平面向量兼有代數(shù)和幾何雙重身份，因而解答平面向量最值問題可以從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度入手來尋找不同的解題思路.下面以一道題為例，談一談求解平面向量最值問題的四種方法.

|a-b|的最小值為 ，最大值為 .

題目中給出的條件較少，要求得向量 |a+b|+|a-b|的最值，需靈活運(yùn)用向量的模的公式、向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的有界性、基本不等式等來解題.解答本題主要有以下四種方法.

一、利用向量三角不等式

向量三角不等式： .對(duì)于||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

有關(guān)兩個(gè)向量的模的加減運(yùn)算問題，我們通常可以根據(jù)向量三角不等式來求兩個(gè)向量的模之和、差的取值范圍.在運(yùn)用向量三角不等式解題時(shí)，要關(guān)注等號(hào)成立的條件.

|a+b|+|a-b|的最小值.可見，運(yùn)用向量三角不等式解題，可以有效地降低題目的難度，簡(jiǎn)化運(yùn)算，達(dá)到化難為易的目的.

二、數(shù)形結(jié)合法

在求解平面向量最值問題時(shí)，我們可以根據(jù)向量的模的幾何意義、向量數(shù)量積的幾何意義，以及向量加法的幾何意義，如三角形法則、平行四邊形法則，來畫出平面幾何圖形，將問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形之間的位置關(guān)系問題.再結(jié)合圖形找到目標(biāo)式取得最值的情形，據(jù)此建立代數(shù)關(guān)系式，即可解題.

由于a、b的方向無法確定，所以根據(jù)向量的模的幾何意義構(gòu)造出圓，討論A、B、C三者之間的位置關(guān)系，根據(jù)余弦定理建立關(guān)系式，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得問題的答案.

三、利用三角函數(shù)的有界性

在求解向量最值問題時(shí)，我們往往可以設(shè)出向量之間的夾角及其取值范圍，根據(jù)向量的數(shù)量積公式來建立夾角之間的關(guān)系式，通過向量運(yùn)算將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于夾角的三角函數(shù)式.再通過三角恒等變換將三角函數(shù)式變形、化簡(jiǎn)，以根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的

所以 ，4≤|a+b|+|a-b|≤2 5

所以|a+b|+|a-b|的最小值為4，最大值為2 5 .

向量 的模長(zhǎng)是已知的，于是設(shè)出 的夾角a，b a、b

θ，根據(jù)向量數(shù)量積公式用θ表示出|a+b|和|a+b|，

再根據(jù)余弦函數(shù)的有界性以及0≤cos2θ≤1，就可以順利求得|a+b|+|a-b|的最值.

四、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算

在求解平面向量最值問題時(shí)，我們可以某個(gè)向量為坐標(biāo)軸的正方向，其起點(diǎn)為原點(diǎn)來建立平面直角坐標(biāo)系.再求得各個(gè)向量的坐標(biāo)，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得目標(biāo)式；最后將目標(biāo)式視為函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法等求得函數(shù)的最值.

算法則將問題轉(zhuǎn)化為求|a+b|+|a-b|=|CB|+|BA|的最值.然后根據(jù)橢圓的定義求得點(diǎn)B的軌跡方程，通過聯(lián)立圓與橢圓的方程，求得橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的取值范圍，進(jìn)而求得|a+b|+|a-b|的最值.

我們既可以從代數(shù)角度入手，利用向量三角不等式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)的有界性，又可以從幾何角度切入，通過數(shù)形結(jié)合找到解答平面向量最值問題的不同思路.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，要善于將向量知識(shí)融入其他知識(shí)模塊中，將問題與代數(shù)、幾何圖形關(guān)聯(lián)起來，靈活運(yùn)用向量的幾何意義與運(yùn)算法則來解題，這樣有利于提升解題的效率.