摘"要：針對當(dāng)前多自由度柔性機(jī)械臂控制過程中，機(jī)械臂定位控制系數(shù)選擇合理性較低，導(dǎo)致多自由度柔性機(jī)械臂控制時延較長且運(yùn)動軌跡與預(yù)設(shè)軌跡存在較大差異的問題，提出多自由度柔性機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制方法。將拉格朗日算子作為計算基礎(chǔ)，以能量的方式構(gòu)建多自由度柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型?？紤]到機(jī)械臂的負(fù)載狀態(tài)，計算機(jī)械臂的重力矩，識別機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制參數(shù)。設(shè)定非線性連續(xù)時變反饋控制規(guī)則，構(gòu)建機(jī)械臂非線性控制器，實現(xiàn)機(jī)械臂定位控制。構(gòu)建實驗環(huán)節(jié)，實驗結(jié)果表明：該方法可有效提升機(jī)械臂運(yùn)動軌跡與預(yù)設(shè)軌跡的一致性，縮短機(jī)械臂定位控制時延，進(jìn)一步提升機(jī)械臂應(yīng)用效果。

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)控制；多自由度柔性機(jī)械臂；反饋控制；連續(xù)時變；定位控制；動態(tài)面控制

中圖分類號：TP24""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""文章編號：1671-5276（2024）02-0193-05

Nonlinear Continuous Time-varying Feedback Control Method for Multi-degree of Freedom Flexible Manipulators

JIANG Feng， SU Qi

（CNCCC Tongan City Industry Integration Construction Anqing Co.， Ltd.， Anqing 246003，China）

Abstract：In order to solve the long control delay of the multi degree of freedom flexible manipulator and the large difference between the motion trajectory caused by by low rationality of the selection of the positioning control coefficient of the multi degree of freedom flexible manipulator in the current control process of the manipulator， a nonlinear continuous time-varying feedback control method for the multi degree of freedom flexible manipulator is proposed. Based on the Lagrangian operator， the dynamic model of a multi DOF flexible manipulator is built in the form of energy. Considering the load state of the manipulator and the heavy torque of the manipulator， the nonlinear continuous time-varying feedback control parameters of the manipulator are identified. The non-linear controller of the manipulator is constructed by setting the nonlinear continuous time-varying feedback control rules to realize the positioning control of the manipulator. The experimental results show that the proposed method can effectively improve the consistency of the manipulator motion track and the preset track， shorten the manipulator positioning control delay， and further reinforce the application effect of the manipulator.

Keywords：adaptive control；multi-degree of freedom flexible manipulator；feedback control；continuous time-varying；positioning control；dynamic face control

0"引言

工業(yè)的發(fā)展是多種行業(yè)進(jìn)步的基石，機(jī)器人的出現(xiàn)使工業(yè)的發(fā)展邁上了一個大臺階。自第四次工業(yè)革命起，工業(yè)發(fā)展走上了快車道，工業(yè)機(jī)器人成為影響人們生產(chǎn)、生活的重要設(shè)備。機(jī)械臂作為工業(yè)機(jī)器人中最為重要的一種機(jī)械裝置，對其展開全面的研究對于工業(yè)的發(fā)展具有重要的科學(xué)價值與使用價值［1-2］。常見的機(jī)械臂機(jī)器人可簡單地分為剛性機(jī)器人和柔性機(jī)器人。剛性機(jī)械臂具有結(jié)構(gòu)簡單、執(zhí)行工作精度高的優(yōu)點，所以被廣泛地應(yīng)用到工業(yè)、制造業(yè)中。但其存在相應(yīng)的不足，此類機(jī)械臂自身質(zhì)量過大，能耗較高，難以在較小的工作空間中應(yīng)用。柔性機(jī)器人具有較高的負(fù)荷質(zhì)量比，可應(yīng)用到較為復(fù)雜的環(huán)境中。因此，多自由度柔性機(jī)械臂可從事搬運(yùn)、裝配等工作。柔性機(jī)械臂雖然具有較多優(yōu)點，但其控制過程中極易出現(xiàn)控制精度較差的問題，需要設(shè)定較為科學(xué)的控制方法［3］。

在過往的研究中，大量的專家學(xué)者提出了一系列多自由度柔性機(jī)械臂控制方法。此部分方法具有較高的應(yīng)用價值，但當(dāng)機(jī)械臂工作過程中存在非線性干擾時，機(jī)械臂運(yùn)動過程存在運(yùn)動位置異常的問題［4-5］。針對此問題，在此研究中提出多自由度柔性機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制方法，希望通過此方法為機(jī)械臂的控制以及機(jī)械臂控制技術(shù)發(fā)展提供依據(jù)。

1"構(gòu)建多自由度柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型

此次研究將拉格朗日算子［6-7］作為計算基礎(chǔ)，以能量的方式構(gòu)建多自由度柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型，以此避免計算中存在較為復(fù)雜的約束力，直接搭建主動力與運(yùn)動之間的關(guān)系模型。

在以往的研究中，機(jī)械臂的動能A與此運(yùn)動臂的位能之差得到的函數(shù)為此次研究中使用的拉格朗日函數(shù)L：

L（ai，ai0）=A－G（1）

根據(jù)此公式，得到拉格朗日方程：

Fi=tαLαai0－αLαai（2）

式中：ai表示機(jī)械臂的廣義坐標(biāo)；ai0表示機(jī)械臂的廣義速度；Fi表示廣義力矩；表示拉格朗日計算系數(shù)。應(yīng)用此公式對機(jī)械臂的電機(jī)轉(zhuǎn)子、連桿以及關(guān)節(jié)的動能與勢能展開計算。通過文獻(xiàn)研究發(fā)現(xiàn)，連桿速度不會對電機(jī)速度造成影響。因此，連桿的動能可表示為

D（ai，ai0）=ati0Gi（a）a～2（3）

式中：a表示連桿的位置矢量；Gi（a）表示連桿的慣性矩陣。電機(jī)轉(zhuǎn)子的速度主要由連桿的牽連速度與相對速度組成，此時電機(jī)轉(zhuǎn)子的動能可表示為

E（β，ai，ai0）=∑ni=1（H0i，r）Gi，rH0i，r2（4）

式中：β表示機(jī)械臂電機(jī)傳動系數(shù)；n表示機(jī)械臂連桿的數(shù)量；H0i，r表示電機(jī)轉(zhuǎn)子的速度；Gi，r表示連桿的慣性矩陣。對上述公式進(jìn)行整理，將其轉(zhuǎn)化為矢量計算公式，則有

E（β，ai，ai0）=βai0TGi（a）U（a）U（a）TCβai02（5）

式中：C表示經(jīng)過減速比后的電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣性；U（a）表示耦合部分的慣性矩陣。此時多自由度柔性機(jī)械臂動能［8-9］可表示為

E（β，ai，ai0）=CE（β，ai，ai0）+E（ai，ai0）2（6）

則勢能表達(dá)式可表示為

R（β，a）=（β－a）tx（β－a）+Vi（a）2（7）

將上述計算結(jié)果代入拉格朗日函數(shù)中，得到自由度柔性機(jī)械臂動力學(xué)方程［10］：

C（a）β′a′i0+（ai，ai0）β

ai0+g（a）－x（β－a）x（β－a）=ηextηm（8）

式中：C（a）表示完整機(jī)械臂動力學(xué)模型的慣性矩陣；g（a）表示重力矩陣。對上述公式進(jìn)行整理，將其作為此次機(jī)械臂控制方法提出的基礎(chǔ)。

2"機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制方法設(shè)計

根據(jù)機(jī)械臂動力學(xué)模型，結(jié)合當(dāng)前機(jī)械臂控制操作環(huán)節(jié)，在此研究中提出機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制方法，具體控制過程如圖1所示。

此次研究中，將機(jī)械臂的控制過程設(shè)定為3個部分，分別對應(yīng)控制初期、控制中期以及控制后期，針對線性擾動以及機(jī)械臂的實時狀態(tài)進(jìn)行針對性優(yōu)化，以此提升對機(jī)械臂的控制能力。

2.1"機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制參數(shù)識別

在多自由度柔性機(jī)械臂的工作過程中，存在負(fù)載與非負(fù)載兩種工況［11-12］。為保證機(jī)械臂的負(fù)載在任何工況下能夠保持平衡，進(jìn)一步提升機(jī)械臂工作的平穩(wěn)性，需要對機(jī)械臂的重力矩展開計算［13］：

Sl1=s1g1W1cos（δ+δ1）+s2g2W2cos（δ+δ2）

Sl2=s1g1W1cos（δ+δ1）（9）

式中：SI1表示負(fù)載工況下機(jī)械臂的重力矩；SI2表示非負(fù)載工況下機(jī)械臂重力矩；s1表示連桿質(zhì)量；s2表示機(jī)械臂的質(zhì)量；g1表示連桿重力補(bǔ)償參量；g2表示機(jī)械臂重力補(bǔ)償參量；W1表示機(jī)械臂連桿質(zhì)心到機(jī)械臂中心的距離；W2表示機(jī)械臂負(fù)載品質(zhì)心到機(jī)械臂中心的距離；δ1表示連軸質(zhì)心到負(fù)載品質(zhì)心連接線與水平線的夾角；δ2表示負(fù)載品質(zhì)心到機(jī)械臂中心連線與水平線之間的夾角。通過此公式可以發(fā)現(xiàn)，在負(fù)載與非負(fù)載兩種環(huán)境下機(jī)械臂的重力矩差異較大［14］。基于機(jī)械臂平衡性考慮，機(jī)械臂的力矩應(yīng)控制在式（9）中兩計算式的重力矩之間。在確定重力矩之后，對機(jī)械臂的控制參數(shù)進(jìn)行辨識：

min f（μ，ν，ρ）

s.t."μ∈μi=μi，μj

ν∈νi=νi，νj

ρ∈ρi=ρi，ρj（10）

式中：μ表示待檢測動態(tài)參數(shù)；ν表示待檢測重力矩參數(shù)；ρ表示待檢測平衡系數(shù)。使用此公式，確定控制參數(shù)，為后續(xù)的研究提供基礎(chǔ)。

2.2"機(jī)械臂非線性控制器構(gòu)建

此次研究中，將現(xiàn)有的機(jī)械臂控制系統(tǒng)描述為下述形式：

s～=W′s+Hsat（）+Jz

v=G′1s+B1z

o=G′2s+B2z（11）

控制外部系統(tǒng)可表示為

z～=Ez（12）

式中：s表示機(jī)械臂的實時運(yùn)動狀態(tài)；z表示外部控制系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)；v表示測量輸出值；o表示原有控制系統(tǒng)的控制輸出矩陣。sat表示控制器的飽和程度［15-16］，通過公式可將其表示為

sat（）=sign（）min，max（13）

根據(jù)此公式，設(shè)計非線性連續(xù)時變反饋控制器。線性控制規(guī)律可表示為

f′=A′o+Jx′（14）

式中：x′表示參考輸入向量；A′表示反饋增益矩陣。根據(jù)此公式，獲取反饋增益矩陣

d′=A′+B′f′mn（15）

應(yīng)用式（15）計算結(jié)果，得到非線性反饋控制規(guī)律，具體公式設(shè)定如下：

fn′=A′+B′f′mn（A′o+Jx′）δ（16）

式中δ表示機(jī)械臂控制過程中的阻尼系數(shù)。將此公式作為此次研究中的控制規(guī)則，根據(jù)此規(guī)則設(shè)計機(jī)械臂連續(xù)時變反饋控制器。假設(shè)控制規(guī)律能夠使機(jī)械臂控制器q根據(jù)預(yù)設(shè)的控制目標(biāo)得到期望軌跡qi，在此條件的控制誤差可表示為

c（t）=r（t）－f′n（t）（17）

式中r（t）表示預(yù)設(shè)控制輸出向量。為實現(xiàn)連續(xù)時變反饋控制，在此控制器中增加正光滑遞減函數(shù)，以此對機(jī)械臂進(jìn)行穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)控制，則有

μ（t）=（μ0-μ∞）p-nt

-γμ（t）＜p（t）＜γ～μ（t）（18）

式中：－γ表示機(jī)械臂異?？刂浦?；γ～表示機(jī)械臂正常控制值。使用此公式達(dá)到機(jī)械臂反饋控制的目標(biāo)。在此研究中，將機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制參數(shù)識別結(jié)果帶入此控制器中，完成機(jī)械臂的連續(xù)時變反饋控制。對上文中設(shè)定的內(nèi)容進(jìn)行整理分析，采用將其有序連接為方法的形式。至此，多自由度柔性機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制方法設(shè)計完成。

3"實驗論證分析

3.1"實驗平臺搭建

為了更好地對多自由度柔性機(jī)械臂控制技術(shù)進(jìn)行研究，在此次實驗過程中搭建多自由度柔性機(jī)械臂實驗平臺。此平臺主要對文中提出的控制方法進(jìn)行實驗，測試文中方法的實際控制效果。此次實驗中選擇的機(jī)械臂自由度個數(shù)設(shè)定為6，且關(guān)節(jié)可轉(zhuǎn)動，由電機(jī)操縱其轉(zhuǎn)動。具體的多自由度柔性機(jī)械臂選型結(jié)果如圖2所示。

此機(jī)械臂具體操作參數(shù)設(shè)定如下：

1）自由度數(shù)：6；

2）伸展長度：0.5m；

3）重復(fù)定位精度：±15mm；

4）設(shè)備質(zhì)量：30kg；

5）負(fù)載：2 kg。

除去上述機(jī)械臂設(shè)備外，在現(xiàn)有的實驗平臺基礎(chǔ)上，搭建適合此次實驗的新型實驗平臺。對原有的實驗平臺數(shù)據(jù)庫與數(shù)據(jù)采集設(shè)備進(jìn)行完善與優(yōu)化，提升此實驗平臺的數(shù)據(jù)采集、存儲與分析能力，為后續(xù)的實驗對比提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。此實驗平臺中應(yīng)用了多個數(shù)據(jù)服務(wù)網(wǎng)以及位移感應(yīng)器，以便于獲取機(jī)械臂在控制過程中產(chǎn)生的數(shù)據(jù)。將上述平臺構(gòu)建完成后，應(yīng)用其作為此次實驗的基礎(chǔ)。

3.2"實驗參數(shù)設(shè)定

在此次實驗過程中，將機(jī)械臂的初始狀態(tài)設(shè)定為（η，η～）=（0，0）；機(jī)械臂的目標(biāo)控制坐標(biāo)為（η1，η1～）=（0.70，0）；機(jī)械臂目標(biāo)角度設(shè)定為60°。在此次研究中，將實驗對比指標(biāo)設(shè)定為3部分，分別為機(jī)械臂運(yùn)動曲線與期望軌跡差異、機(jī)械臂運(yùn)動位移控制時延以及控制輸出量與預(yù)設(shè)量差異度。為了更好地完成實驗，獲取真實實驗結(jié)果。在此研究中，選擇基礎(chǔ)控制方法以及輸出約束控制方法與文中控制方法進(jìn)行對比，對比不同控制方法的應(yīng)用效果。此次實驗中預(yù)設(shè)的機(jī)械臂運(yùn)行軌跡如圖3所示。

在此次實驗中，將圖3中內(nèi)容作為機(jī)械臂控制目標(biāo)，其速率和幅度均有不同程度的非線性變化以測試設(shè)計方法在非線性連續(xù)動作中實際運(yùn)動曲線與期望軌跡的差異，驗證其精準(zhǔn)性。根據(jù)此目標(biāo)，對實驗對象進(jìn)行控制，獲取實驗結(jié)果。

3.3"機(jī)械臂運(yùn)動曲線與期望軌跡差異實驗

按照上文設(shè)定的實驗方案，對比機(jī)械臂運(yùn)動曲線與期望軌跡的差異，具體實驗結(jié)果如圖4所示。

對上述實驗結(jié)果進(jìn)行分析可以看出，不論是文中方法還是其他兩種方法在對機(jī)械臂進(jìn)行控制時都存在一定的差異。但對3種方法進(jìn)行對比可以看出，文中方法應(yīng)用后的運(yùn)動軌跡與期望軌跡的走向較為一致。其他兩種方法應(yīng)用后所得運(yùn)動軌跡與期望軌跡整體走向相差較大。整理上述實驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，文中方法應(yīng)用后可對機(jī)械臂進(jìn)行較高的定位，提升機(jī)械臂的定位精度，保證機(jī)械臂運(yùn)動軌跡與期望軌跡一致。這是因為文中方法考慮了機(jī)械臂的負(fù)載狀態(tài)，計算機(jī)械臂的重力矩，能夠?qū)C(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制參數(shù)進(jìn)行識別，提高了控制精度。

3.4"機(jī)械臂運(yùn)動位移控制時延實驗

如圖4所示，在此次實驗中機(jī)械臂共計5個位移點。將此部分位移點進(jìn)行排序，分別為01—05，獲取每個位移點的位置變換時間，將其作為此次實驗中的對照組。使用文中方法與其他兩種方法對機(jī)械臂進(jìn)行控制并獲取位置變換時間點，將其作為此次實驗結(jié)果，以此確定不同控制方法的控制時延。具體實驗結(jié)果如表1所示。

對表1中的實驗結(jié)果進(jìn)行分析可以看出，文中方法在應(yīng)用后可在最短的時間內(nèi)使機(jī)械臂達(dá)到目標(biāo)位置，進(jìn)一步縮短控制時間。與文中方法相比，其他兩種方法的控制過程較差，控制時延相對較大，整體應(yīng)用效果不佳。在日后的研究中還需對此兩部分方法進(jìn)行完善與優(yōu)化。這是因為文中方法設(shè)定了非線性連續(xù)時變反饋控制規(guī)則，進(jìn)一步構(gòu)建機(jī)械臂非線性控制器，提高了機(jī)械臂定位控制的性能。

3.5"控制輸出量與預(yù)設(shè)量差異度實驗

控制輸出量與預(yù)設(shè)量差異度實驗結(jié)果如圖5所示。

圖5"控制輸出量與預(yù)設(shè)量差異度實驗結(jié)果

對圖5中的實驗結(jié)果進(jìn)行分析可以看出，3種方法的控制輸出值與預(yù)設(shè)輸出值存在一定的差異，但文中方法的差異度相對較低，文中方法輸出的控制值與預(yù)設(shè)值較為一致。與文中方法相比，其他兩種方法的控制輸出值與預(yù)設(shè)值差異較大，此兩種方法的控制能力與控制水平相對較低。整理上述實驗結(jié)果可以確定，文中方法的控制能力相對較高。這是因為本文方法將拉格朗日算子作為計算基礎(chǔ)，以能量的方式構(gòu)建多自由度柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型，可進(jìn)一步提升機(jī)械臂的運(yùn)行效果。

4"結(jié)語

此次研究中提出了一種針對定位精度與時延的新型機(jī)械臂控制方法，通過實驗證實了此方法的應(yīng)用性能。由于此方法對控制規(guī)則與控制器進(jìn)行了大量的優(yōu)化，提出了一系列的計算要求，在日后的研究中還需對其計算環(huán)節(jié)進(jìn)行整理，以此保證此方法可長期應(yīng)用到機(jī)械臂的控制過程中。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 程楊，潘尚峰. 一種多自由度康復(fù)外骨骼機(jī)械臂的虛擬分解控制［J］. 機(jī)械工程學(xué)報，2022，58（9）：21-30.

［2］ 潘昌忠，費(fèi)湘尹，周蘭，等. 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的自適應(yīng)命令濾波輸出反饋控制［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報，2022，56（5）：199-208.

［3］ 琚世杰，程良彥，閆安志. 壓電柔性機(jī)械臂振動模擬與BP-PID控制［J］. 河南理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2022，41（1）：107-113.

［4］ 孫訓(xùn)紅，陳維樂，都海波，等. 基于輸出反饋和滑?？刂频囊活惗A非線性系統(tǒng)有限時間鎮(zhèn)定方法［J］. 控制理論與應(yīng)用，2021，38（11）：1727-1734.

［5］ 馬天兵，宮晗，杜菲，等. 基于線結(jié)構(gòu)光和優(yōu)化PID的壓電柔性機(jī)械臂振動控制［J］. 光學(xué)精密工程，2021，29（11）：2661-2671.

［6］ 曹懷磊，鄧文翔，姚建勇. 變負(fù)載柔性機(jī)械臂復(fù)合學(xué)習(xí)控制［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報，2022，56（1）：61-69.

［7］ 郝淑英，宋宇昊，李偉雄，等. 速度反饋對多自由度微陀螺非線性影響的控制［J］. 振動工程學(xué)報，2021，34（2）：227-234.

［8］ 周晟，李解，高琳，等. 柔性機(jī)械臂非線性干擾觀測器的高階滑?？刂疲跩］. 組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)，2021（2）：82-85.

［9］ 王茜，侯保林. 彈藥協(xié)調(diào)器非線性連續(xù)時變反饋控制［J］. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2021，53（2）：191-200.

［10］ 王茜，侯保林，姚來鵬，等. 基于干擾觀測器的彈藥傳輸機(jī)械臂非線性連續(xù)時變反饋控制［J］. 兵工學(xué)報，2020，41（11）：2179-2188.

［11］ 余峰，陳新元. N自由度柔性機(jī)械臂通用的動力學(xué)建模方法研究［J］. 振動與沖擊，2020，39（16）：103-111.

［12］ 曾偉鵬，邵輝，洪雪梅，等. 采用非線性干擾觀測器的機(jī)械臂補(bǔ)償型滑?？刂疲跩］. 華僑大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2020，41（4）：415-422.

［13］ 李剛，于金鵬，劉加朋，等. 基于指令濾波的機(jī)械臂有限時間輸出約束阻抗控制［J］. 機(jī)械制造與自動化，2021，50（4）：150-155.

［14］ 張昌，武玉強(qiáng). 基于P-Rob六自由度機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)建模與仿真［J］. 包裝工程，2020，41（11）：166-173.

［15］ 韓江，張凱，董方方. 基于Udwadia-Kalaba方法的柔性機(jī)械臂魯棒伺服約束控制［J］. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2020，43（5）：577-583.

［16］ 高國華，鄭玉航，王皓. 雙臂三自由度柔性連續(xù)體機(jī)器人的運(yùn)動分析及實驗研究［J］. 北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2020，46（5）：448-455.

收稿日期：20221018