我們?cè)谄吣昙?jí)時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)軸的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，有了在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中求線段長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于一元二次方程的“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”，通常呈現(xiàn)以下五種類型：線段長(zhǎng)度間的數(shù)量關(guān)系，線段間的位置關(guān)系，圖形的面積，特殊三角形的形狀，角度之間的數(shù)量關(guān)系。這幾種類型問(wèn)題的解決都可以轉(zhuǎn)化為探究線段長(zhǎng)度間的數(shù)量關(guān)系。

例 如圖1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿邊AB從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊DA從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)。如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6）。

圖1

類型一：線段長(zhǎng)度間的數(shù)量關(guān)系

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ=6cm？

（2）P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ是否有最小值？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ=PB？

【分析】以上三個(gè)問(wèn)題直接考查線段長(zhǎng)度間的數(shù)量關(guān)系，突破點(diǎn)在于求PQ的大小。通過(guò)觀察，我們能發(fā)現(xiàn)PQ是Rt△APQ的斜邊，再通過(guò)勾股定理，可以得出三條線段間的數(shù)量關(guān)系。

解：（1）由題意可知DQ=tcm，AP=2tcm，則AQ=（6-t）cm。

在Rt△APQ中，∠A=90°，

∴AQ2+AP2=PQ2，即（6-t）2+（2t）2=62。

整理，得5t2-12t=0。

解得t1=0，t2=[125]。

∴當(dāng)t為0s或[125]s時(shí)，PQ=6cm。

（2）PQ2=AQ2+AP2=（6-t）2+（2t）2=5t2-12t+36=5（t-[65]）2+[1445]，

∴當(dāng)t=[65]時(shí)，PQ2最小值為[1445]。

所以PQ的最小值為[1255]cm。

（3）若PQ=PB，則PQ2=PB2，即（6-t）2+（2t）2=（12-2t）2。

整理，得t2+36t-108=0。

解得t1=12[3]-18，t2=-12[3]-18（舍）。

∴當(dāng)t=[123]-18時(shí)，PQ=PB。

類型二：線段間的位置關(guān)系

（4）是否存在t值，使PQ⊥PC。若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【分析】線段間的位置關(guān)系是通過(guò)角度來(lái)刻畫的。對(duì)于這類存在性的問(wèn)題，我們一般先假設(shè)情況存在。就本題來(lái)說(shuō)，假設(shè)存在PQ⊥PC的時(shí)刻，進(jìn)而將垂直的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的三邊關(guān)系，列出一元二次方程，再根據(jù)方程根的情況來(lái)判斷PQ⊥PC是否存在。

解：（4）假設(shè)PQ⊥PC，則△PQC是直角三角形。

在Rt△PQC中，∠QPC=90°，則PQ2+PC2=QC2，即（6-t）2+（2t）2+（12-2t）2+62=t2+122。整理，得2t2-15t+18=0。

解得t1=6，t2=[32]。

∴當(dāng)t為6s或[32]s時(shí)，PQ⊥PC。

類型三：三角形面積問(wèn)題

（5）當(dāng)S△PAQ=4cm2時(shí)，求t的值；

（6）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使得S△PQC=28cm2。若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【分析】我們可以先觀察，若此三角形能直接利用面積公式求解，便可直接帶入數(shù)據(jù)求解，比如問(wèn)題（5）；若此三角形不能直接利用面積公式求解，便要利用“割補(bǔ)法”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)面積的和差來(lái)求該圖形的面積，比如問(wèn)題（6）。

解：（5）由三角形面積公式可知[12]×2t×（6-t）=4。解得t1=3+[5]，t2=3-[5]。

∴當(dāng)t為（3+[5]）s或（3-[5]）s時(shí)，△PAQ的面積是4cm2。

（6）由題意可知S△PQC=S矩ABCD-S△PQA-S△PBC-S△DQC。

若在ts時(shí)△PQC面積等于28cm2，則△PQA、△PBC、△DQC的面積分別為[12]×2t×（6-t）、[12]×6×（12-2t）、[12]×12t，即6×12[-12]×2t（6-t）[-12]×6×（12-2t）[-12]×12t=28。

整理，得t2-6t+8=0。解得t1=2，t2=4。

∴當(dāng)t為2s或4s時(shí)，△PQC的面積是28cm2。

類型四：特殊三角形的形狀

（7）當(dāng)△PQC為直角三角形時(shí)，求t的值。

（8）當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值。

【分析】這兩個(gè)問(wèn)題都未明確具體元素的數(shù)量關(guān)系，因此需要分類討論。問(wèn)題（7）中需要討論△PQC中哪個(gè)角為直角，問(wèn)題（8）中需要討論△PQC中哪兩邊相等。下面就問(wèn)題（8）給出解題過(guò)程。

解：（8）①若PQ=QC，則PQ2=QC2，即（6-t）2+（2t）2=t2+122。

整理，得t2-3t-27=0。

解得t1=[3+3132]＞6（舍），

t2=[3-3132]＜0（舍）。

②若PQ=PC，則PQ2=PC2，即（6-t）2+（2t）2=（12-2t）2+62。

整理，得t2+36t-144=0。

解得t1=-18+6[13]，

t2=-18-6[13]＜0（舍）。

③若PC=QC，則PC2=QC2，即（12-2t）2+62=t2+122。

整理，得t2-16t+12=0。

解得t1=8+2[13]＞6（舍），

t2=8-2[13]。

綜上所述，當(dāng)t為（-18+6[13]）s或（8-2[13]）s時(shí)，△PQC為等腰三角形。

類型五：角度之間的數(shù)量關(guān)系

（9）是否存在t值，使∠CPQ=∠CQP？

（10）是否存在t值，使CP平分∠QCB？

【分析】當(dāng)題目條件是角度之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，要轉(zhuǎn)化成兩條線段長(zhǎng)度間的數(shù)量關(guān)系。問(wèn)題（9），要使∠CPQ=∠CQP，根據(jù)“等角對(duì)等邊”，轉(zhuǎn)化為CQ=CP來(lái)解答；問(wèn)題（10）中，要使CP平分∠QCB，根據(jù)“角平分線上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，轉(zhuǎn)化為兩條垂線段相等求解。下面給出問(wèn)題（10）的解答過(guò)程。

解：（10）假設(shè)存在t值，使CP平分∠QCB。如圖2，過(guò)點(diǎn)P向CQ作垂線，垂足為M。

圖2

由題意可知：CP平分∠QCB，PB⊥CB，PM⊥QC?！郟B=PM。

∵S△PQC=S矩ABCD-S△PQA-S△PBC-S△DQC=t2-6t+36，S△PQC=[12]×CQ×PM=[12]×[122+t2]×PM，∴PM=[2t2-12t+72144+t2]。

又∵PB=12-2t，

∴[2t2-12t+72144+t2]=12-2t。

左右兩邊同時(shí)平方，整理，得t2-18t+54=0。解得t1=9+3[3]＞6（舍），t2=9-3[3]。

∴當(dāng)t為（9-3[3]）s時(shí)，CP平分∠QCB。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)宿遷分校學(xué)院路校區(qū)）