**基金項(xiàng)目：本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“新實(shí)驗(yàn)體系下物理課堂開展深度學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：C－c/2021/02/158）的階段性研究成果。

摘要：鑒于學(xué)生對(duì)一道桿約束問題的質(zhì)疑，本文通過實(shí)驗(yàn)探究、Working Model仿真模擬和理論分析，發(fā)現(xiàn)該題的備選答案與實(shí)際情況不符，說明該題目的命制缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性。因此，本文在探究該題目答案合理性的基礎(chǔ)上，對(duì)后續(xù)問題進(jìn)行了深入探討，以期提高教師和學(xué)生對(duì)問題的分析拓展能力。

關(guān)鍵詞：桿約束；深度探究；Working Model軟件；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

1問題與質(zhì)疑

如圖所示，一長直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩小球質(zhì)量均為m，兩小球半徑均忽略不計(jì)，桿的長度為L。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動(dòng)小球B，使小球B在水平面上由靜止開始向右滑動(dòng)，當(dāng)小球A沿墻下滑距離為L2時(shí)，下列說法正確的是（不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g）（）。

A. 桿對(duì)小球A做功為14mgL

B. 小球A、B的速度都為12gL

C. 小球A、B的速度分別為123gL和12gL

D. 桿與小球A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少了12mgL

前不久，一位學(xué)生對(duì)教輔書中的上述題目提出疑問。學(xué)生提出，他在生活中發(fā)現(xiàn)，一根斜靠在墻上的晾衣桿滑下時(shí)會(huì)離開墻壁，那么，這道題中的小球A是否也會(huì)離開墻壁呢？如果小球A在沿墻下滑距離不到L2時(shí)就已離開墻壁，那這道題就不能簡單地運(yùn)用速度分解和系統(tǒng)機(jī)械能守恒來進(jìn)行分析。因?yàn)樾∏駻一旦離開墻壁，其速度就會(huì)出現(xiàn)水平分量，運(yùn)動(dòng)過程會(huì)變得十分復(fù)雜。

筆者聽后，深感這位學(xué)生的觀察和推理能力之強(qiáng)，隨后查閱了一下這道題的出處，發(fā)現(xiàn)這道題在多地高一或高三的模考卷中均出現(xiàn)過，那么有沒有可能是數(shù)據(jù)設(shè)置好了保證小球A一直不會(huì)離開墻壁，亦或是在小球A下滑到L2之前不會(huì)離開墻壁呢？

2實(shí)驗(yàn)與模擬

2.1實(shí)驗(yàn)觀察

通過桿的約束，兩球必然會(huì)相互影響。為了直觀呈現(xiàn)結(jié)果，可以先從實(shí)驗(yàn)的角度出發(fā)。

該實(shí)驗(yàn)裝置簡單易得，“兩球”用較重的金屬球，“輕桿”用密度較小的PVB材料，然后將它們通過膠水粘牢，實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。實(shí)驗(yàn)開始前，為使裝置能順利下滑，可以設(shè)置一個(gè)角度。接下來讓兩球緊靠較光滑的墻面和桌面，并由靜止開始下滑，觀察它們?cè)谙禄^程中是否脫離墻面。由于兩球運(yùn)動(dòng)過快，普通相機(jī)采集幀數(shù)較少，只能清晰地記錄即將落地時(shí)的情形，此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)小球A已脫離墻壁。

2.2仿真模擬

Working Model是一款運(yùn)動(dòng)仿真軟件，可以用于設(shè)計(jì)和分析各種機(jī)械系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。由于現(xiàn)實(shí)中存在諸多損耗，該軟件可以模擬并解決許多不容易在現(xiàn)實(shí)情況下完成的實(shí)驗(yàn)。

該軟件能夠設(shè)定墻面和地面均為光滑，并逐幀記錄兩物體的運(yùn)動(dòng)情況，從而避免了真實(shí)實(shí)驗(yàn)有摩擦、運(yùn)動(dòng)過快導(dǎo)致的幀數(shù)過少等問題。通過觀察小球A及系統(tǒng)質(zhì)心的模擬軌跡，可以更直觀地了解它們的運(yùn)動(dòng)情況。軟件模擬軌跡如圖2所示，兩條曲線分別是小球A和系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡。

通過仿真模擬，可以明顯地發(fā)現(xiàn)小球A在空中某位置脫離了墻壁，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)質(zhì)心在小球A脫離墻壁前做圓周運(yùn)動(dòng)（理論分析見下文）。讀出兩球質(zhì)心的初始縱坐標(biāo)分別為3.00m和0.30m（考慮球的體積），算出兩球質(zhì)心間的距離為2.70m。放大軌跡讀出小球A軌跡發(fā)生偏折時(shí)小球A質(zhì)心的縱坐標(biāo)為2.081m（見圖3），從而算出小球A剛脫離墻壁時(shí)與小球B質(zhì)心的豎直距離為1.781m。從而計(jì)算出小球A剛脫離墻壁瞬間桿與墻面夾角的余弦值約為0.66。這一結(jié)果大于題設(shè)的0.5，故小球A脫離墻壁后還將繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間才滿足“小球A沿墻下滑距離為L2”，這個(gè)過程的分析會(huì)非常復(fù)雜。

3解析與探討

下面，筆者將首先從邏輯的角度分析小球A運(yùn)動(dòng)的全過程；其次，介紹求解小球A脫離墻壁臨界點(diǎn)的三種方法；最后，再結(jié)合這三種方法探討小球A脫離墻壁后兩球運(yùn)動(dòng)的速度。

3.1從邏輯的角度對(duì)小球A受力分析

小球A與小球B剛開始做加速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)不存在小球A脫離墻壁的現(xiàn)象，那么當(dāng)小球A運(yùn)動(dòng)到地面時(shí)，小球B將運(yùn)動(dòng)到距小球A為L的位置；再假設(shè)小球A可以繼續(xù)往下“鉆進(jìn)地里”，那么小球B將會(huì)由于桿的約束而折返，小球B運(yùn)動(dòng)過程示意圖如圖4所示，因而可知小球A落地瞬間小球B速度為0，這就說明小球B做減速運(yùn)動(dòng)。而小球B做減速運(yùn)動(dòng)是由于桿的約束作用為其提供向左的水平分力，進(jìn)而說明小球A受到的桿拉力的水平分力方向向右，小球A受力示意圖如圖5所示，這樣小球A在水平方向合力就不可能為0，從而產(chǎn)生悖論。

通過以上的邏輯分析可以得出該題必存在小球A脫離墻壁的現(xiàn)象，并且進(jìn)一步得出當(dāng)小球A脫離墻壁的瞬間，桿對(duì)小球A、B均無作用力。

3.2求小球A脫離墻壁的臨界點(diǎn)的三種方法

設(shè)輕桿與墻壁的初始夾角為θ0 ，在小球A下滑一段距離后，桿與墻壁的夾角為θ，小球A速度大小為vA，小球B速度大小為vB ，兩小球質(zhì)量均為m，兩球繞質(zhì)心（中點(diǎn)）做圓周運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)的角速度均為ω，桿長為L。

3.2.1方法1

由速度分解可得

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律可得

由于小球A脫離墻壁瞬間，桿對(duì)兩球均無作用力，即此時(shí)小球B瞬時(shí)加速度為0，小球A瞬時(shí)加速度為g，小球A脫離墻壁瞬間，小球A、小球B的運(yùn)動(dòng)示意圖如圖6所示。

3.2.2方法2

由動(dòng)量定理可知，在小球A脫離墻壁前，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量增加的原因是墻壁彈力對(duì)系統(tǒng)有沖量，而增加的動(dòng)量都在小球B上。當(dāng)小球A脫離墻壁后，墻壁不再提供水平彈力，故系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，小球A的水平速度必然增加，小球B的速度就要減小。由此可得小球A脫離墻壁瞬間小球B的水平速度達(dá)到最大值。

由方法1中的式①②，可得

對(duì)式⑥令p＝cosθ，則根號(hào)內(nèi)變?yōu)?/p>

對(duì)其求導(dǎo)得

3.2.3方法3

小球A脫離墻壁前，由幾何知識(shí)，桿的中點(diǎn)（質(zhì)心）與墻角的距離為定值，可以說明質(zhì)心在做圓周運(yùn)動(dòng)，兩小球又同時(shí)繞質(zhì)心做角速度為ω的變速圓周運(yùn)動(dòng)；小球A脫離墻壁后，系統(tǒng)水平方向不受力，質(zhì)心在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做加速運(yùn)動(dòng)，兩球仍然繞質(zhì)心做變速圓周運(yùn)動(dòng)。

由于輕桿和球的體積均可忽略，故以墻角為坐標(biāo)原點(diǎn)，小球A脫離墻壁前質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)示意圖如圖7所示。若小球A未脫離墻壁，系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)

可見系統(tǒng)質(zhì)心在小球A脫離墻壁前做圓周運(yùn)動(dòng)，其水平和豎直方向的分速度分別為

由機(jī)械能守恒及柯尼希定理（質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能和各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)所具有的動(dòng)能之和）［1］，可得

聯(lián)立式B12B13，可得

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知，質(zhì)心水平動(dòng)量增加的原因是系統(tǒng)受到水平外力（墻壁對(duì)小球A的作用力）作用，當(dāng)小球A脫離墻壁后，質(zhì)心水平動(dòng)量達(dá)到最大且不變。

聯(lián)立式B11B14可得

同方法2對(duì)式B15括號(hào)中式子換元并求導(dǎo)，可得當(dāng)

三種方法均得到相同結(jié)論，即cosθ＝23cosθ0，這說明只要墻壁和地面是光滑的，該系統(tǒng)由靜止釋放后總能使沿墻下滑的小球在某個(gè)角度脫離墻壁。當(dāng)初始角度為0°時(shí)，微擾后下滑的脫離角度的余弦值為cosθ＝23≈0.667，該結(jié)果與Working Model仿真模擬的結(jié)果很接近，不完全相等的原因是仿真模擬時(shí)為了使系統(tǒng)能運(yùn)動(dòng)，已經(jīng)為θ0賦予了一個(gè)不為0的極小值。理論分析的結(jié)果說明小球A下滑13L后就已經(jīng)脫離墻壁，再一次證明題設(shè)是錯(cuò)誤的。［2］由此可見，命題者在命題之前，需要詳盡分析研究的問題，注重命題的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，避免出現(xiàn)與事實(shí)不符的情況。

3.3求小球A脫離墻壁后兩球的運(yùn)動(dòng)速度

此后，質(zhì)心在水平方向上動(dòng)量保持不變，設(shè)桿與豎直方向的夾角為α，小球A脫離墻壁后質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)示意圖如圖8所示。

由式B16可得，當(dāng)初始角度為0°時(shí)，小球A脫離墻壁時(shí)桿的質(zhì)心速度

4結(jié)語

以上模擬實(shí)驗(yàn)和理論分析結(jié)果與題目提供的選項(xiàng)答案相距甚遠(yuǎn)，可見出題者并沒有意識(shí)到小球A脫離墻壁的問題，從而也就未設(shè)置這樣的選項(xiàng)。而以上求解過程，特別是小球A脫離墻壁后兩球的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于普通高中生來說顯然難度頗大，可作為競賽參考。

參考文獻(xiàn)

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