摘 要：在基于靈敏度分析的軸對稱模型修正中，重根特征向量靈敏度是較為重要的確定結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方向的參數(shù)。以楊秋偉提出的計(jì)算特征向量靈敏度的方法為基礎(chǔ)，在支配方程的兩側(cè)加上一個(gè)可調(diào)整的正則項(xiàng)以消除動(dòng)剛度陣的奇異性，并結(jié)合完備模態(tài)法計(jì)算模態(tài)參與因子，提出了正則完備法。雖然該法以計(jì)算重根特征向量靈敏度而推導(dǎo)，但也可用于單根特征向量靈敏度的計(jì)算。通過試驗(yàn)算例驗(yàn)證了所提方法在軸對稱模型修正的可行性。

關(guān)鍵詞：軸對稱模型修正；重根特征向量；特征向量靈敏度

中圖分類號(hào)：TP391.9文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1671-5276（2024）03-0123-04

Regular Complete Method for Computing Sensitivity of Repeated Root Eigenvectors

Abstract：In the sensitivity-based model updating of the axisymmetric structure， the sensitivity of the repeated root eigenvectors is a crucial parameter to determine the optimization direction of structural parameters. Based on the method of calculating eigenvector sensitivity proposed by YANG Qiuwei， regular complete method is proposed by adding an adjustable regular term on both sides of the governing equation to eliminate the singularity of the dynamic stiffness matrix and combining with the complete modal method to calculate the modal participation factor. Although the method is derived by calculating the sensitivity of the repeated root eigenvectors， it can also be used for the calculation of the sensitivity of the single root eigenvector. Experimental examples verify the feasibility of the proposed method in axisymmetric model updating.

Keywords：axisymmetric model updating；repeated root eigenvectors；eigenvector sensitivity

0 引言

特征靈敏度是基于靈敏度分析模型修正的重要研究內(nèi)容之一，可以確定結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方向。最早由FOX和ROGERS給出了特征靈敏度關(guān)于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的推論式，NELSON［1］在FOX的推論基礎(chǔ)上建立了關(guān)于單根特征向量靈敏度的表達(dá)式，OJALVO［2］將Nelson法擴(kuò)展到重根特征向量；MILLS-CURRAN［3］對Ojalvo法通解的普遍計(jì)算式進(jìn)行了合理的改進(jìn)，上述方法又稱為直接求導(dǎo)法。完備模態(tài)法［4］可以精確求解單、重根特征向量靈敏度且只需要本階模態(tài)，適用于特征值為分離或多重的情況，缺點(diǎn)是不易求解等效高階模態(tài)，計(jì)算效率低。高精度模態(tài)法將特征向量導(dǎo)數(shù)表示為完備組的線性組合，再考慮高階模態(tài)的近似貢獻(xiàn)。完備模態(tài)法和高精度模態(tài)法將特征向量靈敏度表征為所有特征向量線性組合去求解，所以又被稱為模態(tài)法。

軸對稱模型修正需要進(jìn)行測量模態(tài)與有限元模型之間的相關(guān)性分析，最后以測量模態(tài)進(jìn)行修正。軸對稱結(jié)構(gòu)的重根模態(tài)具有固有頻率接近，振型偏轉(zhuǎn)一定角度的特點(diǎn)，致使兩模態(tài)的MAC值很差。李效法［5］提出等價(jià)振型轉(zhuǎn)換法并考慮到了模態(tài)遺漏，將有限元重根振型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。經(jīng)過振型轉(zhuǎn)換后，通過相關(guān)性分析找到相匹配的模態(tài)并計(jì)算參數(shù)靈敏度，最后對有限元模型進(jìn)行修正。

直接求導(dǎo)法和模態(tài)法可以分為單根和重根兩種情況討論。在單、重根特征向量的情況下，直接求導(dǎo)法的支配方程系數(shù)陣奇異性和待定系數(shù)計(jì)算方法不同，模態(tài)法則是模態(tài)參與因子計(jì)算方法互異。而且，Nelson法和模態(tài)疊加法只適用于單根的情況，改進(jìn)Nelson法和完備模態(tài)法適用于單、重根的情況。楊秋偉等［6］在Nelson法計(jì)算特征向量導(dǎo)數(shù)的支配方程兩側(cè)加上一個(gè)正則項(xiàng)，將系數(shù)陣變?yōu)榉瞧娈惥仃嚥⑶竽婧娃D(zhuǎn)換多余的正則項(xiàng)，從而推導(dǎo)出求解單根特征向量靈敏度的公式。本文在文獻(xiàn)［7］求解單根特征向量靈敏度的基礎(chǔ)上，提出正則完備法。

1 理論背景

1.1 重根特征向量靈敏度分析方法

假設(shè)一個(gè)具有n自由度的對稱無阻尼系統(tǒng)，剛度矩陣為K和質(zhì)量矩陣為M，則考慮如下動(dòng)力學(xué)問題：

KZ=λMZ（1）

ZTMZ=Im×m（2）

式中：λ為m重根；Z=（z1，z2，…，zr，…，zm）是相應(yīng)的m（m＜n）重根特征向量，r=1，2，…，m；K、M、λ和Z均為設(shè)計(jì)參數(shù)pj的函數(shù)；I為m×m階單位矩陣。將式（1）兩邊對參數(shù)pj求偏導(dǎo)，并移項(xiàng)整理可得：

（K－λM）Z′=MZΛ′－（K′－λM′）Z=G（3）

式中：Λ′為重根特征值Λ=（λ1，λ2，…，λr，…，λm）對設(shè)計(jì)參數(shù)pj的1階導(dǎo)數(shù)，也稱為特征值靈敏度；Z′為重根特征向量對設(shè)計(jì)參數(shù)pj的特征向量靈敏度。由文獻(xiàn)［3］可得單、重根特征值靈敏度的計(jì)算公式：

Λ′=ZT（K′－λM′）Z（4）

·信息技術(shù)·

李成立，等·計(jì)算重根特征向量靈敏度的正則完備法

1.2 正則完備法

首先，完備模態(tài)法是將特征向量導(dǎo)數(shù)Z′展開成實(shí)用完備模態(tài)［Φk，Ψh］的線性組合，即

由文獻(xiàn)［4］可得因子C的對角元素計(jì)算式為

C的非對角元素由下式計(jì)算：

式中：K″和M″分別為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣對設(shè)計(jì)參數(shù)pj的2階導(dǎo)數(shù)；Λ″為特征值對設(shè)計(jì)參數(shù)pj的2階導(dǎo)數(shù)。于是，C的計(jì)算式可總結(jié)為

將式（3）左右兩邊增加正則項(xiàng)εZZTKZ′，其中ε為任意非0實(shí)數(shù)，則式（3）變?yōu)?/p>

（K－λM+εZZTK）Z′=MZΛ′－（K′－λM′）Z+εZZTKZ′（10）

將式（5）代入正則項(xiàng)εZZTKZ′可得：

由完備模態(tài)的正交性可知，上式可變?yōu)?/p>

εZZTKZ′=εZZTKZC=εZΛC（12）

將上式代入式（10）得

（K－λM+εZZTK）Z′=MZΛ′－（K′－λM′）Z+εZΛC（13）

對于系數(shù)陣K－λM+εZZTK，左乘以ZT，右乘以Z則得：

ZT（K－λM+εZZTK）Z=Λ－λIm×m+εZTZΛ=εZTZΛ（14）

由式（14）可得，當(dāng)ε為非0實(shí)數(shù)時(shí)，系數(shù)陣K－λM+εZZTK非奇異。將式（13）直接求逆，可得重根特征向量靈敏度的解：

Z′=（K-λM+εZZTK）－1

［MZΛ′－（K′－λM′）Z+εZΛC］（15）

綜上，式（15）為正則完備法。該公式可以只用本階模態(tài)計(jì)算特征向量靈敏度。將Z、Λ和Λ′看作單根時(shí)，就等于文獻(xiàn)［6］所提的計(jì)算單根特征向量靈敏度的方法。所以，該法適用于單、重根特征向量靈敏度的計(jì)算。當(dāng)λ′j≠λ′i時(shí)（即m重根特征值靈敏度分離），可以忽略等效高階模態(tài)對特征向量導(dǎo)數(shù)的貢獻(xiàn)，即刪去式（8）中右邊第2項(xiàng)ZT（K′－λM′）ΨhCh，式（15）為近似法。

2 算例分析

試驗(yàn)算例將用完備模態(tài)法和正則完備法計(jì)算除剛體模態(tài)外的前3階特征向量靈敏度。以圖1中放在海綿墊上的圓盤為例，建立有限元模型。有限元模型有432個(gè)SHELL181單元，433個(gè)節(jié)點(diǎn)，2 598個(gè)自由度。圓盤材料為鐵，假設(shè)初始材

受文獻(xiàn)［7］的啟發(fā)，本文用MatLab調(diào)用自編的APDL靈敏度計(jì)算腳本，再由MatLab所編寫的修正迭代算法對設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修正。因此，ANSYS運(yùn)行APDL自編腳本所獲得的特征靈敏度如下。在表1中，方法1為有限差分法，方法2為式（4）所示方法。保留一定精度，表1中兩種方法計(jì)算的第7階和第8階特征值對E、ρ和t的靈敏度都相同。因此，利用式（15）計(jì)算第7階和第8階重根特征向量對E、ρ和t的靈敏度時(shí)，可當(dāng)作λ′j=λ′i。此時(shí)，本文所提方法為精確法。在表2—表4中，正則完備法為方法3，完備模態(tài)法為方法4。兩種方法的計(jì)算結(jié)果相比，證明正則完備法可用于計(jì)算特征向量靈敏度。另外，計(jì)算第7階特征向量對密度的靈敏度時(shí)，完備模態(tài)法所用時(shí)間約為8.47s，而正則完備法所用時(shí)間約為0.89s，由此可知大幅提高了計(jì)算效率且更易編程。

根據(jù)特征值靈敏度分析，選取對特征值敏感的E、ρ和t為修正參數(shù)。采用正則完備法和改進(jìn)Nelson法計(jì)算特征向量靈敏度，再對圓盤進(jìn)行修正。另外，有限元數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比如表5所示；頻率誤差的迭代變化分別如圖2和圖4所示（本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者）；設(shè)計(jì)參數(shù)相對變化量的迭代變化分別如圖3和圖5所示（紅線為E、綠線為ρ，藍(lán)線為t）。

對測量數(shù)據(jù)的前6階進(jìn)行修正，7和8階為預(yù)測模態(tài)，比較修正后頻率誤差和MAC值。由圖2—圖5可知，正則完備法和改進(jìn)Nelson法參與修正時(shí)，經(jīng)過 14次迭代測量模態(tài)與有限元模型之間的頻率誤差和設(shè)計(jì)參數(shù)達(dá)到收斂。由表5可知，修正前頻率誤差最大為第3階8.59%，最小為第4階1.48%，但MAC值都較高。正則完備法參與修正時(shí)，最小為第1階0.40%，第4階頻率誤差變大為4.21%。改進(jìn)Nelson法參與修正時(shí)，最小為第1階0.42%，第4階頻率誤差變大為4.19%。但兩種方法相比，修正后頻率誤差都在5%以下，頻率平均誤差都為1.50%，預(yù)測模態(tài)的頻率誤差都在1.3%以下，MAC值都有所改善，且修正后的MAC值一致。修正后，改進(jìn)Nelson法的設(shè)計(jì)參數(shù)為E=180.18GPa、 ρ=7 530.05kg/m3和t=4.04×10－3m，而正則完備法的設(shè)計(jì)參數(shù)為E=178.75GPa、ρ=7 491.81kg/m3和t=4.05×10－3m?？傮w來看，兩種方法修正后頻率和MAC值都符合工程要求，且修正后的設(shè)計(jì)參數(shù)符合圓盤（鐵）的材料屬性和厚度誤差。因此，正則完備法可用于模型修正。

3 結(jié)語

本文參考文獻(xiàn)［6］的思想，提出計(jì)算特征向量靈敏度的正則完備法。通過在計(jì)算重根特征向量靈敏度支配方程的兩側(cè)增加一個(gè)正則項(xiàng)，把系數(shù)矩陣由奇異矩陣變形為非奇異矩陣，從而可以通過直接求逆快速計(jì)算出特征向量靈敏度，且所提的計(jì)算公式適用于單、重根特征向量。相比于改進(jìn)Nelson法和完備模態(tài)法，該法在操作上更加簡便，且更易于編程。理論上，正則完備法為精確法。但用式（9）計(jì)算系數(shù)陣C忽略等效高階模態(tài)對特征向量導(dǎo)數(shù)的貢獻(xiàn)時(shí)，該法為近似法。以圓盤結(jié)構(gòu)為例對所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明所提方法在計(jì)算特征向量靈敏度和模型修正方面是合理可行的，在工程實(shí)踐中也有較廣闊的應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)：

［1］ NELSON R B. Simplified calculation of eigenvector derivatives［J］. AIAA Journal，1976，14（9）：1201-1205.

［2］ OJALVO I. Gradients for large structural models with repeated frequencies［J］. Society of Automotive Engineers，Warrendale ：1986： 86-1789.

［3］ MILLS-CURRAN W C. Comment on “eigenvector derivatives with repeated eigenvalues”［J］. AIAA Journal，1990，28（10）：1846.

［4］ 張德文，魏阜旋. 重根特征向量導(dǎo)數(shù)計(jì)算的完備模態(tài)法［J］. 固體力學(xué)學(xué)報(bào)，1992，13（4）：347-352.

［5］ 李效法. 基于靈敏度分析的模型修正研究及其實(shí)現(xiàn)［D］. 南京：南京航空航天大學(xué)，2007.

［6］ 楊秋偉，汪振東，梅紅蕾. 特征向量靈敏度計(jì)算的一種新方法［J］. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2021，38（3）：1239-1244.

［7］ 周建君，許俊海，范青山，等. ABAQUS二次開發(fā)在自沖鉚接模擬中的研究［J］. 機(jī)械制造與自動(dòng)化，2021，50（5）：146-148.