摘要：該文研究一類帶非齊次記憶項拋物方程的柯西問題，討論非線性項和非齊次項對整體解存在性的影響。當(dāng)非線性項指數(shù)增長高于某一值時，利用壓縮映射原理，證明了整體解的存在唯一性；當(dāng)非線性項指數(shù)增長低于某一值時，利用測試函數(shù)法，證明了解在有限時刻爆破。

關(guān)鍵詞：柯西問題；壓縮映射原理；測試函數(shù)法；整體解；爆破

中圖分類號：O175.29 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：0253-2395（2024）05-0901-11

0 引言

本文研究如下非線性熱傳導(dǎo)方程的柯西問題

其中γ∈（0，1）， pgt;1， α∈R， a（ t ）為（ 0，∞ ）→[ 0，∞ ）連續(xù)且局部可積的函數(shù)，w（ x ） 為RN → R 連續(xù)且全局可積的函數(shù)。上述模型可以用于表示生物物種理論以及諸多物理現(xiàn)象［1-5］，如生物物種的種群密度、流體的擴散濃度、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象等。u （t，x） 表示化學(xué)反應(yīng)過程中的質(zhì)量密度或熱傳導(dǎo)過程中的溫度，記憶項∫0t （t - s）-γ| u （s） |p ds 可以描述過去一段時間內(nèi)的物理現(xiàn)象及反應(yīng)狀態(tài)，具有一定的“記憶”效應(yīng)。注意到記憶項具有如下性質(zhì)

參考文獻(xiàn)：

[1] HU B. Blow-up Theories for Semilinear Parabolic Equations[M]. Heidelberg： Springer， 2011.

[2] GALAKTIONOV V A， VáZQUEZ J L. The Problem ofBlow-up in Nonlinear Parabolic Equations[J]. DiscreteContinuous Dyn Syst A， 2002， 8（2）： 399-433. DOI： 10.3934/dcds.2002.8.399.

[3] QUITTNER P， SOUPLET P. Superlinear Parabolic Problems[M]. Birkh?user Basel： Springer Verlag， 2007. DOI：10.1007/978-3-7643-8442-5.

[4] MARTYNENKO A V， TEDEEV A F. Cauchy Problem fora Quasilinear Parabolic Equation with a Source Term andan Inhomogeneous Density[J]. Comput Math and MathPhys， 2007， 47（2）： 238-248. DOI： 10.1134/S096554250702008X.

[5] MARTYNENKO A V， TEDEEV A F. On the Behavior ofSolutions to the Cauchy Problem for a Degenerate ParabolicEquation with Inhomogeneous Density and a Source[J].Comput Math and Math Phys， 2008， 48（7）： 1145-1160.DOI： 10.1134/S0965542508070087.

[6] 閆瑞， 王靜玉. 具有時空時滯的反應(yīng)擴散方程行波解的穩(wěn)定性[J]. 山西大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2019， 42（3）： 13-28.DOI： 10.13451/j.cnki.shanxi.univ（nat.sci.）.2018.12.29.001.

YAN R， WANG J Y. Stability of Traveling Waves for aReaction-diffusion Equation with Spatio-temporal Delays[J]. J Shanxi Univ Nat Sci Ed， 2019， 42（3）： 13-28. DOI：10.13451/j.cnki.shanxi.univ（nat.sci.）.2018.12.29.001.

[7] SLIMENE B B， TAYACHI S， WEISSLER F B. Wellposedness，Global Existence and Large Time Behavior forHardy-Hénon Parabolic Equations[J]. Nonlinear Anal，2017， 152： 116-148. DOI： 10.1016/j.na.2016.12.008.

[8] PHAN Q H. Singularity and Blow-up Estimates viaLiouville-type Theorems for Hardy-Hénon ParabolicEquations[J]. J Evol Equ， 2013， 13（2）： 411-442. DOI：10.1007/s00028-013-0185-3.

[9] PINSKY R G. Existence and Nonexistence of Global Solutionsfor ut = Δu+a（x）up in Rd [J]. J Differ Equ， 1997， 133（1）： 152-177. DOI： 10.1006/jdeq.1996.3196.

[10] CAZENAVE T， DICKSTEIN F， WEISSLER F B. AnEquation Whose Fujita Critical Exponent is not Given byScaling[J]. Nonlinear Anal， 2008， 68（4）： 862-874. DOI：10.1016/j.na.2006.11.042.

[11] FUJITA H. On the Blowing up of Solutions of the CauchyProblem for ut - Δu = u1 + α[J]. J Fac Sci Univ Tokyo，1966， 13（2）： 109-124. DOI： 10.15083/00039873.

[12] KOBAYASHI K， SIRAO T， TANAKA H. On the Growingup Problem for Semilinear Heat Equations[J]. JMath Soc Japan， 1977， 29（3）： 407-424. DOI： 10.2969/jmsj/02930407.

[13] HAYAKAWA K. On Nonexistence of Global Solutions ofsome Semilinear Parabolic Differential Equations[J]. ProcJapan Acad Ser A Math Sci， 1973， 49（7）： 503-505. DOI：10.3792/pja/1195519254.

[14] JLELI M， KAWAKAMI T， SAMET B. Critical Behaviorfor a Semilinear Parabolic Equation with Forcing Term Dependingon Time and Space[J]. J Math Anal Appl， 2020，486（2）： 123931. DOI： 10.1016/j.jmaa.2020.123931.

[15] MAJDOUB M. Well-posedness and Blow-up for an InhomogeneousSemilinear Parabolic Equation[J]. Differ EquAppl， 2021（1）： 85-100. DOI： 10.7153/dea-2021-13-06.

[16] ALSHEHRI A， ALJABER N， ALTAMIMI H， et al. Nonexistenceof Global Solutions for a Nonlinear ParabolicEquation with a Forcing Term[J]. Opuscula Math， 2023， 43（6）： 741-758. DOI： 10.7494/opmath.2023.43.6.741.

[17] SUN， F Q， SHI P H. Global Existence and Non-existencefor a Higher-order Parabolic Equation with Time-fractionalTerm[J]. Nonlinear Anal Theory Methods Appl， 2012， 75（10）： 4145-4155. DOI： 10.1016/j.na.2012.03.005.

[18] CHEN W H， FINO A Z. A Competition on Blow-up forSemilinear Wave Equations with Scale-invariant Dampingand Nonlinear Memory Term[J]. Discrete Cont Dyn-S，2023， 16（6）： 1264-1285. DOI： 10.3934/dcdss.2022169.

基金項目：國家自然科學(xué)基金（11701477；11971394）