三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要板塊.三角函數(shù)問題的命題形式很多，常見的有三角函數(shù)最值問題、求值問題、單調(diào)性問題、圖象問題、周期問題等.下面結(jié)合實(shí)例，談一談四類三角函數(shù)問題的解法.

一、三角函數(shù)最值問題

三角函數(shù)最值問題的常見命題形式是根據(jù)三角函數(shù)的定義域、解析式求函數(shù)的最值.我們往往要先靈活運(yùn)用輔助角公式、二倍角公式、兩角的和差公式等，將三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，使其成為最簡(jiǎn)形式，如只含有一種三角函數(shù)名稱、一個(gè)角、次數(shù)統(tǒng)一的式子；然后根據(jù)函數(shù)的定義域確定要求角的范圍；再根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性和有界性來求得函數(shù)的最值.

的范圍，就能根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值

.二、三角函數(shù)周期問題三角函數(shù)周期問題主要有：（1）求三角函數(shù)的周期；（2）根據(jù)函數(shù)的周期求函數(shù)的解析式、參數(shù)的取值范圍.解答三角函數(shù)周期問題，需首先運(yùn)用三角函數(shù)的基本公式進(jìn)行恒等變換，將函數(shù)式化為只含有一種函數(shù)名稱的式子，如y=Asin（ωx+?）+b、y=Acos（ωx+?）+b、y=Atan（ωx+?）+b；然后根據(jù)正余弦函數(shù)的周期公式

我們需先根據(jù)輔助角公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式將各選項(xiàng)中的函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有一種三角函數(shù)名稱的式子；然后直接根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解.

三、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值問題

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值問題比較常見.這類問題側(cè)重于考查三角函數(shù)基本公式的應(yīng)用以及進(jìn)行三角

恒等變換的技巧.在化簡(jiǎn)時(shí)，要抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一看角，二看函數(shù)名稱，三看結(jié)構(gòu).首先明確角之間的差別，并建立二者之間的聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，選用合適的公式將異角化同角；然后觀察函數(shù)名稱之間的差異，選用合適的公式來變換函數(shù)名稱，通過弦切互化、切化弦、弦化切的技巧，使三角函數(shù)式中的函數(shù)名稱統(tǒng)一；最后分析三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行降冪或升冪，使函數(shù)式中的次數(shù)統(tǒng)一.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式后，將已知的值、關(guān)系式代入，就能求得函數(shù)的值.

例4.（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ= 2 +1，則sin（α+β）=_______.

解法1.因?yàn)棣翞榈谝幌笙藿?，β為第三象限角?/p>

解法1是先根據(jù)兩角和的正切公式來求得α+β的正切值，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行求解.解法2是將cos2（α+β）除以同角三角函數(shù)的關(guān)系式：sin2（α+β）+cos2（α+β）=1，將弦化切，從而求得cos2（α+β）

與sin（α+β）的值.在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，要注意變換函數(shù)的名稱、角、冪，并選用合適的公式.

四、三角函數(shù)圖象問題

三角函數(shù)的圖象問題主要有根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式、參數(shù)的值、對(duì)稱軸、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心、周期，以及三角函數(shù)圖象的變換問題.解答三角函數(shù)圖象問題，需首先將三角函數(shù)進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)式化為只含一種函數(shù)名稱的式子；然后將其函數(shù)圖象視為把y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象進(jìn)行伸縮、旋轉(zhuǎn)、翻折變換得到的.這就要求我們熟悉一些基本的圖象變換規(guī)律.如對(duì)于y=Asin（ωx+φ）+b，改變?chǔ)眨梢詫D象進(jìn)行左右平移；改變?chǔ)兀梢詫D象進(jìn)行左右伸縮；改變A，可以將圖象進(jìn)行上下平移.例5（. 2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，曲線

過觀察圖形，求得問題的答案.

可見，解答三角函數(shù)問題，需注意：（1）選用合適的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變換；（2）靈活運(yùn)用正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象、性質(zhì)；（3）學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.