數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)解題思路的指路明燈. 在運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，用數(shù)學(xué)思想助力，則解題思路自明. 下面舉例來(lái)說(shuō)明.

一、整體思想

例1 關(guān)于x的一元二次方程x2 + bx + c = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b2 - 2（1 + 2c）等于（ ）.

A. -2 B. 2

C. -4 D. 4

分析：求值式即b2 - 4c - 2，由方程有相等實(shí)根，整體求出b2 - 4c的值即可.

解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2 + bx + c = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ = b2 - 4c = 0，∴b2 - 2（1 + 2c） = b2 - 4c - 2 = -2，故選A.

點(diǎn)評(píng)：這里要分別求出b和c的值是不可能的，而將b2 - 4c視為一個(gè)整體求值，問(wèn)題則迎刃而解.

二、轉(zhuǎn)化思想

例2 對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“?”為a?b = b2 - ab，例如：3?2 = 22 - 3 × 2 = -2，則關(guān)于x的方程（k - 3）?x = k - 1的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D. 無(wú)法確定

分析：將方程（k - 3）?x = k - 1轉(zhuǎn)化為常規(guī)運(yùn)算形式，再由根的判別式得出答案.

解：∵（k - 3）?x = k - 1，∴x2 - （k - 3）x = k - 1，∴x2 - （k - 3）x - k + 1 = 0.

∵Δ = ［-（k - 3）］2 - 4 × 1 × （-k + 1） = （k - 1）2 + 4 > 0，

∴關(guān)于x的方程（k - 3）?x = k - 1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義運(yùn)算的形式考查根的判別式和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清新規(guī)則，將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化為常規(guī)運(yùn)算來(lái)處理. 在判定含字母系數(shù)的代數(shù)式的性質(zhì)符號(hào)時(shí)，要用配方法將其轉(zhuǎn)化為“（ ）2”或“（ ）2 + 正數(shù)”或“-（ ）2”或“-（ ）2 - 正數(shù)”的形式，即可作出正確的判斷.

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3 若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x2 - 10x + m = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長(zhǎng)為（ ）.

A. [3] B. 2[3] C. [14] D. 2[14]

分析：設(shè)菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為a，b，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對(duì)角線與菱形面積的關(guān)系得出關(guān)于a，b的等式，再求出菱形的邊長(zhǎng).

解：設(shè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為a，b，由題意，得[a+b=10，ab=22，]

∴菱形的邊長(zhǎng) = [a22+b22] = [12a2+b2] = [12（a+b）2-2ab] = [12100-44] = [14]. 故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題也可先求出方程的兩實(shí)根（都含有二次根式），再用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，但較復(fù)雜. 這里對(duì)根據(jù)勾股定理得到的表達(dá)式進(jìn)行變形，與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，簡(jiǎn)潔明了.

四、模型思想

例4 若W = 5x2 - 4xy + y2 - 2y + 8x + 3（x，y為實(shí)數(shù)），則W的最小值為 .

分析：視W和y為常數(shù)，將已知式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程，由x為實(shí)數(shù)，利用根的判別式非負(fù)，借助配方即可得到答案.

解：由題意，得5x2 + （8 - 4y）x + （y2 - 2y + 3 - W） = 0.

∵x為實(shí)數(shù)，∴（8 - 4y）2 - 20（y2 - 2y + 3 - W） ≥ 0，

即5W ≥ （y + 3）2 - 10 ≥ -10，∴W ≥ -2，∴W的最小值為-2.

點(diǎn)評(píng)：這是求多字母代數(shù)式的最值問(wèn)題，一般思路是運(yùn)用配方法及偶次冪的非負(fù)性來(lái)處理，但需經(jīng)過(guò)多次拆項(xiàng)配方才能得到結(jié)果，過(guò)程較復(fù)雜. 這里將已知式轉(zhuǎn)化為一元二次方程模型，運(yùn)用根的判別式為非負(fù)數(shù)得到不等式的思路則應(yīng)運(yùn)而生. 由于減少了一個(gè)字母，再利用配方法及偶次冪的非負(fù)性來(lái)確定最值就容易多了.

五、分類(lèi)思想

例5 已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2 + 3s - 1 = 0，2t2 + 3t - 1 = 0，求[1s-1t]的值.

分析：易知st ≠ 0. 從已知條件看，s與t之間有兩種情況：（1）s = t，此時(shí)易知答案為0；（2）s ≠ t，此時(shí)s，t是方程2x2 + 3x - 1 = 0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根. 待求值式是s，t的倒數(shù)差，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系即可得解.

解：（1）當(dāng)s = t時(shí)，[1s-1t] = 0.

（2）當(dāng)s ≠ t時(shí)，∵實(shí)數(shù)s，t滿足2s2 + 3s - 1 = 0，2t2 + 3t - 1 = 0，且s ≠ t，

∴s，t是方程2x2 + 3x - 1 = 0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴s + t = - [32]，st = - [12]，

∴（[t-s]）2 = （[t+s]）2 - [4st] [=94+2] [=174]，∴[t-s=172]或[-172].

當(dāng)[t-s=172]時(shí)，[1s-1t=t-sst=-17]；

當(dāng)[t-s=-172]時(shí)，[1s-1t=t-sst=17].

綜上可知，[1s-1t]的值為0或[17]或[-17].

點(diǎn)評(píng)：本題初看上去可求出s，t，再代入[1s-1t]求值，但十分復(fù)雜. 這里分s = t和s ≠ t兩種情況來(lái)思考求解. 當(dāng)s ≠ t時(shí)，從兩個(gè)已知等式和求值式的結(jié)構(gòu)出發(fā)，構(gòu)造出一元二次方程，進(jìn)而尋找到問(wèn)題的最佳解法.

拓展訓(xùn)練

1. 已知x = 1是一元二次方程x2 + ax + b = 0 的一個(gè)根，則a2 + 2ab + b2的值為 .

2. 已知a，b是方程x2 + 3x - 5 = 0的兩根，則a2 + 4a + b - 4 = .

3. 設(shè)α，β是方程（x + 1）（x - 4） = - 5的兩實(shí)數(shù)根，則[β3α+α3β] = .

4. 已知a，b是方程x2 - 3x - 5 = 0的兩根，則代數(shù)式2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1的值是（ ）.

A. -25 B. -24 C. 35 D. 36

5. 我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d有［a，b］*［c，d］ = ac - bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運(yùn)算，如：［3，2］*［5，1］ = 3 × 5 - 2 × 1 = 13. 已知關(guān)于x的方程［x，2x - 1］*［mx + 1，m］ = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

6. 如圖1，在長(zhǎng)為100 m，寬為50 m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花卉的種植面積是3600 m2，則小路的寬是（ ）.

A. 5 m B. 70 m C. 5 m或70 m D. 10 m

7. 如圖2，在△ABC中，∠ABC = 90°，BD為AC邊的中線，過(guò)點(diǎn)C作CE ⊥ BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在AF的延長(zhǎng)線上截取FG = BD，連接BG，DF. 若AG = 13，CF = 6，則四邊形BDFG的周長(zhǎng)為 .

8. 已知實(shí)數(shù)m，x滿足（mx1 - 2）（mx2 - 2） = 4.

（1）若m = [13]，x1 = 9，則x2 = ；

（2）若m，x1，x2為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x1，x2）有 個(gè).

9. 在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖3①和圖3②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式.

這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化.

[b] [b] [①] [a][a] [a] [b] [a] [b][②] [x + 2][x][x][x + 2] [x][x + 2][x + 2][x][③]

圖3

提出問(wèn)題：怎樣圖解一元二次方程x2 + 2x - 35 = 0（x > 0）？

幾何建模：

（1）變形：x（x + 2） = 35.

（2）畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x + 2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖3③.

（3）分析：圖中的大正方形的面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，分別是（x + x + 2）2和四個(gè)長(zhǎng)x + 2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形的面積，即（x + x + 2）2 = 4x（x + 2） + 22. 因?yàn)閤（x + 2） = 35，所以（x + x + 2）2 = 4 × 35 + 22，所以（2x + 2）2 = 144，又因?yàn)閤 > 0，所以x = 5.

歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x + b） = c（x > 0，b > 0，c > 0）的解.

要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）.

答案：1. 1 2. -2 3. 47 4. D 5. m ≤ [14]且m ≠ 0 6. A 7. 20

8. （1）18 （2）7

9. 幾何建模：（1）構(gòu)造長(zhǎng)為（x + b），寬為x的四個(gè)矩形，拼接方式如圖4.

（2）分析：圖中大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x + x + b）2或4個(gè)長(zhǎng)為（x + b），寬為x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為b的小正方形面積，即（x + x + b）2 = 4x（x + b） + b2，因?yàn)閤（x + b） = c，所以（x + x + b）2 = 4c + b2. 又因?yàn)閤，b，c > 0，所以x = [-b+b2+4c2].

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）