函數(shù)、平面幾何、函數(shù)、向量、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合.四邊形最值問題一般主要考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、三角形的面積公式等.下面以一道題為例，探討一下四邊形最值問題的解法.

題目：如圖1，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，AC= 5，BD⊥BC，BD=2BC，則AD的最小值為 .

本題看似比較簡(jiǎn)單，實(shí)際上較為復(fù)雜.AD是?ADC和?ABD的一條邊，而我們只知道AB=1、AC= 5，要求AD的最小值，需建立關(guān)于另外兩條邊的關(guān)系式，然后將該式視為函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法等來求最值.解答本題主要有以下四種方法.

一、利用正余弦定理

四邊形通?？梢员环指畛蓭讉€(gè)三角形，這樣便可以在三角形中，根據(jù)正余弦定理建立三角形的邊角關(guān)系式，從而求得所求的邊、角以及目標(biāo)式.再將所求得的式子視為關(guān)于某條邊、某個(gè)角的函數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性來求最值.

解：如圖1，在△ABC中，AB=1，AC= 5 .

我們先根據(jù)正余弦定理求得BC、BD以及AD的表達(dá)式；然后設(shè)∠BAC=θ，將其視為變量，將AD的表達(dá)式視為關(guān)于θ的三角函數(shù)式；再根據(jù)輔助角公式將其化為正弦函數(shù)式，就能直接根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.

二、利用平面幾何知識(shí)

解答四邊形最值問題，我們往往要先畫出幾何圖形，以明確點(diǎn)、線段之間的位置關(guān)系；然后添加合適的輔助線，根據(jù)三角形、平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)圖形、對(duì)稱圖形的性質(zhì)等建立邊、角之間的等量關(guān)系；再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”等公理來求最值.

解：如圖2，過B作BO⊥BA，且BO=2，連接OA，OD.

當(dāng)且僅當(dāng)O，A，D三點(diǎn)共線時(shí)，AD有最小值 5 .

我們先添加輔助線，構(gòu)造出相似三角形△OBD∽△ABC，即可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立三角形三邊之間的關(guān)系，進(jìn)而求得OD的長；然后在三角形OAD中，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”來求得AD的最小值.

三、采用建系法

在運(yùn)用建系法求解平面四邊形最值問題時(shí)，我們往往要先找出或作出兩條互相垂直的直線，并將其視為坐標(biāo)軸來建立平面直角坐標(biāo)系；然后設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求得各條線段的方向向量，即可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得目標(biāo)式；最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式等求得最值.

解：如圖3，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（0，0），B（1，0），設(shè)∠CAB=θ，D（x，y）.

由AC= 5，得C（ 5cosθ， 5sinθ），

AD有最小值為

首先，我們以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB所在的直線為x軸、垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系；然后設(shè)∠CAB=θ，求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求得AD的表達(dá)式，即可將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題；最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.

四、利用托勒密不等式

托勒密不等式：在任意凸四邊形ABCD（如圖4）中，必有AC?BD≤AB?CD+AD?BC，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào).托勒密不等式是平面幾何中的一個(gè)重要不等式，通常用于求四邊形的對(duì)角線長度以及圓周上兩點(diǎn)之間的距離.運(yùn)用托勒密不等式，可以將四邊形的兩條對(duì)角線的乘積轉(zhuǎn)化為兩組對(duì)邊的乘積之和.這樣，就將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的邊長問題，從而達(dá)到化難為易的目的.

解：如圖1，在RtΔBCD中，BD=2BC，BD⊥BC，所以CD= BD2+BC2= 4BC2+BC2= 5BC.

因?yàn)锳B=1，AC= 5，BD=2BC.

所以在凸四邊形ABCD中，由托勒密不等式得：AC?BD≤AB?CD+AD?BC，

即 5×2BC≤1× 5BC+AD×BC.

即 5BC≤AD?BC，可得AD≥ 5，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，|AD|有最小值為 5 .

= 2，

所以當(dāng)BC= 2時(shí)，AD取最小值為 5 .

我們根據(jù)托勒密不等式建立四邊形ABCD的對(duì)角線與四條邊之間的關(guān)系，進(jìn)而求得AD的最小值.值得注意的是，在運(yùn)用托勒密不等式解題時(shí)，要注意取等號(hào)的條件：A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

可見，求解四邊形最值問題，不僅要將問題與解三角形、平面幾何、向量、復(fù)數(shù)等知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，從其他知識(shí)切入來尋找到解題的思路，還要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，這樣才能拓寬解題的思路，找到更多的解題方法，提高解題的效率.

（作者單位：湖北省襄陽市襄城區(qū)襄陽四中）