以上文獻(xiàn)可以看出，ABAQUS 有限元分析軟件在材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)和工程實(shí)踐方面都有廣泛應(yīng)用。

1測(cè)量彈性模量和泊松比的實(shí)驗(yàn)原理

1.1彈性模量的概念及測(cè)試方法簡(jiǎn)介

彈性模量E和泊松比μ是表征材料力學(xué)性能的兩個(gè)重要參數(shù)，開發(fā)一種新材料或者實(shí)際工程應(yīng)用中均需要知道這兩個(gè)參數(shù)，才能夠確保材料的安全使用。從微觀上來講，彈性模量是由材料內(nèi)部的原子與原子之間的結(jié)合力強(qiáng)弱決定的，是反映材料的內(nèi)在本質(zhì)特征參數(shù)[6]。材料的晶體結(jié)構(gòu)類型、晶體的點(diǎn)陣間距、孔隙率等都是其重要影響因素。從宏觀上來講，彈性模量E是表征材料抵抗彈性變形能力的指標(biāo)。一般而言，E越大，材料產(chǎn)生彈性變形所需的應(yīng)力就越大，彈性變形就越困難，反之則反。工程上常把E稱作材料的剛度。

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，測(cè)定彈性模量的方法多達(dá)十余種，涉及的實(shí)驗(yàn)原理和技術(shù)手段各不相同。根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《金屬材料 彈性模量和泊松比試驗(yàn)方法》（GB/T 22315—2008）可知測(cè)量彈性模量主要有靜態(tài)法和動(dòng)態(tài)法兩類方法[7]。其中，靜態(tài)法是指對(duì)試樣施加軸向力，在其彈性范圍內(nèi)測(cè)定相應(yīng)的軸向變形和橫向變形，然后計(jì)算求解彈性模量和泊松比，通過圖解法和數(shù)據(jù)擬合法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。常用的靜態(tài)測(cè)量法有引伸計(jì)測(cè)量法和電測(cè)法等。然而，在材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，使用電測(cè)法更易于實(shí)施實(shí)驗(yàn)教學(xué)和提高學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)和實(shí)驗(yàn)的可操作性。測(cè)定彈性模量的圖解法有3種[7]：（1）通過在測(cè)得的軸向力-軸向變形曲線上確定一段直線段，然后在該直線段上選取A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的增量之比即為楊氏模量，如圖1（a）所示；（2）通過在測(cè)得的軸向力-軸向變形曲線上，通過與所規(guī)定的上、下兩應(yīng)力（或應(yīng)變）點(diǎn)A、B畫一條弦線，該弦線的斜率即為弦線模量，如圖1（b）所示；（3）通過在測(cè)得的軸向力-軸向變形曲線上，然后通過規(guī)定應(yīng)力（或應(yīng)變）值對(duì)應(yīng)的R點(diǎn)作曲線的切線，該切線的斜率即為切線模量，如圖1（c）所示。

動(dòng)態(tài)法（或共振法）主要是指依據(jù)聲共振原理測(cè)定試樣的機(jī)械共振頻率，以便測(cè)定動(dòng)態(tài)彈性模量、動(dòng)態(tài)切變模量和動(dòng)態(tài)泊松比等[7]。共振法[6]可以分為懸絲耦合彎曲共振法、單懸臂彎曲共振法和自由梁彎曲共振法等，如圖2所示。一般推薦采用懸絲耦合共振法，它具有振幅大，共振易判定，振動(dòng)長(zhǎng)度易測(cè)定，溫度適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)。

1.2基于電測(cè)法測(cè)量彈性模量和泊松比的實(shí)驗(yàn)方法

在材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，通常采用電測(cè)法來測(cè)試材料應(yīng)變的大小，它的基本原理是將高靈敏度的電阻應(yīng)變片用膠水牢固地黏貼在光滑的被測(cè)構(gòu)件表面[8]。應(yīng)變片將隨構(gòu)件一起變形，應(yīng)變片變形后其電阻值改變，應(yīng)變片電阻值改變將破壞測(cè)試電橋的平衡，從而輸出電流（或者電壓），然后換算成應(yīng)變值，最后根據(jù)胡克定律就可得到應(yīng)力值。電測(cè)法具有測(cè)量精度高、應(yīng)用范圍廣和影響小等優(yōu)點(diǎn)。

當(dāng)試樣受到軸向拉伸時(shí)，根據(jù)材料體積不變?cè)瓌t，試樣的軸向伸長(zhǎng)必然引起橫向收縮。若軸向應(yīng)變?yōu)棣臺(tái)1，橫向應(yīng)變?yōu)棣臺(tái)2；二者之比為一常數(shù)，其絕對(duì)值稱作橫向變形系數(shù)，又稱泊松比，用μ來表示。當(dāng)試樣受到軸向拉伸時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生彈性變形，通過應(yīng)變儀可以測(cè)得軸向應(yīng)變和橫向應(yīng)變。試樣的橫截面面積為A0，施加的載荷為 F，則可計(jì)算得出彈性模量 E和泊松比μ為：

E=σ/ε_(tái)1 =F/（ε_(tái)1×A_0 ）（1）

μ=|ε_(tái)2/ε_(tái)1 |（2）

為了驗(yàn)證應(yīng)力與應(yīng)變的線性關(guān)系，一般采用增量法，逐級(jí)加載。如果在各次載荷增量△F 作用下，測(cè)得相應(yīng)的應(yīng)變?cè)隽炕鞠嗤?，就可以?yàn)證虎克定律的正確性。假定各次測(cè)得?ε_(tái)1和?ε_(tái)2的平均值分別為?ˉ（ε_(tái)1 ）和?ˉ（ε_(tái)2 ），則彈性模量和泊松比又可表達(dá)為：

E=?F/（?ˉ（ε_(tái)1 ）×A_0 ） μ=|（?ˉ（ε_(tái)2 ））/（?ˉ（ε_(tái)1 ））|（3）

2 ABAQUS軟件模擬分析

ABAQUS 軟件是一款功能強(qiáng)大的有限元分析軟件，它既能分析簡(jiǎn)單的線性靜力學(xué)問題，又能解決復(fù)雜的非線性問題[6，7]。本實(shí)驗(yàn)的模擬分析流程如下。

（1）建立仿真模型。利用ABAQUS軟件繪制試樣的三維模型，試樣長(zhǎng)為150mm， 寬為28mm， 厚為3mm的一個(gè)矩形截面長(zhǎng)條試樣。（2）設(shè)置參數(shù)。低碳鋼 Q235，材料的彈性模量 E= 210GPa，采用線彈性材料模型。（3）分析步設(shè)置。選擇靜力學(xué)分析，時(shí)間設(shè)置為1，不考慮幾何非線性，初始增量步設(shè)置為0.01，最小增量步為10-5，最大增量步為0.1。（4）載荷與邊界條件。模型下端面加載固定約束，設(shè)置一參考點(diǎn)與上端面耦合，分別施加500N和3000N于參考點(diǎn)。（5）劃分網(wǎng)格。設(shè)置好所有的邊界條件后，對(duì)三維模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格尺寸為2.5mm，選用最常用的 C3D8R 單元類型。（6）后處理與數(shù)據(jù)分析。提交計(jì)算并等待計(jì)算完畢后，在后處理階段顯示 ODB 文件中的分析計(jì)算結(jié)果， 包括變形前后的模型圖、各種變量的分布云圖等。為了節(jié)省篇幅，圖3僅展示了試樣的網(wǎng)格模型圖、施加500N和3000N的橫向和軸向應(yīng)變?cè)茍D。

從圖3可以看出，在試樣中間區(qū)域不管是橫向應(yīng)變還是軸向應(yīng)變均顯示其變形是均勻的彈性變形。另外，試樣的橫向應(yīng)變?yōu)閴嚎s應(yīng)變，為負(fù)值，如圖3（b）和（d）所示；試樣的軸向應(yīng)變?yōu)槔鞈?yīng)變，為正值，如圖3（c）和（e）所示。在圖3（c）和（e）的插圖中，可以看出應(yīng)力-應(yīng)變呈線性相關(guān)性，即屬于彈性變形，而且當(dāng)F=3000N時(shí)，試樣的應(yīng)力和應(yīng)變值與F=500N時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變值具有6倍的關(guān)系，這說明采用等增量逐級(jí)加載是可靠的，模擬結(jié)果是準(zhǔn)確的、有效的。

3實(shí)驗(yàn)測(cè)試及結(jié)果分析

基于電測(cè)法測(cè)試低碳鋼的彈性模量和泊松比的實(shí)驗(yàn)裝置全景，如圖4（a）所示。用低碳鋼板材自制的實(shí)驗(yàn)裝置，如圖4（b）所示，試樣的橫截面尺寸為：b=28 mDsJSG2U823IqA/6hupqq6Q==m，t=3mm。在試樣的正反面沿軸向和橫向分別貼有應(yīng)變片 R1和 R2，如圖4（b）所示。當(dāng)試樣受到軸向拉伸時(shí)，寬度方向受到壓縮變形，產(chǎn)生負(fù)的應(yīng)變；長(zhǎng)度方向受到拉伸變形，產(chǎn)生正的應(yīng)變。實(shí)驗(yàn)采用ETM105D電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)給試樣施加拉力，采用等增量逐級(jí)加載方式（?F=500N），從500N～3000N每增加一級(jí)載荷，試驗(yàn)機(jī)自動(dòng)停止加載，即保載30 s，以便從靜態(tài)電阻應(yīng)變儀上讀出數(shù)據(jù)，加載曲線如圖4（d）所示。實(shí)驗(yàn)過程由試驗(yàn)機(jī)程序自動(dòng)控制，實(shí)驗(yàn)操作方便，加載力值精度高。實(shí)驗(yàn)采用CM-1L型靜態(tài)電阻應(yīng)變儀，采用半橋單臂溫度補(bǔ)償測(cè)量電橋連接方式，應(yīng)變片電阻為120Ω，靈敏系數(shù)K=2.08，如圖4（c）所示。最后，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表1所示。

材料力學(xué)教材推薦的低碳鋼的彈性模量E為196～216GPa，μ為0.24～0.28 的取值范圍[9]。從表2可以看出，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的彈性模量稍微偏高，模擬分析的彈性模量與理論計(jì)算使用的彈性模量幾乎相等，說明模擬結(jié)果準(zhǔn)確有效。另外，實(shí)驗(yàn)測(cè)試的泊松比和模擬的泊松比均在允許取值范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)測(cè)試值稍微偏高，這可能是由于電阻應(yīng)變片黏貼質(zhì)量不高和試樣幾何尺寸測(cè)量不精確造成的?？傮w而言，3種數(shù)據(jù)的誤差均較小，說明用這3種方法測(cè)試低碳鋼的彈性模量和泊松比是可靠的、準(zhǔn)確的。

4 結(jié)論

通過理論分析計(jì)算了低碳鋼試樣施加F=500N時(shí)的拉伸軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變參數(shù)；通過ABAQUS軟件模擬了低碳鋼試樣的拉伸變形，獲得了各種加載條件下的應(yīng)變?cè)茍D與應(yīng)力-應(yīng)變曲線，根據(jù)結(jié)果計(jì)算了彈性模量和泊松比；通過電測(cè)法實(shí)驗(yàn)測(cè)試了低碳鋼的軸向應(yīng)變和橫向應(yīng)變，計(jì)算了彈性模量和泊松比。通過對(duì)比分析3種數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們之間的誤差較小，證明實(shí)驗(yàn)裝置是可靠的，模擬分析結(jié)果是正確的。通過引入有限元分析技術(shù)，有利于豐富實(shí)驗(yàn)教學(xué)手段和實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容，提高實(shí)驗(yàn)課的吸引力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生利用力學(xué)知識(shí)和有限元分析技術(shù)解決復(fù)雜工程問題提供了強(qiáng)力支撐作用。

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