魏幗

（蘭州職業(yè)技術學院，甘肅蘭州730070）

多項式的最大公因式是高等代數(shù)多項式中的重要教學內(nèi)容，本文在一般數(shù)域上討論多項式的最大公因式，得出的結論適用范圍較廣。我們選擇的教學內(nèi)容包括：（1）公因式及最大公因式的定義；（2）最大公因式的性質(zhì)；（3）輾轉相除法求解兩個多項式的最大公因式；（4）相關題型的一題多解。

公因式、最大公因式：（1）若f（x），g（x），h（x）∈F［x］，且|f（x），h（x）|g（x），則稱h（x）為f（x）與g（x）的一個公因式。（2）若f（x），g（x），d（x）∈F［x］，且（Ⅰ）d（x）是f（x）與g（x）的一個公因式；（Ⅱ）f（x）與g（x）的每一個公因式都是d（x）的因式；則稱d（x）為f（x）與g（x）的一個最大公因式。

定理：F［x］對中任意兩個多項式f（x），g（x），則（1）f（x）與g（x）的最大公因式一定存在；（2）若d（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式，那么cd（x）（c是F中非零常數(shù)）也是f（x）與g（x）的最大公因式，且f（x）與g（x）也只有這樣的最大公因式。

由此知，（1）若f（x）=g（x）=0，則最大公因式為零多項式；（2）若f（x），g（x）不全為零，則最大公因式不等于零。記f（x），g（x）的首系數(shù)為1的最大公因式為（f（x），g（x）），則（f（x），g（x））唯一。

最大公因式的性質(zhì)：設f（x），g（x）∈F［x］，d（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式，則存在u（x），v（x）∈F［x］，使得f（x）u（x）+g（x）v（x）=d（x）。

輾轉相除法是求兩個多項式的最大公因式的一般方法，在每次作除法時用的是帶余除法。它的原理和一般實例可以參見《高等代數(shù)》，為了運算的簡化，我們可以用一個非零常數(shù)去乘被除式或者除式。這種方法不僅在輾轉相除法的開始可以用，而且在輾轉相除的過程中也可以用，對計算的結果并無影響。

例1：求f（x）與g（x）的最大公因式，其中f（x）=x4+x3－3x2－4x－1，g（x）=x3+x2－x－1

解：用輾轉相除法來求：

由于兩個多項式的最大公因式是這兩個多項式輾轉相除時最后不為零的余式，而在相除的一開始或中途，對除式或被除式乘以非零的常數(shù)，對余式來說僅是零次因式的差異，所以為了避免分數(shù)系數(shù)計算時的麻煩，允許對除式或被除式乘以非零常數(shù)。

此題可按如下進行：

所以（f（x），g（x））=x+1。

例2：證明：如果d（x）|f（x），d（x）|g（x）且d（x）是f（x）與g（x）的一個組合，那么d（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式。

證法1：設f（x）=d（x）f1（x），g（x）=d（x）g1（x），由假設d（x）=f（x）u（x）+g（x）v（x），（*）其中u（x），v（x）是F上的多項式。

（1）若d（x）=0，則f（x）=g（x）=0，結論正確。

（2）若d（x）≠0，從（*）式兩邊消去d（x），得f1（x）u（x）+g1（x）v（x）=1，即（f1（x），g1（x））=1。又由假設知d（x）是f（x），g（x）的公因式，因此d（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式。

證法2：因d（x）是f（x）與g（x）的一個組合，故存在u（x），v（x）使得d（x）=f（x）u（x）+g（x）v（x）。設h（x）是f（x）與g（x）的任一公因式，由上式知，h（x）|d（x），再由d（x）是f（x），g（x）的公因式的假設知，d（x）是f（x）與的一個最大公因式。

證法3：由題設知d（x）是f（x）與g（x）的一個公因式，設（f（x），g（x））=k（x），則d（x）|k（x）。又因d（x）是f（x）與g（x）的一個組合，所以k（x）|d（x），從而d（x）=ck（x），c為非零常數(shù)，于是d（x）也是f（x）與g（x）的一個最大公因式。

［1］張禾瑞，郝鈵新．高等代數(shù)［M］．北京：人民教育出版社，1979．

［2］張建初，王宗堯．高等代數(shù)課程體系和教學內(nèi)容改革研究——工科優(yōu)秀生理科訓練的嘗試［J］．化工高等教育，2003，（3）．