摘"要：為滿足大型部件的對(duì)接工作要求，采用一種6自由度對(duì)接調(diào)姿機(jī)構(gòu)。通過(guò)D-H法對(duì)機(jī)構(gòu)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行正逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。對(duì)機(jī)構(gòu)末端進(jìn)行位姿誤差分析與可靠度分析，得到末端位姿誤差與各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系，分析出對(duì)末端誤差影響最大的誤差源，為后續(xù)提高精度提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：對(duì)接機(jī)構(gòu)；運(yùn)動(dòng)學(xué)；誤差分析；可靠度分析

中圖分類(lèi)號(hào)：TH115""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B""文章編號(hào)：1671-5276（2024）02-0079-04

Error and Reliability Analysis of Docking Mechanism

DAI Ping1， WANG Qingyun2

（1. School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China；

2. Jiangsu Jinling Institute of Intelligent Manufacturing Co.， Ltd.， Nanjing 210006，China）

Abstract：In order to meet the docking requirements of large components， a 6-DOF docking attitude adjustment mechanism is adopted. The kinematics mathematical model of the mechanism is established by D-H method， and the forward and inverse kinematics are analyzed. The position and pose error and reliability of the end of the mechanism are studied to obtain the relationship between the position and pose error of the end and the kinematics parameters of each joint， and the error source grealy affecting the end error is analyzed， which provides a theoretical basis for the subsequent improvement of accuracy.

Keywords：docking mechanism；kinematics；error analysis；reliability analysis

0"引言

大型精密部件的對(duì)接裝配是決定產(chǎn)品制造效率和質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。一旦產(chǎn)品的對(duì)接精度不滿足設(shè)計(jì)要求，就需要重新對(duì)接，嚴(yán)重的情況下還會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品報(bào)廢，影響后續(xù)生產(chǎn)實(shí)驗(yàn)，影響生產(chǎn)效率，造成經(jīng)濟(jì)損失［1］。因此設(shè)計(jì)對(duì)接機(jī)構(gòu)以及對(duì)其進(jìn)行可靠性分析是非常有必要的。

在機(jī)構(gòu)的誤差分析和可靠度分析方面，張志雄等［2］以6自由度機(jī)械臂為研究對(duì)象建立誤差模型，利用蒙特卡洛法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到了由于對(duì)中誤差引起的機(jī)械臂末端定位誤差分布特點(diǎn)。宋晨等［3］針對(duì)所設(shè)計(jì)的一種具有串并聯(lián)特征的6自由度調(diào)姿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、誤差分析以及靈敏度分析，得到了調(diào)姿機(jī)構(gòu)末端的位姿誤差仿真曲線和各運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)位姿誤差的靈敏度大小。

本文根據(jù)產(chǎn)品對(duì)接要求，設(shè)計(jì)了一種6自由度對(duì)接機(jī)構(gòu)。通過(guò)D-H法建立對(duì)接機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型并進(jìn)行正逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。為了提高對(duì)接精度，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了誤差建模與分析，得到了機(jī)構(gòu)的末端誤差范圍。利用蒙特卡洛法結(jié)合誤差模型分析出機(jī)構(gòu)的主要誤差源，為調(diào)整對(duì)接機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)提供了參考依據(jù)。

1"對(duì)接機(jī)構(gòu)概述

對(duì)接機(jī)構(gòu)主要由升降、行走、偏航、俯仰、橫移以及滾轉(zhuǎn)6部分組成，如圖1所示。升降、行走以及橫移機(jī)構(gòu)的導(dǎo)軌安裝在不同平臺(tái)上，由各機(jī)構(gòu)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠，帶動(dòng)各平臺(tái)實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。偏航機(jī)構(gòu)通過(guò)伺服電機(jī)與減速器實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品部件1繞z軸的姿態(tài)調(diào)整。俯仰機(jī)構(gòu)與滾轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)是通過(guò)驅(qū)動(dòng)蝸桿轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)蝸輪軸兩側(cè)的齒輪分別與兩側(cè)齒弧嚙合，使得俯仰機(jī)構(gòu)和滾轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)沿設(shè)計(jì)的弧形槽轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品部件1繞x、y軸的姿態(tài)調(diào)整。

2"對(duì)接機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1"對(duì)接機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系建立

本文利用D-H法將結(jié)構(gòu)復(fù)雜的對(duì)接機(jī)構(gòu)看作一系列連桿通過(guò)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成的運(yùn)動(dòng)鏈［4］。為了研究末端位姿與各關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系，需要建立連桿坐標(biāo)系，如圖2所示。

根據(jù)D-H法建立的對(duì)接機(jī)構(gòu)連桿坐標(biāo)系的D-H參數(shù)如表1所示。

2.2"對(duì)接機(jī)構(gòu)正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是將機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)變量作為自變量建立正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，描述機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)與基座之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

根據(jù)D-H法建立的兩個(gè)連桿坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣的一般表達(dá)式為

i－1iT=cθi－sθi0ai－1

sθicαi－1cθicαi－1－sαi－1－sαi－1di

sθisαi－1cθisαi－1cαi－1cαi－1di

0001（1）

式中：s為sin；c為cos。

對(duì)接機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)變換矩陣以及末端桿件相對(duì)于基座的變換矩陣如下：

01T=10000100001－179+d10001（2）

12T=100a100－1234－d201000001（3）

23T=-sinθ3-cosθ30a2001d3-cosθ3sinθ3000001（4）

34T=cosθ4－sinθ40000－1－d4sinθ4cosθ4000001（5）

45T=0－10a41000001－70+d50001（6）

56T=cosθ6－sinθ60a50010－sinθ6－cosθ6000001（7）

06T=01T12T23T34T45T56T

=nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001（8）

式中：nx=s3s4c6+c3s6；ny=c3s4c6－s3s6；

nz=－c4c6；ox=－s3s4s6+c3c6；

oy=－c3s4s6－s3c6；oz=c4s6；ax=s3c4；

ay=c4s6；az=s4；

px=a1+a2-（d5+d4）c3+a5s3s4－a4s3c4；

py=d2+（d4+d5）s3+a5c3s4－a4c3c4；

pz=d1+d3－a4s4-a5c4；

其中si為sinθi；ci為cosθi；i=1，2，3，4，5，6。

機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是正運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆過(guò)程，是在已知末端位姿矩陣的條件下求解滿足條件的關(guān)節(jié)變量的問(wèn)題。由式（8）可得12個(gè)非線性方程，求解得到各關(guān)節(jié)變量結(jié)果如下：

d1=pz-d3+a4s4+a5c4

d2=py-（d4+d5）s3+a5c3s4+a4c3c4

θ3=arcsinaxay

θ4=arcsinaz

d5=px-a1-a2+d4c3-a5s3s4+a4s3c4c3

θ6=arcsinozc4（9）

3"對(duì)接機(jī)構(gòu)誤差分析

3.1"對(duì)接機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型建立

影響機(jī)構(gòu)絕對(duì)定位精度的因素有很多，而這些因素產(chǎn)生的誤差都可以視為機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)值與理論設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)值之間產(chǎn)生的偏差。

為分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差與末端誤差的關(guān)系就需要建立機(jī)構(gòu)的誤差模型。本文采用矩陣法［5］對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行誤差分析。首先利用正運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)出坐標(biāo)系下的微分運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而考慮機(jī)構(gòu)D-H參數(shù)誤差，建立關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，從而建立對(duì)接機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型。

當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)系描述同一個(gè)微分運(yùn)動(dòng)dT時(shí)，由位姿變換關(guān)系可得：

Δ·T=T·Δi，即

Δ=T·Δi·T－1（10）

式中Δi=1－δizδiydixδiz1－δixdiy－δiyδix1diz0001

式（10）化簡(jiǎn)整理成矩陣的形式：

dδ=Ri－1Pi－1×Ri－10Ri－1·diδi（11）

式中：di表示微分平移矢量；δi表示微分旋轉(zhuǎn)矢量；Ri－1為兩坐標(biāo)系變換矩陣T的旋轉(zhuǎn)矩陣；Pi－1為位移矩陣。該式表示了兩坐標(biāo)系微分平移矢量和微分旋轉(zhuǎn)矢量之間的關(guān)系。

當(dāng)誤差用D-H參數(shù)來(lái)表示，兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)位姿變換矩陣微分關(guān)系可以表示為

dAi=Aiαi－1Δαi－1+Aiai－1Δai－1+AidiΔdi+AiθiΔθi（12）

將該式化簡(jiǎn)整理成矩陣的形式如下：

di=dxidyidzi=100·Δai－1+0－sinαi－1cosαi－1·Δdi+0－cosαi－1·ai－1sinαi－1·ai－1·Δθi（13）

δi=δxiδyiδzi=100·Δαi－1+0－sinαi－1cosαi－1·Δθi（14）

式中Δai－1、Δαi－1、Δdi、Δθi表示D-H參數(shù)的誤差。

考慮機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差后，結(jié)合正運(yùn)動(dòng)學(xué)可以得到對(duì)接機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型如下：

Tn+dTn=（A1+dA1）（A2+dA2）…（An+dAn）（15）

將式（15）展開(kāi)且忽略二階以上高階誤差項(xiàng)得

dTn=∑6i=1（Ti－1·δAi·T－1i－1Tn）（16）

結(jié)合式（13）、式（14）可以得到末端誤差矢量公式如下：

dn=dnxdnydnz=∑6i=1（Ri－1·W1i·Δai－1+Ri－1·W2i·Δdi+

Ri－1·W3i·Δθi+Pi－1×Ri－1·W1i·Δαi－1+

Pi－1×Ri－1·W2i·Δθi）

δn=δnxδnyδnz=∑6i=1（Ri－1·W1i·Δαi－1+Ri－1·W2i·Δθi）（17）

式中：dn、δn分別表示末端位置誤差矢量和末端姿態(tài)誤差矢量；W1i、W2i、W3i分別表示式（13）、式（14）中相對(duì)應(yīng)的矩陣。該公式表示了各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)與末端位姿誤差之間的關(guān)系。

3.2"對(duì)接機(jī)構(gòu)的誤差分析

為確定可靠性分析中的誤差半徑，需要考慮機(jī)構(gòu)所有的誤差源，計(jì)算末端位姿誤差范圍。本文考慮的誤差源主要有各運(yùn)動(dòng)變量和各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)末端位姿誤差范圍的影響。

綜合考慮各種誤差因素對(duì)誤差源的影響，設(shè)計(jì)各誤差源均服從正態(tài)分布，位移運(yùn)動(dòng)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.01mm，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.01°，各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.005。

按照表1給定的條件和誤差模型公式，使用MATLAB編寫(xiě)程序，通過(guò)仿真得到對(duì)接機(jī)構(gòu)末端位姿誤差范圍如圖3所示。

對(duì)接機(jī)構(gòu)末端x方向位置誤差范圍為［-0.21，0.18］mm；y方向位置誤差范圍為［-0.43，0.44］mm；z方向位置誤差范圍為［-0.47，0.48］mm；姿態(tài)誤差范圍均在±0.000 75°范圍內(nèi)。由此可見(jiàn)位置誤差普遍比姿態(tài)誤差大，且y、z方向位置誤差相對(duì)較大，但以上誤差均在對(duì)接機(jī)構(gòu)誤差允許的范圍內(nèi)。

4"基于蒙特卡洛法的可靠性分析

蒙特卡洛法是一種基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的算法，蒙特卡洛模擬方法就是將需要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成概率模型，并通過(guò)計(jì)算機(jī)得到一系列的隨機(jī)結(jié)果，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到問(wèn)題的解［6］。

本文將對(duì)接機(jī)構(gòu)的可靠性分析轉(zhuǎn)化為概率模型，對(duì)機(jī)構(gòu)的各種誤差源進(jìn)行隨機(jī)抽樣并帶入誤差模型計(jì)算，分析研究得到末端誤差值，得出影響機(jī)構(gòu)末端精度的主要誤差源。

設(shè)對(duì)接機(jī)構(gòu)末端誤差dn、δn落在一定范圍內(nèi)的概率來(lái)表述機(jī)構(gòu)的誤差值，稱作對(duì)接機(jī)構(gòu)的可靠度［7］。將誤差值在允許誤差范圍以內(nèi)的試驗(yàn)次數(shù)記作n，總試驗(yàn)次數(shù)為N，則該誤差源的可靠度P=n/N。

首先考慮各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)末端誤差的影響，進(jìn)行5組抽樣計(jì)算。第1組運(yùn)動(dòng)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.005，其余4組分別將4個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差縮小5倍，其余運(yùn)動(dòng)參數(shù)不變。允許位置誤差范圍分別是±0.055mm、±0.12mm、±0.13mm，允許姿態(tài)誤差范圍均為±0.000 2°，每組樣本總數(shù)為50 000組，各運(yùn)動(dòng)參數(shù)的可靠度抽樣計(jì)算分析結(jié)果如表2所示。

由表2可知， Δαi－1對(duì)機(jī)構(gòu)可靠度的影響最明顯。因此關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)Δαi－1是對(duì)接機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵誤差源。

考慮到各關(guān)節(jié)對(duì)末端誤差的影響，進(jìn)行7組抽樣計(jì)算。第1組6個(gè)關(guān)節(jié)的Δα值的標(biāo)準(zhǔn)差為0.005，其余6組分別將每個(gè)關(guān)節(jié)的Δα值縮小5倍。由于對(duì)接機(jī)構(gòu)的y、z方向位置誤差范圍比較大，因此主要考慮這兩個(gè)方向的誤差可靠度。允許誤差范圍和樣本數(shù)不變，各關(guān)節(jié)Δα值的可靠度抽樣計(jì)算分析結(jié)果如表3所示。

由表3可知，關(guān)節(jié)4和關(guān)節(jié)6的Δα值對(duì)機(jī)構(gòu)可靠度的影響最明顯。綜上關(guān)節(jié)4和關(guān)節(jié)6的Δα值是影響對(duì)接機(jī)構(gòu)末端誤差的主要誤差源，在加工裝配過(guò)程中要嚴(yán)格控制其誤差范圍。

5"結(jié)語(yǔ)

1）介紹了對(duì)接機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和工作原理。該對(duì)接機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)大型產(chǎn)品部件在6個(gè)自由度上的位姿調(diào)整，完成對(duì)接裝配。

2）對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了正逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到了機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型以及反解表達(dá)式。

3）對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行誤差建模與可靠性分析，通過(guò)仿真運(yùn)算得到機(jī)構(gòu)末端位姿誤差范圍，利用蒙特卡洛法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析，得到影響機(jī)構(gòu)末端位姿誤差的主要誤差源為關(guān)節(jié)4和關(guān)節(jié)6的Δα值，為提高對(duì)接機(jī)構(gòu)的位姿精度提供了依據(jù)。

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收稿日期：20220909