一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、公式法以及因式分解法等。我們?cè)诮庖辉畏匠虝r(shí)，需要先仔細(xì)觀察方程，然后根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)特征，選擇最合適的解題路徑，最終快速、準(zhǔn)確地求解。

結(jié)構(gòu)一：（x+a）2=b型

（x+a）2=b是一元二次方程的一種特殊形式，這種形式的方程結(jié)構(gòu)是：左邊是一個(gè)完全平方項(xiàng)，右邊是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。解這種形式的方程可以直接利用開平方法，也可以移項(xiàng)后用因式分解法。如果左邊不具有這種結(jié)構(gòu)特征，我們可以利用等式性質(zhì)，對(duì)方程進(jìn)行變形，使其左邊變?yōu)橥耆椒绞?，從而解決問題。

例1 若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程（x+3）2=2c，則c的值為（ ）。

A.-3 B.0 C.3 D.9

【解析】移項(xiàng)，得x2+6x=-c。兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2+6x+9=-c+9，即（x+3）2=-c+9。又因?yàn)椋▁+3）2=2c，所以2c=-c+9。解得c=3。故選C。

例2 解方程：（x-1）2=9（2x+5）2。

【解析】本題等式左右兩邊都是完全平方式，符合直接開平方的結(jié)構(gòu)特征。直接開平方，得x-1=±3（2x+5），即x-1=3（2x+5）或x-1=-3（2x+5）。解得x1=[-165]，x2=-2。當(dāng)然本題也可以移項(xiàng)后利用因式分解法來求解，同學(xué)們可以試一試。

觀察（x+a）2=b，進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)b＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。（2）（x+a）2具有非負(fù)性，利用這個(gè)結(jié)構(gòu)的式子還可以解決一些最值問題。

結(jié)構(gòu)二：ax2+bx=0型

這個(gè)結(jié)構(gòu)的特殊性在于只有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為0。解這種結(jié)構(gòu)特征的方程，通常左邊提取公因式，再根據(jù)（ax+b）x=0，得ax+b=0或x=0（轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程），進(jìn)而求得方程的解。當(dāng)然，這里的x也可以是含未知數(shù)的代數(shù)式，這個(gè)時(shí)候我們就需要用整體思想來思考。

例3 解方程：（x-3）2=2x-6。

【解析】因?yàn)橛疫吙梢苑纸鉃?（x-3），所以我們可以把x-3視為整體，看作未知數(shù)。移項(xiàng)，原方程轉(zhuǎn)化為（x-3）2-2（x-3）=0。這樣，此方程就轉(zhuǎn)化為形如ax2+bx=0的結(jié)構(gòu)特征。提取公因式，得（x-3）（x-3-2）=0。所以x-3=0或x-5=0。解得x1=3，x2=5。

例4 小明在解一元二次方程時(shí)，是這樣做的：

解方程：x2-6x+5=0。

解：x2-5x-x+5=0。（第1步）

x2-5x=x-5。（第2步）

（x-5）x=x-5。（第3步）

∴x-5=0。（第4步）

∴x=5。（第5步）

（1）小明的解法從第 步到第 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（2）請(qǐng)給出正確的解答。

【解析】本題根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征，給出了一個(gè)新的解題方法，即拆項(xiàng)后再因式分解。不過，小明在從第3步到第4步的變形中，誤用了等式的性質(zhì)，從而導(dǎo)致方程丟根。正確的解答應(yīng)該是：移項(xiàng)，提取公因式，從而得到（x-5）（x-1）=0，即x-5=0或x-1=0。所以x1=5，x2=1。

結(jié)構(gòu)三：ax2+bx+c=0型

ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）是一元二次方程的一般形式，是一元二次方程的常態(tài)結(jié)構(gòu)。通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a、b、c確定時(shí)，方程的根就隨之確定。當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程的兩個(gè)根為x=[-b±b2-4ac2a]，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。 公式法是解一元二次方程的通用方法，但不一定是解方程最簡便的方法，我們還要仔細(xì)觀察、分析系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，再靈活解方程。

例5 解方程：2023x2+2025x+2=0。

【解析】本題中a、b、c的系數(shù)較大，若使用公式法求解，不僅計(jì)算量大，還很容易算錯(cuò)。仔細(xì)觀察a、b、c三個(gè)數(shù)存在2023-2025+2=0的關(guān)系，顯然令x=-1時(shí)，能使得這個(gè)關(guān)系成立。所以此方程必有一個(gè)根為-1。再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2=[22023]。所以x1=-1，x2=[-22023]。

選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋P(guān)鍵在于敏銳地捕捉此方程的結(jié)構(gòu)特征，在厘清結(jié)構(gòu)特征基礎(chǔ)上選擇對(duì)應(yīng)的方法。雖然直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程最便捷的方法，但此類方程必須滿足一定的結(jié)構(gòu)特征。當(dāng)方程沒有什么顯著特征時(shí)，一般還是使用公式法。而當(dāng)方程更復(fù)雜的時(shí)候，我們應(yīng)先將其整理成一般式，再選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉斫狻?/p>

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)宿遷分校學(xué)院路校區(qū)）