文章編號1000-5269（2024）05-0084-11 DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2024.05.12

摘要：高溫超導釘扎磁懸浮列車的懸浮架系統(tǒng)自由振動特性會影響乘客的安全性和舒適性，對其研究十分重要。通過實驗裝置采集高溫超導塊組合和永磁軌道間的懸浮數(shù)據(jù)，得到懸浮力的經(jīng)驗公式，基于經(jīng)驗公式建立懸浮架系統(tǒng)垂向振動的動力學模型；利用多尺度法推導并驗證懸浮架系統(tǒng)的懸浮間隙響應的近似解；基于懸浮間隙近似解得到了最大超調量和最大加速度的表達式，研究單位質量阻尼和單位質量剛度對最大超調量和最大加速度的影響，基于磁懸浮標準中的衰減性和舒適性兩個動力學指標提出了一種確定系統(tǒng)參數(shù)可行域的方法。研究表明單位質量阻尼應小于19.6s-1，單位質量剛度應小于139s-2，且系統(tǒng)參數(shù)的可行域近似為扇形。本文的研究結果為懸浮架系統(tǒng)的參數(shù)設計提供了理論支撐。

關鍵詞：懸浮架系統(tǒng)；懸浮力；多尺度法；近似解；系統(tǒng)參數(shù)可行域 中圖分類號：U237 文獻標志碼：A

磁懸浮列車與傳統(tǒng)的輪軌式列車相比，具有爬坡能力強、振動小，平穩(wěn)舒適、污染?。?］等顯著的優(yōu)點，符合當今綠色發(fā)展的理念。除德國的電磁懸浮列車和日本的電動磁懸浮列車［2］以外，我國具有完全自主知識產(chǎn)權的高溫超導釘扎磁懸浮列車（簡稱“高溫超導磁懸浮列車”）引起了國內外的廣泛關注。高溫超導磁懸浮列車利用了高溫超導體的磁通釘扎效應，即當利用液氮冷卻高溫超導體時，永磁軌道的部分磁場被高溫超導體的釘扎點捕獲固定，這時捕獲磁場和永磁軌道磁場相互作用產(chǎn)生宏觀的懸浮力，使高溫超導體穩(wěn)定懸浮在永磁軌道的上方［3］。然而高溫超導釘扎磁懸浮列車在高速運行時因軌道變形、軌道不平順或空氣阻力等因素引起懸浮架系統(tǒng)發(fā)生振動，進而改變懸浮架本體和永磁軌道之間的懸浮間隙。由于懸浮間隙能否快速回復到平衡位置會影響乘客的安全性和舒適性，因此研究高溫超導釘扎磁懸浮列車的懸浮架系統(tǒng)參數(shù)對列車振動特性的影響十分重要。

近年來，國內外眾多學者對高溫超導釘扎磁懸浮的靜態(tài)和動態(tài)特性進行了研究。上世紀80年代，HELLMAN［4-5］等研究并發(fā)現(xiàn)了高溫超導體塊材和永磁鐵之間存在著磁懸浮現(xiàn)象。COOMBS［6-7］等對高溫超導體在軸對稱磁場中的行為進行研究，提出了引發(fā)系統(tǒng)共振的臨界模型。TESHIMA［8-9］等搭建了實驗臺，研究得到了磁懸浮固有頻率的變化規(guī)律。HIKIHARA［10-11］等研究得到了高溫超導懸浮系統(tǒng)準周期振動下的分形和混沌等行為。王曉融［12］研究了高溫超導體在永磁軌道上所受的導向力，得到了YBCO塊材的參數(shù)對懸浮系統(tǒng)導向能力的影響。MOON等［13］通過研究永磁體與超導陶瓷材料之間的磁力，發(fā)現(xiàn)了磁力隨懸浮間隙的變化時具有明顯滯回行為。勾艷鳳［14］研究了不同場冷高度下高溫超導磁懸浮樣車的自由振動，得到了不同條件下樣車垂向與橫向固有頻率的變化規(guī)律。肖玲等［15］研究了高溫超導體和磁體的尺寸對懸浮力的影響，得到了最大懸浮力隨永磁體直徑的增大先增大后減小，當永磁體直徑和超導塊直徑相同時達到最大。DENG等［16］通過分析高溫超導磁懸浮列車的自由振動特性，研究得到了剛度隨場冷高度的增大而減小，而阻尼系數(shù)與場冷高度的關系比較復雜的結論。LIU等［17］研究了捕獲磁場對懸浮力的影響，結果表明高溫超導體捕獲磁場越大，懸浮力也越大。張興義等［18］基于高溫超導塊材時效和記憶特性的試驗，發(fā)現(xiàn)了在零場冷懸浮力的隨機現(xiàn)象以及場冷條件下懸浮力呈現(xiàn)逐漸增大的現(xiàn)象。胡博等［19］針對永磁圓盤軌道沉降問題搭建了高溫超導磁懸浮動態(tài)測控系統(tǒng)，對測控系統(tǒng)的硬件架構、軟件架構和控制算法進行了研究。李剛等［20］研究了YBCO堆疊磁體磁懸浮系統(tǒng)中的傳遞效率與基振加速度幅值和基振頻率的關系，研究表明自由振動頻率在9Hz左右。楊文姣等［21］基于三維電磁-熱-力多物理場強耦合模型提出了研究高溫超導磁懸浮振動特性的模擬方法。任曉晨等［22］研究了高溫超導磁懸浮裝置空間磁場交變及不均勻性擾動會引發(fā)超導塊材內部損耗的問題。陳楠等［23］為提高高溫超導磁懸浮實驗車的載重，提出了一種高溫超導-永磁混合懸浮車系統(tǒng)概念及理論設計方法。ZHANG等［24］對高溫超導磁懸浮列車的準靜力學進行研究，并利用多體動力學軟件UM仿真分析了列車在直線運行的性能。張明亮等［25］研究了面向高溫超導磁懸浮列車的懸浮特性，提出了一種等效處理高溫超導體的方法，并通過實驗進行了驗證。

綜上所述，盡管目前不同專家學者對高溫超導磁懸浮列車的靜態(tài)和動力學性能及振動特性進行了研究，但在自由振動下的演化行為涉及較少。本文建立懸浮架系統(tǒng)的垂向動力學模型，對懸浮力和懸浮間隙的磁軌關系進行擬合，利用多尺度法求解非線性動力學方程，分析懸浮架系統(tǒng)在自由振動下的動態(tài)響應特性，提出了一種判斷系統(tǒng)參數(shù)可行域的方法，基于磁懸浮標準中的衰減性和舒適性動力學指標得到了懸浮架系統(tǒng)參數(shù)的許用范圍。

1懸浮力經(jīng)驗公式的獲得

本文采用的懸浮力實驗裝置，如圖1所示，實驗裝置工作原理示意圖如圖2所示。

實驗裝置主要由位移傳感器、壓力傳感器、電機、低溫容器、高溫超導塊組合和永磁軌道組成。其中，位移傳感器安裝在電機上，通過電機的轉速和絲桿螺母的螺距，可以得到上下移動的距離；低溫容器固定連接在電機轉軸的端部，可以通過電機帶動上下運動（見虛線雙向箭頭）；高溫超導塊組合固定在低溫容器中；壓力傳感器安裝在永磁軌道固定板和機座底板之間，通過永磁軌道受到的壓力反映懸浮力的大小。實驗測試的基本步驟：利用電機旋轉絲桿螺母機構產(chǎn)生的直線運動移動低溫容器，使高溫超導塊組合接近永磁軌道，保持兩者之間的距離不變，即設定場冷高度hch；然后將液氮倒入到低溫容器中，使高溫超導塊組合在永磁軌道的磁場下冷卻進入超導態(tài)（即場冷）；高溫超導塊組合在電機的帶動下向上移動，位移傳感器測量獲得向上移動的懸浮間隙，壓力傳感器測量獲得懸浮力。

利用上述實驗裝置，測量在場冷高度25mm時單個高溫超導塊組合和永磁軌道的懸浮力。將懸浮力看作變剛度的彈簧，以二次多項式進行擬合得到經(jīng)驗公式，得到實驗數(shù)據(jù)和經(jīng)驗公式的對比關系，如圖3所示。

由圖3可知，懸浮力隨著懸浮距離的增大而增大，且實驗數(shù)據(jù)和擬合經(jīng)驗公式對比較好，由此驗證二次多項式擬合的經(jīng)驗公式的有效性。

本文中懸浮架系統(tǒng)的懸浮力由高溫超導塊組合和永磁軌道提供。假定需要承載100kg，則懸浮架本體左右兩側各安裝200組高溫超導塊組合與永磁軌道配合，則將上述測量的單個高溫超導塊組合與永磁軌道的懸浮力乘以400倍即可得到懸浮架系統(tǒng)的懸浮力。在懸浮架系統(tǒng)中垂直方向上除了受向上的懸浮力影響還受到向下重力的影響，將懸浮架系統(tǒng)的懸浮力和重力看作合力，得到

Fsumz=FZ－mg=k2zz2+k1zz+c0－mg（1）

式中：Fsum為懸浮力和重力的合力；k1z為線性剛度系數(shù)；z為高溫超導塊組合和永磁軌道的懸浮間隙；k2z為非線性剛度系數(shù)；c0為常數(shù)項；m為懸浮架本體的質量；g為重力加速度。

由于合力的平衡位置對應的懸浮間隙zeq不等于0，為了后續(xù)分析方便，需根據(jù)坐標平移原理將平衡點移到原點O處。

令z=u+zeq，將其代入式（1）中整理變形可得

Fsum=k1u+k2u2（2）

式中：k1為平移后系統(tǒng)的線性剛度系數(shù)；k2為平移后系統(tǒng)的非線性剛度系數(shù)；u為距離平衡位置的偏移間距。

由式（2）可以得到懸浮力和重力的合力Fsum與偏移間距的擬合關系，如圖4所示。

由圖4可知，當偏移間距小于0時，合力小于0，表現(xiàn)為懸浮架本體上的高溫超導塊組合阻止靠近永磁軌道；當偏移間距大于0時，即合力大于0，表現(xiàn)為懸浮架本體上的高溫超導塊組合阻止遠離永磁軌道。

將不同場冷高度下合力和偏移間距進行擬合，得到線性剛度k1和非線性剛度k2，見表1。

由表1可知，線性剛度k1大于0，非線性剛度k2小于0；線性剛度k1隨著場冷高度的增大而減小，而非線性剛度k2的大小隨著場冷高度的增大而減小。

2高溫超導釘扎磁懸浮列車懸浮架系統(tǒng)的動力學建模

高溫超導磁懸浮列車主要組成部分，如圖5所示。

由圖6可以得到懸浮間隙可表示為

z=z1－z0（3）

忽略軌道不平順的影響，則z0等于0。由此可得

z=z1（4）

根據(jù)偏移原理（式（2）），以zeq為坐標原點，向上為正方向，基于達朗貝爾原理建立懸浮架系統(tǒng)的垂向動力學模型，整理變形可得

m+k1u=－k2u2－c（5）

3動力學模型近似解推導

懸浮架系統(tǒng)的動力學模型式（5）是一個強非線性的系統(tǒng)，為了利用經(jīng)典近似解求解方法，需要根據(jù)無量綱化方法將其處理轉化成弱非線性形式。

根據(jù)尺度變換，選取合適的長度尺度和時間尺度，將有量綱的長度u和時間t轉換為無量綱的u-和t-，令u=pu-t=qt-，則

u·=dudt=pqu-·=ddtdudt=pq2u-¨（6）

式中：p為長度尺度；q為時間尺度。

將u·，代入得到式（5）中，易得到

pmq2u-¨+pk1u-=－k2p2u-2－cpqu-·（7）

將式（7）整理變形得到如下的表達式：

u-¨+ω02u-=-ε（ω02u-2+μu-·）（8）

為了能夠利用多尺度法求解上述弱非線性微分方程，則式（8）的非線性項必須為小量，則

ω02=q2k1m;ε=k2pk1=ο;μ=ck1qmk2p=Ο

經(jīng)過上述變形，在ε和μ滿足上述約束下可以將強非線性系統(tǒng)等價轉換成弱非線性系統(tǒng)，接下來利用經(jīng)典近似解方法對等價變形的微分方程式（8）進行求解。由于多尺度法廣泛用于求解弱非線性系統(tǒng)，故本文采用該方法對式（8）求解。

令T0=t-T1=εt-，并定義偏導數(shù)算子，具體計算公式如下：

ddt-=∑+∞0dTrdt-Tr=∑+∞0εrDrd2dt-2=∑+∞0εrDr（∑+∞s=0εsDs）=D20+2εD0D1+ε2（D21+2D0D2）+···（9）

根據(jù)多尺度法，式（8）的解的一般表達式為

u-（t-）=u-0（T0，T1···）+εu-1（T0，T1···）+

ε2u-2（T0，T1···）+···（10）

將式（9）與式（10）代入式（8），對比ε同次冪系數(shù)得到線性偏微分方程

D20u-0+ω20u-0=0（11a）

D02u-1+ω02u-1=－2D0D1u-0－（ω02u-20+μD0u-0）（11b）

根據(jù)線性方程求解，易得式（11a）解的形式為

u0=eiT0w0A（T1）+e－iT0w0B（T1）（12）

其中，B（T1）是A（T1）的共軛部分，將式（12）代入式（11b）中，為消除永年項，整理變形得到

A′（T1）=-μA（T1）2B′（T1）=-μB（T1）2（13）

為方便求解，將其寫成指數(shù)的形式如下：

A（T1）=a（T1）eiw0φ（T1）2B（T1）=a（T1）e－iw0φ（T1）2（14）

將式（14）求導代入式（13），然后分離虛實部，整理求得

a′（T1）=－12μa（T1）φ′（T1）=0（15）

取通用的初始條件

u-0（0）=a0u-·0（0）=0（16）

根據(jù)式（12）的通用形式，求解整理可得

u-0（t-）=－a04ω02+ε2μ22ω0×e－12εμt-cos（ω0t-+arccos－2ω04ω02+ε2μ2）（17）

將長度尺度p和時間尺度q代入式（17），并由坐標平移逆變換z=u+zeq，可得懸浮架系統(tǒng)的懸浮間隙的一次近似解表達式如下：

z（t）=－εk2a04mk12+k1c22m×e－ct2mcos（k1mt+arccos－2mk14mk1+c2）+zeq（18）

4懸浮架系統(tǒng)的動態(tài)響應特性分析和討論

4.1近似解的驗證

本文通過數(shù)值求解的方式驗證近似解表達式的正確性。在數(shù)值求解過程中，令阻尼c=50N·s/m，小量ε=-0.1。利用近似解與數(shù)值解分別得到的懸浮架系統(tǒng)懸浮間隙的位移響應和速度響應，對比結果如圖7所示。

由圖7可知，位移和速度響應曲線都呈現(xiàn)振蕩衰減趨勢，且解析解和數(shù)值解吻合得很好，從而驗證解析解的正確性，因此可利用解析解表達式研究懸浮架系統(tǒng)的振動行為。

4.2系統(tǒng)參數(shù)對振動特性的影響和可行域分析

4.2.1系統(tǒng)參數(shù)定義

為了研究方便，將阻尼除以質量，即得到單位質量的阻尼（簡稱單位質量阻尼）：

αcm=cm（19）

將線性剛度除以質量，即得到單位質量的剛度（簡稱單位質量剛度）：

αk1m=k1m（20）

將系統(tǒng)參數(shù)規(guī)定為單位質量阻尼和單位質量剛度，為研究系統(tǒng)參數(shù)對振動特性的影響并確定系統(tǒng)參數(shù)的可行域做準備。

4.2.2安全性指標

為了保證磁懸浮列車的安全運行，懸浮架系統(tǒng)的懸浮間隙需要滿足磁懸浮標準中的動力學指標，即限定在一定范圍內，可得

z（0）－zeq≤zstr（21）

式中：zstr為偏離平衡位置允許的最大振動幅值。

設初始時刻的位置達到最大振動幅值，由式（21）可得

εa0=k2zstrk1（22）

4.2.3衰減性指標

為了滿足快速衰減的性能，規(guī)定在懸浮架系統(tǒng)第一次達到峰值偏離平衡位置的差值，即為最大超調量，需衰減到允許最大振幅的η（0<η<1）倍，這時需確定達到峰值的時間tp，由式（18）易得

cos（k1mtp+arccos－2mk14mk1+c2）=－1（23）

可得

tp=π－arccos－2mk14mk1+c2mk1（24）

由此將式（22）代入式（18），同時根據(jù)式（19）和（20）整理可得

zM=z（tp）－zeq=zstr4αk1m2+αk1mαcm22αk1m×e－αcm2αk1mπ－arccos－2αk1m4αk1m+αcm2（25）

根據(jù)式（25，由衰減性指標整理可得

f（αk1m，αcm）=4αk1m2+αk1mαcm2×

e－αcm2αk1mπ－arccos－2αk1m4αk1m+αcm2－2αk1mη≤0（26）

4.2.4舒適性指標

為了保證乘客的舒適性，磁懸浮列車的加速度需滿足人體的承受能力，則懸浮架系統(tǒng)上的加速度需要限定在特定的范圍內。由式（20）可以2次求導，并根據(jù)三角函數(shù)和公式，整理可得加速度表達式：

a（t）=－εa0（4mk12+k1c2）[16mc2k1+（c2－4mk1）2]8k2m2me－ct2m×

cosk1mt+arccos－2mk14mk1+c2－arccosc2－4mk116mc2k1+（c2－4mk1）2

（27）

則

a（t）≤－εa0（4mk12+k1c2）[16mc2k1+（c2－4mk1）2]8k2m2m

（28）

規(guī)定式（28）的上限為最大加速度amax，根據(jù)式（19）和（20）和（22）可得

amax=zstr（αcm2+4αk1m）4αk1m2+αk1mαcm28αk1m（29）

由于乘客乘坐的舒適性，要求最大加速度不應超過允許最大加速度amaxstr，則根據(jù)式（29）可得到磁懸浮列車系統(tǒng)參數(shù)應該滿足

gαk1m，αcm=zstr（αcm2+4αk1m）×

4αk1m2+αk1mαcm2－8αk1mamaxstr≤0（30）

4.2.5分析和討論

由式（25）可知，最大超調量受單位質量阻尼和單位質量剛度的影響，呈現(xiàn)非線性的關系。根據(jù)高溫超導磁懸浮列車的懸浮架本體和鐵軌之間的懸浮高度為10mm左右，兩者間的距離偏離平衡位置的最大振幅為5mm；而高溫超導磁懸浮列車的懸浮架本體和永磁軌道之間的懸浮高度為20mm左右，根據(jù)同樣比例限值規(guī)定，后者的距離偏離平衡的最大振幅確定為10mm。由式（25）可得最大超調量與系統(tǒng)參數(shù)的關系，如圖8所示。

由圖8中（a）和（b）可知，最大超調量隨單位質量阻尼的增大而減小，隨單位質量剛度的增大而增大；由圖8（c）可知，隨單位質量阻尼的增大，最大超調量減小程度越來越快，且單位質量剛度越小，減小速度更快；由圖8（d）可知，曲線整體呈上凸趨勢，且隨單位質量剛度的增大，最大超調量增大程度逐漸變慢，且單位質量阻尼越大，增大速度越來越慢。綜上所述，單位質量阻尼是影響最大超調量的重要因素，次要因素是單位質量剛度。為了限制最大超調量，單位質量阻尼應取較大值，單位質量剛度應取較小值。

由式（26）可根據(jù)衰減性能指標得到單位質量阻尼和單位質量剛度需滿足的可行域，根據(jù)式（26）中f（αcm，αk1m）的表達式，假定η等于0.8，得到滿足衰減性能指標的范圍，如圖9所示。圖9（a）中的彩色曲面在0橫截面以上對應的系統(tǒng)參數(shù)均不滿足衰減性能的標準，圖9（b）和（c）中可觀察到0標準線的位置，標準線以下為系統(tǒng)參數(shù)可行域，如圖9（b）中淺綠色區(qū)域所示。

由式（29）可知，最大加速度受單位質量剛度和單位質量阻尼的影響，呈現(xiàn)出非線性的關系，由式（29）可得最大加速度與系統(tǒng)參數(shù)的關系，如圖10所示。

由圖10（a）和（b）可知，最大加速度隨單位質量阻尼的增大而增大，隨單位質量剛度先減小后逐漸增大；并且單位質量阻尼對其影響更顯著；由圖10（c）知，曲線整體呈下凹的趨勢，表明隨單位質量阻尼的增大，最大加速度增大程度越來越快；由圖10（d）可知，在不同的單位質量阻尼下，單位質量剛度的變化趨勢不同；單位質量阻尼較小時，最大加速度隨單位質量剛度的增大而增大；單位質量阻尼較大時，隨單位質量剛度的增大，最大加速度一開始呈明顯的下降趨勢，后逐漸增大，但增大趨勢較緩慢。綜上所述，影響最大加速度的重要因素是單位質量阻尼，其次是單位質量剛度。為了滿足舒適性指標，限制最大加速度的大小，單位質量阻尼和單位質量剛度應取較小值。

由式（30）可根據(jù)舒適性指標得到單位質量阻尼和單位質量剛度需滿足的可行域，根據(jù)式（30）中g（αcm，αk1m）的表達式，根據(jù)磁懸浮列車標準中的動力學指標，假定懸浮架系統(tǒng)上允許最大加速度等于2.5m/s2，得到滿足舒適加速度的范圍，如圖11所示。圖11（a）中的彩色曲面在0橫截面以上對應的系統(tǒng)參數(shù)均不滿足舒適加速度的標準，圖11（b）和（c）中可觀察到0標準線的位置，標準線以下為系統(tǒng)參數(shù)可行域，如圖11（b）中黃色區(qū)域所示。

由圖11可知，當單位質量阻尼較大時或單位質量剛度較大時，系統(tǒng)容易不滿足最大加速度舒適性的許用標準。系統(tǒng)需要有合適的單位質量剛度和單位質量阻尼才能滿足舒適性指標，由圖11（b）和（c）可觀察到系統(tǒng)參數(shù)的可行范圍呈現(xiàn)近似的子彈頭區(qū)域，要想滿足舒適性指標，必須在可行域內部，即0標準線的左側。為滿足舒適性指標，單位質量阻尼和單位質量剛度不宜取太大。

根據(jù)衰減性和舒適性兩個指標得到系統(tǒng)參數(shù)需滿足公共的可行域，使磁懸浮列車具有更好的動態(tài)性能。根據(jù)式（26）和式（30）中f（αcm，αk1m）和g（αcm，αk1m）均小于0，可得系統(tǒng)參數(shù)需滿足的公共可行域，如圖12所示。

由圖12可觀察到兩個0標準線中間底部藍色陰影區(qū)域的交集即系統(tǒng)公共的可行域，經(jīng)計算可得到三個交點（9.8，50），（19.6，50），（16.3，139），當單位質量剛度和單位質量阻尼過大時，系統(tǒng)一定不

滿足兩個標準。需要注意的是當單位質量阻尼小于19.6s-1，但是單位質量剛度參數(shù)不合適時，也有可能不符合兩個指標；同理，當單位質量剛度小于139s-2，但是單位質量阻尼參數(shù)不合適時，也有可能不符合兩個指標，系統(tǒng)參數(shù)可行域近似為扇形區(qū)域，在參數(shù)設計時需要在陰影區(qū)域取值。

5結論

本文建立了高溫超導釘扎磁懸浮列車的懸浮架系統(tǒng)的動力學微分方程，基于解析解分析了懸浮架系統(tǒng)自由振動運行規(guī)律，研究了系統(tǒng)參數(shù)對懸浮架系統(tǒng)最大超調量和最大加速度的影響，基于磁懸浮列車標準中的動力學指標提出了一種確定系統(tǒng)參數(shù)可行域的方法。主要結論如下：

1）利用多尺度法得到了懸浮架系統(tǒng)懸浮間隙解析解表達式，通過數(shù)值仿真的方式驗證解析解的正確性。

2）利用解析解得到了系統(tǒng)的最大超調量和最大加速度解析形式，研究得到了最大超調量隨單位質量阻尼的增大而減小，隨單位質量剛度的增大而增大；最大加速度隨單位質量阻尼的增大而增大，隨單位質量剛度的增大先減小后增大，同時得到兩者的重要影響因素均是單位質量阻尼，單位質量阻尼宜取小值，單位質量剛度宜取小值。

3）根據(jù)磁懸浮衰減性和舒適性兩個動力性指標得到系統(tǒng)參數(shù)需滿足的可行域，當單位質量阻尼大于19.6s-1或單位質量剛度大于139s-2時，系統(tǒng)一定不滿足兩個指標；更為重要的是研究表明可行域近似為扇形區(qū)域。

本文揭示了懸浮架系統(tǒng)在自由振動下的運動演化行為，為懸浮架系統(tǒng)的參數(shù)設計提供了理論指導。

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（責任編輯：于慧梅）

Abstract：

Thefreevibrationcharacteristicsofthesuspensionsystemofhightemperaturesuperconductingpinnedmaglevtrainswillaffectthesafetyandcomfortofpassengers，thusitisofgreatimportancetostudythefreevibrationofthesuspensionsystem.Thelevitationforcedatabetweenthehightemperaturesuperconductorscombinationandthepermanentmagnetguidewayiscollectedbytheexperimentaldevice，andtheempiricalformulaofthelevitationforceisobtained.Theverticalvibrationdynamicmodelofthesuspensionsystemisestablishedbasedontheempiricalformula.Themulti-scalemethodisusedtoderivetheapproximatesolutionofsuspensiongapresponse，andthecorrectnessoftheapproximatesolutionisverified.Basedonthesuspensiongapapproximationsolution，theexpressionsofmaximumovershootandmaximumaccelerationofthesystemarederived，andtheinfluenceofdampingpermassandstiffnesspermassofsystemparametersonmaximumovershootandmaximumaccelerationisstudied.Accordingtothetwodynamicindexesofattenuationandcomfortofmaglevstandard，amethodtodeterminethefeasibleregionofsystemparametersisproposed.Theresultsshowthatthedampingpermassshouldbelessthan19.6s-1，thestiffnesspermassshouldbelessthan139s-2，andthefeasiblerangeofsystemparametersshouldbeapproximatelysector-shaped.Theaimofthismanuscriptistoprovidethetheoreticalsupportfortheparameterdesignofthesuspensionsystem.

Keywords：

suspensionframesystem;levitationforce;multi-scalemethod;approximationsolution;feasibleregionofsystemparameters

收稿日期：2024-02-26

基金項目：河北省高等學校科學技術研究資助項目（ZD2022064）；國家自然科學基金青年資助項目（52205064）；河北省自然科學基金青年資助項目（E2021210065）；光電技術與智能控制教育部重點實驗室（蘭州交通大學）開放課題資助項目（KFKT2020-7）；牽引動力國家重點實驗室（西南交通大學）開放課題資助項目（TPL2010）

作者簡介：張明亮（1984—），男，副教授，博士，研究方向：機械系統(tǒng)動力學和磁懸浮技術，E-mail：zmlhit@126.com.

*通訊作者：張明亮，E-mail：zmlhit@126.com.