【摘要】本文通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的分析，闡述三角函數(shù)在解決這類(lèi)問(wèn)題中的應(yīng)用方法．詳細(xì)介紹構(gòu)建三角函數(shù)模型求解平衡中最值問(wèn)題的思路以及變式應(yīng)用．研究表明，三角函數(shù)在解決平衡中的最值問(wèn)題時(shí)具有重要的作用，能夠提供簡(jiǎn)潔、有效的解題思路．

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；高中物理；解題技巧

在物理學(xué)中，平衡問(wèn)題是一個(gè)常見(jiàn)且重要的研究領(lǐng)域．許多實(shí)際情況都涉及到物體在某種條件下的平衡狀態(tài)，而在這些平衡狀態(tài)中，往往需要求解相關(guān)物理量的最值．三角函數(shù)作為一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)發(fā)揮著關(guān)鍵作用．

1 借助三角函數(shù)求解平衡中的最值問(wèn)題

例1 如圖1所示，質(zhì)量為M、傾角為θ的木楔放置在水平地面上．有一質(zhì)量為m的物塊，放置在斜面上某處由靜止釋放時(shí)，物塊恰好沿斜面勻速下滑．現(xiàn)若用一力F拉著物塊能沿斜面勻速上升，且力F與斜面間的夾角為α，物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)木楔始終處于靜止?fàn)顟B(tài)．下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）

（A）力F的最小值為mgsin2θ．

（B）當(dāng)α=2θ時(shí)，F(xiàn)取得最小值．

（C）勻速下滑時(shí)，M受到地面給它向右的摩擦力作用．

（D）勻速上滑時(shí)，M受到地面給它向左的摩擦力作用．

解析 對(duì)物塊分析，根據(jù)題意可得：沒(méi)施加外力F時(shí)，物塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在沿斜面方向上有mgsinθ=μmgcosθ，施加外力F時(shí)，受到滑動(dòng)摩擦力，重力，斜面的支持力，拉力F，做勻速運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，在沿斜面方向上有f+mgsinθ=Fcosα，在垂直斜面方向上N+Fsinα=mgcosθ，滑動(dòng)摩擦力f=μN(yùn)，聯(lián)立可得F=2mgsinθcosα+μsinα，代入mgsinθ=μmgcosθ，則F=mgsin2θsin（π2－θ+α），所以當(dāng)α=θ時(shí)，分母最大，F(xiàn)有最小值，最小值為Fmin=mgsin2θ，故（A）正確，（B）錯(cuò)誤；將兩者看做一個(gè)整體，設(shè)水平面對(duì)木楔M的摩擦力是f′，水平方向受力平衡，則有f′+Fmincosθ+α=0，摩擦力的方向向左，（C）錯(cuò)誤，（D）正確．

點(diǎn)評(píng) 本題求解F的最小值時(shí)，根據(jù)物理規(guī)律，將F表示成關(guān)于α的三角函數(shù)，通過(guò)三角函數(shù)的最值求解F的最小值，巧妙地利用數(shù)學(xué)知識(shí)處理了物理最值問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力．

2 變式應(yīng)用

例2 圖2是固定在水平地面上傾角為30°的斜面體．現(xiàn)將一質(zhì)量為m的滑塊放在斜面上某處由靜止釋放，滑塊正好沿斜面勻速下滑．現(xiàn)給滑塊施加一豎直面內(nèi)的拉力F使滑塊沿斜面勻速上滑．已知重力加速度為g，下列選項(xiàng)正確的是（ ）

（A）若F沿斜面向上，那么F=mg．

（B）F的最小值為0.5mg．

（C）當(dāng)斜面傾角為70°時(shí)，沿水平方向施加力F不能使滑塊勻速上滑．

（D）當(dāng)斜面傾角為50°時(shí)，沿水平方向施加力F不能使滑塊勻速上滑．

解析 滑塊開(kāi)始勻速下滑，則有mgsinθ－μmgcosθ=0，可得μ=tanθ=33，摩擦力f0=μmgsinθ=0.5mg，若拉力平行于斜面向上，滑塊勻速上滑，則F=f0+mgsinθ=mg，故（A）正確；

假設(shè)拉力與斜面的夾角為α，受力分析如圖3，建立直角坐標(biāo)系，x方向：Fcosα－f－mgsinθ=0，y方向：Fsinα+N－mgcosθ=0，f=μN(yùn)，聯(lián)立解得F=μmgcosθ+mgsinθcosα+μsinα

=μmgcosθ+mgsinθ1+μ211+μ2cosα+μ1+μ2sinα，

令tanβ=μ，即β=30°，

上式F=μmgcosθ+mgsinθ1+μ2cosβcosα+sinβsinα=μmgcosθ+mgsinθ1+μ2cosβ－α，可知α=β=30°時(shí)，F(xiàn)有最小值，F(xiàn)min=32mg，故（B）錯(cuò)誤；

若施加的壓力下沿水平方向分析滑塊的受力情況如圖4所示，則有N－mgcosθ－Fsinθ=0，又f=μN(yùn)，又有Fcosθ<mgsinθ+f，則有Fcosθ≤mgsinθ+μmgcosθ+Fsinθ，變形得F－μmgcosθ≤mg+μFsinθ，解得tanθ≥F－μmgmg+μF=1－μmgFmgF+μ，當(dāng)F為∞時(shí)，tanθ≥1μ=3，所以θ≥60°，即當(dāng)斜面傾角為60°時(shí)，沿水平方向施加力F，無(wú)論F有多大都不能使滑塊勻速上滑，故（C）正確，（D）錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng) 本題（B）選項(xiàng)中，求拉力F的最小值，先設(shè)出拉力的方向（拉力與斜面的夾角為α），再將拉力表示成關(guān)于α的三角函數(shù)，求其最值即可得到答案；（C）（D）選項(xiàng)中，根據(jù)物理規(guī)律得tanθ≥F－μmgmg+μF=1－μmgFmgF+μ，可知θ≥60°時(shí)，當(dāng)F趨近于∞，進(jìn)而可得結(jié)果．

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上的理論闡述和實(shí)例分析，可以看出三角函數(shù)在求解平衡中的最值問(wèn)題時(shí)具有顯著的優(yōu)勢(shì)．它能夠?qū)?fù)雜的物理關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而方便地求得最值．在實(shí)際應(yīng)用中，需要學(xué)生深入理解問(wèn)題的物理本質(zhì)，準(zhǔn)確構(gòu)建三角函數(shù)模型，并熟練運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)公式進(jìn)行求解．隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，平衡中的最值問(wèn)題將在更多領(lǐng)域中出現(xiàn)，三角函數(shù)作為一種有效的解決工具，其應(yīng)用前景將更加廣闊．需要注意的是，在實(shí)際解題過(guò)程中，還需要結(jié)合具體問(wèn)題的特點(diǎn)和條件，靈活運(yùn)用其他數(shù)學(xué)知識(shí)和物理原理，以確保解題的準(zhǔn)確性和完整性．同時(shí)，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力，將有助于學(xué)生更好地應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的最值問(wèn)題．

參考文獻(xiàn)：

［1］朱賢賢.三角函數(shù)在物理情境中的應(yīng)用［J］.中學(xué)生理科應(yīng)試，2022（12）：28-29.

［2］畢國(guó)輝.三角函數(shù)在物理解題中的應(yīng)用［J］.理科考試研究，2016，23（15）：45-46.

［3］徐同苗.三角函數(shù)在物理解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2019，48（14）：92-93.

［4］王紅曉.三角函數(shù)在物理力學(xué)中的運(yùn)用［J］.中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2016（05）：39+3.