摘 要：以9-3 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人為研究對象，分析其在機(jī)構(gòu)接近奇異位形時動平臺運(yùn)動精度的情況。通過計(jì)算并聯(lián)機(jī)器人速度Jacobian矩陣的行列式得到奇異點(diǎn)的坐標(biāo)。通過虛擬樣機(jī)實(shí)驗(yàn)，得到動平臺參考點(diǎn)位置反解和正解計(jì)算的相對誤差。用轉(zhuǎn)動Jacobian矩陣條件數(shù)的倒數(shù)來度量機(jī)構(gòu)接近奇異的程度，并分析該程度與上述相對誤差之間的映射關(guān)系。研究結(jié)果表明：當(dāng)指標(biāo)值大于7.027×10-5時，正、反解的相對誤差可忽略不計(jì)，這為奇異規(guī)避、路徑規(guī)劃等后續(xù)工作提供了理論參考。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)器人；正解；反解；運(yùn)動精度；奇異位形；Jacobian矩陣

中圖分類號：TH122; TP242文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1671-5276（2024）03-0195-04

Effect of Singularity on Motion Accuracy of Stewart Parallel Robot

Abstract：Taking 9-3 Stewart parallel robot as the research object， analyzes the motion accuracy of moving platform when mechanism is close to singular configuration. The determinant of velocity Jacobian matrix of the parallel robot is calculated to abtain the coordinates of singular points. The virtual prototype experiment is conducted to gain the relative error of the inverse solution and positive solution of the reference point of the moving platform. The reciprocal of the condition number of the rotating Jacobian matrix is used to measure the degree of the mechanism approaching singularity， and the mapping relationship between this degree and the above relative error is analyzed. The results show that when the index value is greater than 7.027×10-5， the relative error of the positive and negative solutions can be ignored， which provides a theoretical reference for the follow-up work such as singularity avoidance and path planning.

Keywords：parallel robot; positive solution; inverse solution; motion accuracy; singular configuration; Jacobian matrix

0 引言

機(jī)器人可以從構(gòu)型上劃分成串聯(lián)機(jī)器人和并聯(lián)機(jī)器人兩種。與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)器人具有輸出精度高、承載能力強(qiáng)、累積誤差小、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)［1］。所以，并聯(lián)機(jī)器人被廣泛地應(yīng)用于需要高精度的工業(yè)生產(chǎn)中，比如軍事領(lǐng)域中的潛艇、坦克駕駛運(yùn)動模擬器；食品、電子、化工、包裝等行業(yè)的分揀、搬運(yùn)、裝箱等。在現(xiàn)有的6自由度并聯(lián)機(jī)器人中，最成功和最具代表性的是Gough-Stewart平臺，其移動平臺是通過6個結(jié)構(gòu)相同的支鏈連接到固定底座，形成閉環(huán)架構(gòu)［2］。由于人們追求并聯(lián)機(jī)構(gòu)盡可能地滿足更多需求，具有更好的性能，Stewart型并聯(lián)機(jī)器人應(yīng)運(yùn)而生。對于Stewart型并聯(lián)機(jī)器人來說，安裝在動平臺上的球副在空間上是任意排列的，不一定是共面的，而且支鏈的數(shù)量也允許多于6個［3］。鑒于這些幾何特征，Stewart型并聯(lián)機(jī)器人在工業(yè)上的應(yīng)用將比傳統(tǒng)的Gough-Stewart平臺更廣泛。

國內(nèi)外關(guān)于并聯(lián)機(jī)器人的研究主要集中在機(jī)構(gòu)學(xué)、運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)和控制策略等方面，其中奇異位形是衡量并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動性能的一個重要指標(biāo)［4］。奇異位形是當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動進(jìn)入某種臨界狀態(tài)時所具有的特定位形，是并聯(lián)機(jī)器人的一項(xiàng)重要運(yùn)動學(xué)特性。在這種臨界狀態(tài)下，機(jī)構(gòu)的實(shí)際自由度數(shù)不再與其理論自由度數(shù)相等［5］。自由度為6的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇點(diǎn)軌跡是一個6維超曲面，無法用圖形表示。當(dāng)奇異點(diǎn)出現(xiàn)在工作空間內(nèi)部或它的邊界時，一個并聯(lián)機(jī)構(gòu)就不能被完全控制，而且它的性能會變得較差，比如靜剛度會顯著降低。在實(shí)際應(yīng)用中，并聯(lián)機(jī)構(gòu)會被限制在一個無奇異點(diǎn)的子空間中。因此，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異性進(jìn)行分析具有重要意義。

GOSSELIN等［6］首先根據(jù)末端執(zhí)行器和驅(qū)動器的速度關(guān)系式提出了3種類型的奇異位形。HAO、MERLET和COLLINS等［7-9］分別采用線叢原理和Clifford代數(shù)對奇異位形存在的條件進(jìn)行了研究。李虹等［10］通過3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)方程求解機(jī)構(gòu)Jacobian矩陣，分析該機(jī)構(gòu)的奇異位形。仇鑫等［11］以一種可重構(gòu)Stewart型并聯(lián)機(jī)器人為研究對象，對其奇異特性進(jìn)行了理論分析。孫占朋等［12］研究自由漂浮空間機(jī)器人回避奇異的路徑規(guī)劃問題，使得空間機(jī)器人在運(yùn)行過程中能夠有效地解決反解問題。

為進(jìn)一步減少或消除奇異性的影響、擴(kuò)大并聯(lián)機(jī)器人的實(shí)用化和產(chǎn)品化規(guī)模，本文以9-3（其中9、3分別表示靜平臺、動平臺上球副的數(shù)量）Stewart型并聯(lián)機(jī)器人為研究對象，分析其奇異特性對運(yùn)動精度的影響，研究結(jié)果將對后續(xù)奇異位形的規(guī)避以及路徑規(guī)劃等工作具有指導(dǎo)意義。

1 奇異點(diǎn)計(jì)算及虛擬樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

1.1 計(jì)算奇異點(diǎn)

9-3 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人由1個動平臺、1個靜平臺以及9條具有完全相同結(jié)構(gòu)的支鏈組成。其中，每條支鏈都是由1個一般球面副、1個復(fù)合虎克鉸鏈和1個移動副組成。

其結(jié)構(gòu)模型和機(jī)構(gòu)簡圖分別如圖1、圖2所示。當(dāng)其Jacobian矩陣的行列式等于0時，機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異。

在動平臺上任選一點(diǎn)P為參考點(diǎn)，基于速度基點(diǎn)法，每條支鏈的速度可以表示為

vbj=vp+ωp×（boj－po） （j=1，2，3）（1）

式中：vp和ωp分別表示點(diǎn)P的線速度和動平臺的角速度；boj、po分別表示動平臺上的點(diǎn)bj和點(diǎn)P的位置矢量。

將上式的等號兩端同時點(diǎn)乘支鏈的單位方向向量，整理后可得第i條支鏈的速度為

ii=vbj·hi=hTi·vp+［（boj－po）·hi］×ωp（2）

式中hi表示支鏈i的單位方向向量。

根據(jù)移動副的工作模式，9-3 Stewart并聯(lián)機(jī)器人可以重構(gòu)為 3-2-1構(gòu)型和2-2-2構(gòu)型，前、中、后3個數(shù)字各代表一條混合單開鏈支路中驅(qū)動副的個數(shù)?？梢缘玫?-2-2和3-2-1構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度Jacobian矩陣J1、J2分別為：

基于式（3）和式（4），計(jì)算速度Jacobian矩陣行列式為0時P點(diǎn)的坐標(biāo)，所求出的坐標(biāo)即為相應(yīng)構(gòu)型的奇異點(diǎn)的坐標(biāo)。由此可得到：

1） 當(dāng)9-3 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人為2-2-2構(gòu)型時所求得的奇異點(diǎn)坐標(biāo)為

2） 當(dāng)9-3 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人為3-2-1構(gòu)型時所求得的奇異點(diǎn)坐標(biāo)為

考慮到速度Jacobian矩陣量綱不統(tǒng)一會導(dǎo)致其條件數(shù)無意義，令J－1=G，則

式中：G1為移動Jacobian矩陣；G2為轉(zhuǎn)動Jacobian矩陣。G1與參考點(diǎn)的選取有關(guān)，而G2與參考點(diǎn)的選取無關(guān)，本文僅考慮后者。

1.2 虛擬樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

在ADAMS軟件中建立機(jī)器人的虛擬樣機(jī)并進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真，流程圖如圖3所示。

第一步：在模型上創(chuàng)建點(diǎn)，其坐標(biāo)為前文計(jì)算出的6個奇異點(diǎn)坐標(biāo)，如圖4所示。

第二步：驅(qū)動動平臺，確定移動副驅(qū)動量。

1）選定P點(diǎn)為動平臺參考點(diǎn)，建立該點(diǎn)到奇異點(diǎn)的移動副。

2）創(chuàng)建P點(diǎn)上的一般點(diǎn)驅(qū)動。

3）將時間設(shè)置成1s，步數(shù)設(shè)置成500步，進(jìn)行模擬仿真。整個仿真的過程就是動平臺從初始位置向奇異點(diǎn)方向運(yùn)動再返回的過程。

4）仿真結(jié)束后，將此時P點(diǎn)的坐標(biāo)導(dǎo)出。

5）基于B1—B9點(diǎn)的坐標(biāo)和b1、b2、b3點(diǎn)的坐標(biāo)，確定移動副驅(qū)動量。

第三步：驅(qū)動支鏈。

①在ADAMS軟件中導(dǎo)入2-2-2驅(qū)動模式和3-2-1驅(qū)動模式下移動副隨時間變化的數(shù)據(jù)。

②在驅(qū)動支鏈上建立平移驅(qū)動。

③設(shè)定仿真時間為1s，步數(shù)為500步。

④導(dǎo)出仿真停止時P點(diǎn)的坐標(biāo)，作為動平臺參考點(diǎn)的仿真值數(shù)據(jù)。

2 數(shù)據(jù)處理與分析

2.1 數(shù)據(jù)的處理

計(jì)算P點(diǎn)準(zhǔn)確值和仿真值3個分量的相對誤差并求平均值，用轉(zhuǎn)動Jacobian矩陣條件數(shù)的倒數(shù)來度量機(jī)構(gòu)接近奇異的程度，得到的數(shù)據(jù)曲線如圖5—圖10所示。

2.2 數(shù)據(jù)的分析

以3-2-1構(gòu)型時的S6點(diǎn)為例，分析0.42s～0.50s之間動平臺參考點(diǎn)位置相對誤差與轉(zhuǎn)動Jacobian矩陣條件數(shù)倒數(shù)之間的關(guān)系，如圖11所示。

結(jié)果顯示，隨著動平臺不斷向奇異點(diǎn)運(yùn)動，轉(zhuǎn)動Jacobian條件數(shù)的倒數(shù)不斷趨近于0，在該值約等于7.027×10-5時，動平臺參考點(diǎn)位置相對誤差發(fā)生突變。

3 結(jié)語

利用ADAMS軟件仿真了9-3 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人在2-2-2構(gòu)型和3-2-1構(gòu)型時的情況，分析了動平臺接近奇異位形時的運(yùn)動精度。

本文從運(yùn)動傳遞性能的角度，通過虛擬樣機(jī)實(shí)驗(yàn)研究了機(jī)器人Jacobian矩陣條件數(shù)的臨界值，而并沒有考慮機(jī)構(gòu)的力傳遞性能。接下來主要考慮兩個方面工作：

1）探究并聯(lián)機(jī)器人的力傳遞性能與奇異性能之間的關(guān)聯(lián)；

2）通過實(shí)物樣機(jī)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證并聯(lián)機(jī)器人的奇異性能對運(yùn)動/力傳遞性能的影響規(guī)律。

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