策略一：已知兩個中點(diǎn)，應(yīng)用三角形中位線.

在同一個三角形中有兩個中點(diǎn)，若兩個中點(diǎn)已連接，可直接考慮運(yùn)用三角形中位線定理；若兩個中點(diǎn)未連接，則考慮先連接中點(diǎn)，再運(yùn)用三角形中位線定理. 當(dāng)題目中沒有出現(xiàn)三角形，但是又出現(xiàn)了兩個中點(diǎn)時，可考慮利用輔助線將兩個中點(diǎn)放到同一個三角形中，進(jìn)而使用三角形的中位線定理去求相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系.

例1 如圖1，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點(diǎn)P，M，N分別是AC，AD，CE的中點(diǎn)，求證：PM = PN.

思路點(diǎn)撥：如圖2，連接CD，AE.

由三角形中位線定理可得PM = [12]CD，PN = [12]AE.

∵△ABD和△BCE是等邊三角形，

∴AB = DB，BE = BC，∠ABD = ∠CBE = 60°，

∴∠ABE = ∠DBC，

∴△ABE ≌ △DBC，∴AE = DC，∴PM = PN.

策略二：已知一個中點(diǎn)，利用“角平分線 + 垂直”找另一中點(diǎn)，應(yīng)用三角形中位線.

利用“角平分線 + 垂直”，可以構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)“三線合一”可得中點(diǎn)，通過三角形的中位線定理易求得相關(guān)線段的長度.

例2 點(diǎn)M為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AB = 12，AC = 18，BD⊥AD于點(diǎn)D，連接DM. （1）如圖3，若AD為∠BAC的平分線，則MD = ；（2）如圖4，若AD為∠BAC的外角平分線，則MD = .

思路點(diǎn)撥：（1）如圖5，延長BD交AC于點(diǎn)E，由BD⊥AD，且AD為∠BAC的平分線，易證△ABE是等腰三角形，則AE = AB = 12，所以EC = AC - AE = 6. 因?yàn)镸D是△BCE的中位線，所以MD = [12]CE = 3. 故填3.

" " " 圖3 圖4 圖5

（2）如圖6，延長BD，CA，交于點(diǎn)E.

由BD⊥AD，AD為∠BAE的平分線，易證△ABE是等腰三角形，則AE = AB = 12，則EC = AC + AE = 30.

由MD是△BCE的中位線，可得MD = [12]CE = 15. 故填15.

變式 如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D為△ABC外一點(diǎn)，使∠DAC = ∠BAC，E為BD的中點(diǎn). 若∠ABC = 60°，則∠ACE = .

思路點(diǎn)撥：如圖8，延長AD，BC，交點(diǎn)為F.

由∠ACB = 90°，∠DAC = ∠BAC，∠ABC = 60°，易證△ABF為等邊三角形. 因?yàn)镋C是△BDF的中位線，所以EC[?]DF，所以∠ACE = ∠FAC = 30°." 故填30°.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：10分鐘

1. 如圖9，在△ABC中，∠ABC = 90°，BA = BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF = 90°，M為AF的中點(diǎn)，求證：[ME=12CF]. （答案見第33頁）

難度系數(shù)：★★★★ 解題時間：15分鐘

2. 如圖10，在△ABC中，∠C = 90°，CA = CB，E，F(xiàn)分別為CA，CB上一點(diǎn)，CE = CF，M，N分別為AF，BE的中點(diǎn)，求證：AE = 2MN. （答案見第33頁）

圖9" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "圖10

（作者單位：錦州市第四中學(xué)）