摘 要：針對(duì)角接觸球軸承幾何結(jié)構(gòu)特征，建立一種基于復(fù)雜工況下角接觸球軸承動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析模型，并考慮角接觸球軸承非線性接觸特征的影響。將考慮能量損耗的耗散接觸力模型和Coulomb摩擦力修正模型引入到角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)方程中，采用Newton-Rapson法獲得含間隙的角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)特性，并在滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征實(shí)驗(yàn)，分析不同工況下間隙對(duì)角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。計(jì)算結(jié)果表明：間隙的引入增加了角接觸球軸承元素之間的非線性接觸特征，并會(huì)引起高頻沖擊，而工況條件的變化會(huì)引發(fā)角接觸球軸承動(dòng)態(tài)響應(yīng)的變化。

關(guān)鍵詞：角接觸球軸承；非線性接觸；動(dòng)力學(xué)性能；耗散接觸力模型

中圖分類號(hào)：TH133.3" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" 文章編號(hào)：1671-5276（2024）05-0008-05

Dynamic Response Analysis of Contact Ball Bearing Based on Nonlinear Contact Characteristics

Abstract：According to the geometric characteristics of angular contact ball bearings， a dynamic response analysis model of angular contact ball bearings based on complex working conditions was established with consideration of the influence of nonlinear contact characteristics of angular contact ball bearings. The dissipative contact force model considering energy loss and the Coulomb friction correction model were introduced into the angular contact ball bearing dynamic equation， the dynamic characteristics of angular contact ball bearings with clearance were obtained by Newton-Rapson method， the dynamic response characteristic experiment was carried out on the rolling bearing test bench， and the influence law of clearance on the dynamic characteristics of angular contact ball bearings under different working conditions was analyzed. The calculation results show that the introduction of clearance increases the nonlinear contact characteristics between the elements of angular contact ball bearings and causes high-frequency shocks， while changes in operating conditions will initiate changes in the dynamic response of angular contact ball bearings.

Keywords：contact angle ball bearing；nonlinear contact；dynamics performance；dissipative contact force model

0 引言

作為機(jī)械裝備中的重要支承部件，角接觸球軸承對(duì)機(jī)械裝備運(yùn)行的穩(wěn)定性及可靠性起到至關(guān)重要的作用［1-3］。間隙不可避免地存在于角接觸球軸承元素之間，而間隙的存在會(huì)使角接觸球軸承元素之間產(chǎn)生高頻碰撞，甚至?xí)鹞⒂^彈性變形，從而對(duì)角接觸球軸承運(yùn)轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響［4-6］。如何對(duì)角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行有效預(yù)測(cè)，并減少其打滑、振動(dòng)的產(chǎn)生，是角接觸球軸承設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題。

針對(duì)角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)建模與分析的問題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究［7-8］?？紤]彈性變形特征，李德水等［9］建立了角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)性能分析模型，并對(duì)不同參數(shù)耦合工況下的角接觸球軸承動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性進(jìn)行對(duì)比與分析，得到其結(jié)構(gòu)參數(shù)與動(dòng)力學(xué)性能的映射關(guān)系。韓勤鍇等［10］以角接觸球軸承為例，基于純彈性理論建立了角接觸球軸承元素之間的非線性接觸特征，并將軸向載荷與徑向載荷同時(shí)引入其動(dòng)力學(xué)模型中，獲得角接觸球軸承打滑特征。基于多體動(dòng)力學(xué)理論，張濤等［11］將磨損特征引入到高速角接觸球軸承模型中，討論了接觸角變化對(duì)角接觸球軸承元素接觸碰撞力與接觸碰撞頻率的影響。

由上述分析可知，在角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)建模時(shí)大部分采用純彈性接觸模型來描述其接觸碰撞過程，而忽略了接觸碰撞過程中能量損失的影響。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，將能量損耗引入到角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)模型中，分析不同工況下角接觸球軸承非線性接觸碰撞特征。

1 球軸承動(dòng)力學(xué)分析模型

1.1 球軸承動(dòng)力學(xué)方程

角接觸球軸承模型如圖1所示。由角接觸球軸承幾何位置可知，Oco為球軸承外滾道溝曲率中心位置，Ob點(diǎn)為球軸承滾動(dòng)體球心初始位置，Oci點(diǎn)為球軸承內(nèi)滾道溝曲率中心位置，O′b點(diǎn)為球軸承滾動(dòng)體球心最終位置，O′ci點(diǎn)為球軸承內(nèi)滾動(dòng)溝曲率中心最終位置［12-13］。根據(jù)角接觸球軸承運(yùn)動(dòng)特征，定義軸承外圈固定而內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)，則Oco點(diǎn)為固定點(diǎn)，引入變量X1j和X2j，可得到各角度之間的關(guān)系式：

進(jìn)一步可得各點(diǎn)之間的幾何關(guān)系為：

式中：Dw為滾動(dòng)體直徑；δij、δoj分別為第j個(gè)滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道之間的法向接觸變形；fi、 fo分別為內(nèi)外溝道曲率半徑；Ri為內(nèi)滾道溝曲率中心半徑；B為內(nèi)外滾道溝曲率中心距離。

滾動(dòng)體受力狀態(tài)如圖2所示，球軸承內(nèi)圈受到軸向載荷Fa、徑向載荷Fr和轉(zhuǎn)矩M作用，球軸承受力平衡關(guān)系式可得：

式中：Fnj、Ftj分別為球與滾道的接觸力和摩擦力；第j個(gè)滾動(dòng)體的離心力和陀螺力矩表達(dá)式為：

式中：J為滾動(dòng)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；dm為節(jié)圓直徑；ωi為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速；ωr為滾動(dòng)體自轉(zhuǎn)速度；ωm為保持架轉(zhuǎn)速；β為滾動(dòng)體間距角度。

1.2 接觸碰撞力模型

接觸碰撞力模型是描述滾動(dòng)軸承動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征的重要因素之一，雖然純彈性接觸碰撞模型可以描述碰撞體之間的變形與恢復(fù)過程，但沒有考慮到接觸碰撞過程的能量損失，而耗散力模型將碰撞過程中的非線性阻尼系數(shù)D引入到接觸碰撞力模型中［14］，有效地描述了碰撞體在接觸碰撞過程中的能量損耗特征，其表達(dá)式為：

式中：K為碰撞體接觸剛度系數(shù)；δ為變形量；δ·為變形速度；n為接觸指數(shù)，取n=1.5；dmax為最大變形量；cmax為最大阻尼系數(shù)。

采用Coulomb改進(jìn)摩擦力模型來描述滾動(dòng)體與內(nèi)圈和外圈滾道接觸碰撞過程中切向力，其表達(dá)式為：

式中：μd為滑動(dòng)摩擦因數(shù)；cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)；ν0、νm為給定的速度極限值；ut、νt分別為矢量切向速度和切向速度。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

角接觸球軸承動(dòng)態(tài)特征測(cè)試方法如圖3所示。在角接觸球軸承保持架上做好標(biāo)記后，電機(jī)通過減速器帶動(dòng)驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，紅外光電傳感器固定在測(cè)試軸承外側(cè)，通過保持架的標(biāo)記記錄角接觸球軸承保持架轉(zhuǎn)速值。該測(cè)試系統(tǒng)可以測(cè)量不同工況下的角接觸球軸承動(dòng)態(tài)特征，為了保證測(cè)試的準(zhǔn)確性，試驗(yàn)之前需對(duì)傳感器進(jìn)行清零與標(biāo)定。

不同轉(zhuǎn)速下角接觸球軸承保持架轉(zhuǎn)速的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。保持架轉(zhuǎn)速隨著內(nèi)圈轉(zhuǎn)速的增大而增大，但在不同載荷作用下呈現(xiàn)出不同的動(dòng)態(tài)特征。在內(nèi)圈轉(zhuǎn)速較低時(shí)，數(shù)值仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果出現(xiàn)了一定的偏差，這說明該狀態(tài)下角接觸球軸承容易出現(xiàn)打滑現(xiàn)象。當(dāng)內(nèi)圈轉(zhuǎn)速達(dá)到5 000r/min時(shí)，保持架轉(zhuǎn)速數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果保持相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，偏差值較小。對(duì)比試驗(yàn)測(cè)試與仿真結(jié)果，保持架運(yùn)動(dòng)特征非常相近，最大相對(duì)誤差僅為2.55%，這說明本文所提出的角接觸球軸承仿真分析模型可以較好地描述其動(dòng)力學(xué)特性。

3 數(shù)值分析

3.1 徑向載荷影響分析

基于本文所提出的數(shù)值仿真方法，開展含間隙角接觸球軸承非線性接觸碰撞特征分析，獲得參數(shù)變化量與其動(dòng)力學(xué)性能之間的映射關(guān)系。當(dāng)徑向游隙為0.05mm時(shí)，分別獲得徑向載荷為5 000N、7 500N、10 000N和12 500N時(shí)保持架質(zhì)心軌跡變化過程和渦動(dòng)速度偏差比，如圖5、圖6所示。由計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著徑向載荷的增加，保持架質(zhì)心軌跡逐漸出現(xiàn)明顯的波動(dòng)現(xiàn)象，其質(zhì)心速度偏差比也隨之增大，這說明保持架運(yùn)動(dòng)相對(duì)逐漸失去平穩(wěn)。原因是在徑向載荷較小時(shí)，摩擦力可以促使保持架進(jìn)行穩(wěn)定渦動(dòng)運(yùn)動(dòng)，這時(shí)質(zhì)心速度偏差比較小。隨著徑向載荷的不斷增加，滾動(dòng)體在承載區(qū)受到的擠壓增強(qiáng)，而偏心距的增加會(huì)使?jié)L動(dòng)體在非承載區(qū)內(nèi)有較大的運(yùn)動(dòng)空間，使得滾動(dòng)體與保持架的幾何相對(duì)位置不再穩(wěn)定，從而使保持架質(zhì)心軌跡逐漸變得紊亂。

圖7和圖8顯示了描述角接觸球軸承非線性動(dòng)態(tài)接觸特征。根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，徑向載荷的增大使得接觸元素之間碰撞過程更加強(qiáng)烈，接觸碰撞力出現(xiàn)大幅增長(zhǎng)，尤其是承載區(qū)內(nèi)的峰值變化尤為明顯。同時(shí)，滾動(dòng)體與滾道在承載區(qū)內(nèi)碰撞頻率明顯增加，而非承載區(qū)內(nèi)碰撞明顯減少，這是由于隨著徑向載荷的增加，內(nèi)圈與外圈的相對(duì)位置發(fā)生了明顯的改變。非承載區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)空間的增大減緩了滾動(dòng)體與滾道之間的碰撞頻率和接觸力，但承載區(qū)內(nèi)接觸力的增加會(huì)引起接觸元素之間接觸變形量的增大，這會(huì)加大角接觸球軸承的接觸碰撞特征。

3.2 徑向間隙尺寸影響分析

輸入轉(zhuǎn)速為10 000r/min時(shí)，徑向間隙尺寸分別為0.02mm、0.05mm、0.08mm和0.11mm。由數(shù)值計(jì)算結(jié)果（圖9、圖10）可以看出，不同徑向間隙尺寸影響下，含間隙角接觸球軸承保持架出現(xiàn)了不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，徑向間隙尺寸的變化對(duì)于改變其保持架運(yùn)動(dòng)軌跡較為明顯。當(dāng)徑向間隙較小時(shí)，保持架質(zhì)心軌跡分布在邊緣區(qū)域，主要表現(xiàn)為連續(xù)接觸特征。隨著徑向間隙尺寸的增加，保持架質(zhì)心軌跡逐漸混亂且向一側(cè)偏移，而這時(shí)質(zhì)心速度偏差比逐漸增大，使得保持架渦動(dòng)穩(wěn)定性隨之降低。當(dāng)間隙尺寸達(dá)到0.08mm時(shí)，滾動(dòng)體對(duì)保持架的引導(dǎo)作用明顯減弱，不能促使保持架產(chǎn)生穩(wěn)定的渦動(dòng)。當(dāng)間隙尺寸達(dá)到0.11mm時(shí)，保持架渦動(dòng)現(xiàn)象消失，質(zhì)心軌跡變得無規(guī)則，此時(shí)保持架處于極其不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這是由于徑向間隙尺寸過大時(shí)滾動(dòng)體對(duì)保持架的拖動(dòng)力較小，不足以使保持架產(chǎn)生渦動(dòng)，而質(zhì)心速度偏差比較大，使保持架運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性降低。

由于間隙的存在，在角接觸球軸承運(yùn)動(dòng)過程中滾動(dòng)體與滾道之間會(huì)產(chǎn)生接觸碰撞現(xiàn)象，接觸元素會(huì)在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下進(jìn)行高頻切換，其非線性接觸碰撞特征如圖11和圖12所示。徑向間隙尺寸的變化會(huì)對(duì)接觸元素的初始接觸碰撞狀態(tài)產(chǎn)生直接的影響，從而改變接觸碰撞力的大小。隨著徑向間隙的增大，滾動(dòng)體可運(yùn)動(dòng)區(qū)域隨之增大，而接觸碰撞力出現(xiàn)的區(qū)間也會(huì)發(fā)生改變，逐漸集中在承載區(qū)內(nèi)。根據(jù)角接觸球軸承接觸角變化特征可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，徑向間隙尺寸的增加對(duì)其接觸角分布特征影響不大，但接觸角數(shù)值有所降低。形成這種現(xiàn)象的原因是由于間隙尺寸的變化導(dǎo)致滾動(dòng)體離心力和陀螺力矩均產(chǎn)生不同程度的下降，從而與滾道接觸位置也發(fā)生了變化。

4 結(jié)語(yǔ)

基于多體動(dòng)力學(xué)理論和非線性接觸碰撞力描述方法，本文提出了一種含間隙的角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)建模方法，將考慮耗散特征的非線性接觸力模型引入到該模型中，并采用Newton-Rapson對(duì)其進(jìn)行求解，揭示角接觸球軸承非線性接觸特征，主要結(jié)論如下：

1）間隙的存在使得滾動(dòng)體與滾道、保持架之間發(fā)生高頻接觸碰撞現(xiàn)象，并對(duì)角接觸球軸承產(chǎn)生較為明顯的振動(dòng)與沖擊現(xiàn)象；

2）徑向間隙的增加使得承載區(qū)內(nèi)的角接觸球軸承非線性接觸特征更為強(qiáng)烈，滾動(dòng)體對(duì)保持架引導(dǎo)作用逐漸減弱，保持架質(zhì)心軌跡穩(wěn)定性降低，質(zhì)心速度偏差有所增加；

3）間隙尺寸過大會(huì)促使?jié)L動(dòng)體對(duì)保持架引導(dǎo)作用減弱，而角接觸球軸承動(dòng)態(tài)行為軌跡出現(xiàn)混沌、不規(guī)則運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

本文所提出的含間隙角接觸球軸承動(dòng)態(tài)特征建模方法更加真實(shí)地描述了其非線性動(dòng)態(tài)接觸特征，為角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)性能評(píng)估奠定了理論基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 章永年，陶亞滿，蔣書運(yùn)，等. 含角接觸球軸承和粗糙間隙表面滑動(dòng)軸承關(guān)節(jié)的平面柔性多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)誤差分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2022，58（1）：69-87.

［2］ 李軍寧，陳渭，謝友柏. 采用知識(shí)流理論的高速滾動(dòng)軸承打滑失效試驗(yàn)臺(tái)集成設(shè)計(jì)［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，49（5）：87-93，146.

［3］ TIAN Q，F(xiàn)LORES P， Lankarani H M. A comprehensive survey of the analytical，numerical and experimental methodologies for dynamics of multibody mechanical systems with clearance or imperfect joints［J］. Mechanism and Machine Theory，2018，122：1-57.

［4］ 韓兵，王文中，趙自強(qiáng). 低速下潤(rùn)滑接觸區(qū)補(bǔ)充供油機(jī)制的研究［J］. 摩擦學(xué)學(xué)報(bào)，2016，36（3）：341-347.

［5］ YAN K， WANG Y T， ZHU Y S. Investigation on heat dissipation characteristic of ball bearing cage and inside cavity at ultra high rotation speed［J］. Tribology International，2016，93：470-481.

［6］ 馬艷紅，王永鋒，公平，等. 航空發(fā)動(dòng)機(jī)主軸承接觸應(yīng)力精確仿真計(jì)算方法［J］. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2017，32（8）：2000-2008.

［7］ 孫雪，鄧四二，陳國(guó)定，等. 彈性支承下圓柱滾子軸承保持架穩(wěn)定性分析［J］. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2018，33（2）：487-496.

［8］ XU L X，HAN Y C，DONG Q B，et al. An approach for modelling a clearance revolute joint with a constantly updating wear profile in a multibody system：simulation and experiment［J］. Multibody System Dynamics，2019，45（4）：457-478.

［9］ 李德水，陳國(guó)定，余永健. 基于擬動(dòng)力學(xué)高速角接觸球軸承動(dòng)態(tài)特性分析［J］. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2017，32（3）：730-739.

［10］ 韓勤鍇，褚福磊. 角接觸滾動(dòng)軸承打滑預(yù)測(cè)模型［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2017，30（3）：357-366.

［11］ 張濤，陳曉陽(yáng)，顧家銘，等. 高速角接觸球軸承保持架不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)機(jī)理分析［J］. 振動(dòng)與沖擊，2019，38（10）：233-242.

［12］ TU W B， HE H B， LUO Y. Dynamic skidding behavior of rolling elements under bearing steady working conditions［J］. Journal of Vibration and Shock， 2019， 38（6）： 94-99.

［13］ CUI Y C， DENG S E， ZHANG W H. The impact of roller dynamic unbalance of high-speed cylindrical roller bearing on the cage nonlinear dynamic characteristics［J］. Mechanism and Machine Theory，2017，118：65-83.

［14］ CHEN X L，JIANG S，DENG Y，et al. Dynamics analysis of 2-DOF complex planar mechanical system with joint clearance and flexible links［J］. Nonlinear Dynamics，2018，93（3）：1009-1034.