摘 要：為了考察非Darcy滲流對二維地基固結過程的影響，引入Hansbo滲流方程描述飽和黏性土中的滲流規(guī)律，修正了Terzaghi-Rendulic平面應變固結方程，并給出了有限體積法數(shù)值求解格式；采用不同的Hansbo滲流參數(shù)，分析了條形荷載作用下有限深度地基的固結特性。結果表明：Hansbo滲流延緩了平面應變固結的過程，并且隨著Hansbo滲流參數(shù)的增大，超靜孔壓的消散變得更為緩慢，因此，按Darcy滲流對二維地基進行的常規(guī)固結分析將會高估其固結速率；與Biot固結理論相比，在Terzaghi固結理論框架內(nèi)，條形荷載下固結初期地基中局部的孔壓增大現(xiàn)象并不明顯。研究成果可為探尋更為準確的飽和黏性土地基沉降預測方法提供理論基礎。

關鍵詞：地基基礎工程；平面應變固結；飽和黏性土；Hansbo滲流；有限體積法

中圖分類號：TU432 文獻標識碼：A

Analysis of plane-strain consolidation based on Hansbo′s flow

Abstract：

In order to investigate the influence of non-Darcian flow on the consolidation process of two-dimensional soil layer， Hansbo′s flow equation was introduced to describe the flow law in saturated cohesive soil， the Terzaghi-Rendulic plane strain consolidation equation was modified， and the finite volume method numerical solution scheme was given. The consolidation characteristics of finite depth foundation under strip load were analyzed by using different Hansbo′s flow parameters. The results show that Hansbo′s flow retards the plane strain consolidation process， and the excess pore pressure dissipates more slowly with the increase of Hansbo′s flow parameters. Therefore， the conventional consolidation analysis of two-dimensional soil layer based on Darcian flow will overestimate the consolidation rate. In addition， compared with Biot′s consolidation theory， the local pore pressure increase in the initial stage of consolidation under strip load is not obvious in the Terzaghi consolidation theory framework. The research results can provide a theoretical basis for exploring a more accurate settlement prediction method for saturated cohesive soil layer.

Keywords：

foundation engineering; plane-strain consolidation; saturated cohesive soil; Hansbo′s flow; finite volume method

由于Terzaghi一維固結理論僅考慮了地基的豎向滲流，按此理論對飽和黏性土地基中整體孔壓的消散速率進行預測時常常得到偏慢的結果，所以不斷有學者對其進行改進。1936年，

RENDULIC[1]假定地基中任意點的總應力之和不隨固結時間而改變，將其擴展為二維和三維固結理論。1941年，BIOT[2]則在同時滿足平衡微分方程、本構方程、幾何方程以及孔隙水滲流連續(xù)性條件的基礎上，得出了更為嚴格的真三維固結理論。不過，Biot固結方程求解較為困難，而Terzaghi-Rendulic固結方程則因其求解方便應用較為普遍，因此有學者對后者進行了深入研究。黃傳志[3]、折學森[4]和李秉宜等[5]先后采用積分變換法、Green函數(shù)法等分別給出了二維Terzaghi-Rendulic固結微分方程的通解，并針對一些特殊情況給出了簡化計算結果；雷國輝等[6]、CHEN等[7]和裴美娟等[8]先后研究了砂墊層、分布式排水邊界和土體各向異性等因素的影響。但按上述理論對地基固結速率的預測結果經(jīng)常與實際觀測數(shù)據(jù)存在較大誤差。這在一定程度上可歸結為上述理論的基本假定與實際工程有一定偏離。

雖然一般固結理論都假定地基中的滲流符合Darcy定律，但室內(nèi)試驗和現(xiàn)場觀測表明，飽和黏性土中的滲流速度v與水力坡降i之間并不總是直線關系。為描述這種非線性滲流，HANSBO[9]引入了分段函數(shù)：

式中：m為描述低速滲流時冪函數(shù)的指數(shù)；k為高速直線滲流段的滲透系數(shù)；i1為曲線滲流段和直線滲流段的分界起始水力坡降。很明顯，Darcy滲流是Hansbo滲流的特例。只要m=1或i1=0，式（1）就退化為Darcy滲流方程。

為考查式（1）所示非Darcy滲流模式對飽和黏性土地基固結過程的影響，劉忠玉等[10]、鄂建等[11]和XIE等[12]先后將式（1）代替Darcy滲流方程，對Terzaghi一維固結方程進行了修正，結果表明與Darcy滲流相比，按Hansbo滲流計算時地基的一維固結進程將會延遲。實際上，考慮Hansbo滲流[13]或其他形式的非Darcy滲流[14]對砂井地基的固結分析也可得到類似的結論。

為進一步分析非Darcy滲流對平面應變固結過程的影響，本文引入式（1）描述黏性土地基中孔隙水的流動，在Terzaghi-Rendulic固結理論框架內(nèi)，重新推導平面應變固結微分方程，并初步分析相關滲流參數(shù)對二維固結進程的影響規(guī)律。

1 平面應變固結方程推導

采用和Terzaghi-Rendulic固結方程一樣的推導過程，可得Hansbo滲流條件下平面應變固結方程：

式（4）的初始條件：

u（x，z，0）=u0（x，z），（5）

式中，初始超靜孔壓u0（x，z）可取為外荷載p0作用下的平均附加應力，即u0（x，z）=（σx+σz）/2。其中σx和σz為外荷載p0作用下在點（x，z）處產(chǎn)生的x向和z向的附加正應力。

當?shù)孛婧奢d均布時，考慮對稱性，對地基進行分析。式（4）的邊界條件如下：

u（x，0，t）=0，（6）

vz（x，H，t）=0，（7）

vx（0，z，t）=0，（8）

vx（∞，z，t）=0。（9）

2 有限體積法求解

取圖1中的F點足夠遠，比如L=5H，并用線段CF代替遠端邊界。將計算區(qū)域OACF用Δx和Δz分別沿x和z方向均分為M層和N層，共分為N×M個單元。在每個單元中心設置節(jié)點，并對時間按Δt進行離散。然后在任一時間段［tj，tj+Δt］內(nèi)，對式（4）在任一單元（l， n）內(nèi)積分：

用向前差分表示等號右邊u關于時間t的偏導，將式（10）改寫為

式中：R0，L0，B0，T0分別代表單元（l， n）的右、左、下和上4個邊界。

用中間差分近似表示式（11）中關于x和z的偏導，并以全隱格式表示時間段［tj，tj+Δt］內(nèi)的孔隙水壓力，則

單元（l， n）的水力坡降分量ix和iz可分別取其左右邊界和上下邊界處對應值的平均值，計算單元（l， n）的水力坡降模，由式（3）求得該單元的視滲透系數(shù)K。而式（12）中單元邊界處的視滲透系數(shù)K則可取相應邊界2邊單元視滲透系數(shù)的平均值。

離散后的初始條件可表示為

與邊界條件式（6）－式（9）對應的離散方程為

將式（13）－式（19）代入式（12），形成封閉方程組，可用迭代法求解。

引入平均固結度Ut反映二維地基中超靜孔壓的整體消散速率和地基的固結程度

式中： D表示整個計算區(qū)域；ΔAl，n為單元（l，n）的面積，ΔAl，n=ΔxΔz；ujl，n和u0l，n分別為單元（l， n）在相應計算時刻j和初始時刻的超靜孔壓。

3 解法驗證

3.1 考慮Hansbo滲流的一維固結

劉忠玉等[10]曾用有限體積法求解過考慮Hansbo滲流影響的一維固結方程。如將B取為無限大，即假定荷載p0均布于整個地基表面，那么二維固結將退化為一維固結。為便于討論，引入無量綱參數(shù)：

式中，Tv為無量綱時間。

為說明本文方法的有效性，按二維固結進行分析，即取H=10 m，L=50 m，均布整個地面的荷載p0=100 kPa，mv=0.2 MPa-1，k=0.025 m/a，N=50，M=250，Δx=Δz=0.2 m，ΔTv=10－5。取不同的Hansbo滲流參數(shù)，分別分析地基平均固結度與時間的關系，結果如圖2所示。為便于對比，圖2中附上了劉忠玉等[10]的一維固結計算結果。很明顯，二者幾乎完全重合。

3.2 基于Darcy滲流的平面應變固結

李秉宜等[5]曾采用 Green 函數(shù)法求解二維固8d484c5823bd6838a86e29fd42a4e96fe1c55682cbbb578f9f1b5c668dfe7fa5結微分方程，分析了Darcy滲流土層厚度對荷載中心點下固結度Uz的影響，并與GIBSON等[15]不考慮側向變形（即泊松比μ=0）時，按Biot固結分析的結果進行了對比。這里取B=10 m，且H/B=0.1，0.2，1和2（其他參數(shù)同前）分析了荷載中心點下固結度Uz與時間的關系，結果如圖3所示，其中無量綱時間Tw=Cvt/B2。為便于對比，圖中附上了李秉宜等[5]的計算結果。從圖3可以看出，當Tw較小時，本文結果略小于李秉宜等[5]的結果，而在TB>0.01時，二者則較為一致。

4 參數(shù)分析

不失一般性，進行分析時取H=2B=10 m，L=50 m，mv=0.2 MPa-1，k=0.025 m/a，p0=100 kPa，N=50，M=250，Δx=Δz=0.2 m，ΔTv=10－5。另外，由文獻[15]中Hansbo滲流參數(shù)的試驗結果和分析用值可以發(fā)現(xiàn)，m值為1～2，i1為0～20，所以，進行單因素分析時，分別取m=1.2，1.5，1.8和2.0，I1=0.5，1.0，2.0和5.0。

4.1 Hansbo滲流對孔壓變化的影響

平面應變固結時荷載中心點下深3 m和7 m處超靜孔壓（U，U=u/p0）與時間的關系曲線見圖4。由圖4可知，在固結初期，同一位置處的各條曲線幾乎重合，并稍微上揚。這說明該段時間內(nèi)超靜孔壓值隨時間略有增大，但最大增大值約為初始值的2%。劉忠玉等[16]也曾對類似工況利用有限元法進行過Biot固結分析，其固結初期超靜孔壓出現(xiàn)了隨時間延長而增大的現(xiàn)象，且十分明顯。根據(jù)其計算結果，當彈性模量E=7.2 MPa，泊松比μ=0.3，m=1.5，且 I1 分別等于0，0.5，1.0，2.0和 5.0 時，荷載中心點下深3 m處固結初期超靜孔壓達到的最大值分別比初始值增大4.3%，5.4%，6.1%，6.9%和7.2%。XU等[14]對砂井地基進行黏彈塑性固結分析時也發(fā)現(xiàn)固結初期超靜孔壓異常增大的現(xiàn)象。

以上3種情況對應的固結初期超靜孔壓增大程度之所以不同，是因為它們產(chǎn)生的機制不同。黏彈塑性砂井地基固結初期的孔壓異常增大是由于土體黏滯性或時間效應引起的[14]，二維Biot固結初期的孔壓異常增高現(xiàn)象應歸結為Mandel-Cryer效應[16]，而這里固結初期超靜孔壓稍微增大的原因則是由于荷載中心點下的初始超靜孔壓呈上大下小分布，向下的滲流使得下部的超靜孔壓有所增大所致。

圖4表明，與Darcy滲流相比，Hansbo滲流對應曲線的起始平緩段較長，且曲線段都在Darcy滲流對應曲線的上方，即后者延遲了地基中超靜孔壓的消散，而且Hansbo滲流參數(shù)m和I1越大，超靜孔壓開始消散的時間就越晚，隨后消散速率也就越慢。以圖4 b）為例，在Darcy滲流時，荷載中心點下7 m深度處的超靜孔壓由最初的0.39p0消散到0.20p0，需要的無量綱時間為0.23。在Hansbo滲流模式下，對應m=1.5以及I1=0.5，1.0，2.0和5.0，相應需要的無量綱時間則分別為0.39，0.54，0.76和1.20，即分別為Darcy滲流模式下所需時間的1.7倍、2.3倍、3.3倍和5.2倍。所以，在平面應變固結分析時，也應考慮非Darcy滲流的影響，否則將會得到比實際偏大的超靜孔壓消散速率。

4.2 Hansbo滲流對平均固結度的影響

為分析Hansbo滲流模式對平面應變固結時地基固結速率的影響，圖5給出了不同I1或m時的平均固結度Ut與無量綱時間Tv的關系曲線。與Hansbo滲流對一維固結[10-12]、砂井地基固結[13-14]和二維Biot固結[16-17]的影響結論相似的是，考慮Hansbo滲流的Ut-Tv曲線均位于考慮Darcy滲流的曲線下方，并且Hansbo滲流參數(shù)I1或m越大，這些曲線與考慮Darcy滲流的曲線之間的距離就越大。也就是說，在Terzaghi固結理論框架內(nèi)，按Hansbo滲流計算的平面應變地基的固結速率要比按Darcy滲流計算的要慢。以固結度達到85%為例，按Darcy滲流計算，需要的無量綱時間Tv=0.68，而考慮Hansbo滲流時，對應I1=1.0，且m=1.2，1.5，1.8和2.0的無量綱時間Tv分別為1.11，2.32，4.90和8.14，分別是前者的1.6倍、3.4倍、7.2倍和12.0倍。因此，和一維固結、砂井地基固結以及Biot固結分析類似，平面應變固結分析時也應考慮飽和黏性土地基中存在的滲流偏離Darcy定律的現(xiàn)象，否則可能會得到比實際偏快的地基固結速率。

5 結 語

本文引入Hansbo滲流方程代替Darcy定律來描述飽和黏性土彈性地基中的非線性滲流，在平面應變條件下對Terzaghi-Rendulic二維固結方程進行了修正，并采用有限體積法進行了數(shù)值求解，得到如下結論。

1）不論基于Darcy滲流還是Hansbo滲流，條形荷載下固結初期局部地基內(nèi)的孔壓增大現(xiàn)象并不明顯，其最大增大量僅為初始值的2%左右。

2）與Darcy滲流相比，按Hansbo滲流計算時單個點的超靜孔壓開始消散的時間相對延遲，并且隨著Hansbo滲流參數(shù)m和I1的增大，超靜孔壓的消散都趨于更加緩慢。

3）與Darcy滲流相比，按Hansbo滲流算得的平面應變地基的整體超靜孔壓消散速率偏慢。以平均固結度達到85%計算，在本文的計算范圍內(nèi)，按Hansbo滲流計算，需要的時間可延長至Darcy滲流的12.0倍。所以，按Darcy滲流計算時將會高估二維地基的固結速率。

本文在假定土體線彈性變形的基礎上，初步分析了非Darcy滲流對二維地基固結的影響規(guī)律。在后續(xù)研究中，將同時考慮非Darcy滲流和非線性變形的共同影響，以更全面地分析二維地基的固結特性，并為提出新的更有效的地基沉降預測方法提供理論基礎。

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