摘要：本文研究帶權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)， 首先給出帶權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)的表示和上同調(diào)。作為上同調(diào)的應(yīng)用， 研究帶權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)的單參數(shù)形式形變。

關(guān)鍵詞：帶權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti代數(shù)；表示；上同調(diào)；形變

中圖分類號：O152.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：0253-2395（2024）05-0912-11

0 引言

Lie-Yamaguti 代數(shù)的概念由Kinyon 和Weinstein［1］在研究Courant 代數(shù)體時提出。這種代數(shù)結(jié)構(gòu)可追溯到1954 年Nomizu［2］對齊次空間上不變仿射連通的研究，以及Yamaguti［3-4］對一般李三系和李三代數(shù)的工作。近年來，Lin 等［5］、Zhang 等［6］、Sheng 等［7-8］、Takahashi 等［9］學(xué)者研究了Lie-Yama?guti 代數(shù)的擬導(dǎo)子、擴(kuò)張、形變、復(fù)積結(jié)構(gòu)、辛結(jié)構(gòu)、quandle 模等內(nèi)容。

結(jié)合代數(shù)上羅- 巴算子的概念首次由Baxter［10］在研究概率論中浮動問題時提出。在李代數(shù)中，一個權(quán)為0 的羅- 巴算子在20 世紀(jì)80 年代作為經(jīng)典的楊- 巴克斯特方程的算子形式被獨(dú)立引入［11］。過去20 年，羅- 巴算子與洗牌積［12］、代數(shù)operads 分裂［13］、無窮小雙代數(shù)［14］、Hopf 代數(shù)［15］、Double 代數(shù)［16］和量子場論重整化［17］等數(shù)學(xué)物理眾多分支的聯(lián)系受到了廣泛關(guān)注。最近，帶權(quán)羅-巴結(jié)合代數(shù)［18］、帶權(quán)羅-巴Lie 代數(shù)［19］、帶權(quán)羅-巴pre-Lie 代數(shù)［20］、帶權(quán)羅-巴3-Lie 代數(shù)［21］等被廣泛研究。受上述工作啟發(fā)，本文引入帶權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)的概念，并給出帶權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)的表示和上同調(diào)。隨后，利用所得上同調(diào)研究帶權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)的形式形變。所得結(jié)論可認(rèn)為是帶權(quán)羅-巴Lie 代數(shù)［19］相應(yīng)結(jié)論的推廣。特別地，當(dāng)帶權(quán)羅-巴Lie-Yamagu?ti 代數(shù)的Lie 括積為平凡時，帶權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)自然成為帶權(quán)羅-巴李三系。

本文中所有向量空間和線性映射均在特征為0 的域Κ 上。

1 羅?巴Lie?Yamaguti 代數(shù)的表示

定義1［1］ 設(shè)L 為向量空間，[?，?] 和{?，?，?} 分別是L 上的二元和三元線性運(yùn)算，對任意的a，b，c，u，v，w ∈ L，滿足下列等式：

[ a，b ]=-[ b，a ]， （1）

{ a，b，c }=-{ b，a，c }， （2）

[ [ a，b ]，c ]+[ [ b，c ]，a ]+[ [ c，a ]，b ]+{ a，b，c }+{ b，c，a }+{ c，a，b }= 0， （3）

{ [ a，b ]，c，u }+{ [ b，c ]，a，u }+{ [ c，a ]，b，u }= 0， （4）

{ a，b，[ u，v ] }=[ { a，b，u }，v ]+[ u，{ a，b，v } ]， （5）

{ a，b，{ u，v，w } }={ { a，b，u }，v，w }+{ u，{ a，b，v }，w }+{ u，v，{ a，b，w } }， （6）

則稱（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 為Lie-Yamaguti 代數(shù)。

Lie-Yamaguti 代數(shù)的同態(tài)ψ：（ L，[?，?]，{?，?，?} ） → （ L′，[?，?]′，{?，?，?}'） 是線性映射， 且滿足ψ（ [ a，b ] ） =[ ψ（ a ），ψ（ b ） ]′，ψ（ { a，b，c } ） = { ψ（ a ），ψ（ b ），ψ（ c ） }′，?a，b，c ∈ L。

定義2［4］ 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 為Lie-Yamaguti 代數(shù)，V 為線性空間，線性映射ρ：L → End（V ） 和雙線性映射D，θ：L × L → End（V ），對任意的a，b，c，u，v ∈ L，滿足下列等式：

D（ a，b ）- θ （ b，a ）+ θ （ a，b ）+ ρ（ [ a，b ] ）- ρ（ a ） ρ（ b ）+ ρ（ b ） ρ（ a ）= 0， （7）

D（ [ a，b ]，c ）+ D（ [ b，c ]，a ）+ D（ [ c，a ]，b ）= 0， （8）

θ （ [ a，b ]，c ）- θ （ a，c ） ρ（ b ）+ θ （ b，c ） ρ（ a ）= 0， （9）

D（ a，b ） ρ（ c ）- ρ（ c ） D（ a，b ）- ρ（ { a，b，c } ）= 0， （10）

θ （ a，[ b，c ] ）- ρ（ b ）θ （ a，c ）+ ρ（ c ）θ （ a，b ）= 0， （11）

θ （ u，v ） D（ a，b ）- D（ a，b ）θ （ u，v ）+ θ （ { a，b，u }，v ）+ θ （ u，{ a，b，v } ）= 0， （12）

θ （ a，{ b，c，u } ）- θ （ c，u ）θ （ a，b ）+ θ （ b，u ）θ （ a，c ）- D（ b，c ）θ （ a，u ）= 0， （13）

則稱（V；ρ，D，θ ） 是L 的一個表示。此時，V 也稱L-模。

設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 為Lie-Yamaguti 代數(shù)，對于給定元a1，a2 ∈ L，定義線性映射ad：L → End（ L ）和雙線性映射?，?：L × L → End（ L ） 如下：

ad（ a1 ）（ a3 ） ?[ a1，a3 ]，?（ a1，a2 ）（ a3 ） ?{ a1，a2，a3 }，?（ a1，a2 ）（ a3 ） ?{ a3，a1，a2 }，?a3 ∈ L，則（ L；ad，?，? ） 為（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 的一個表示，稱為伴隨表示。

接下來我們引入帶權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，并給出它的表示。

定義3 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 為Lie-Yamaguti 代數(shù)，對任意λ ∈ Κ：

（i）如果線性算子T：L → L，對任意a，b，c ∈ L 滿足下列等式：

[ Ta，Tb ]= T （ [ Ta，b ]+[ a，Tb ]+ λ [ a，b ] ）， （14）

{ Ta，Tb，Tc }= T （ { Ta，Tb，c }+{ Ta，b，Tc }+{ a，Tb，Tc }+λ { Ta，b，c }+ λ { a，Tb，c }+ λ { a，b，Tc }+ λ2 { a，b，c } ）。（15）

則稱T 是L 上λ 權(quán)羅-巴算子。進(jìn)一步地，稱（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)。

（ii）如果線性算子dL：L → L，對任意a，b，c ∈ L 滿足下列等式：

dL （ [ a，b ] ）=[ a，dL （ b ） ]+[ dL （ a ），b ]+ λ [ dL （ a ），dL （ b ） ]，dL （ { a，b，c } ）={ dL （ a ），b，c }+{ a，dL （ b ），c }+{ a，b，dL （ c ） }+ λ { a，dL （ b ），dL （ c ） }+λ { dL （ a ），b，dL （ c ） }+ λ { dL （ a ），dL （ b ），c }+ λ2 { dL （ a ），dL （ b ），dL （ c ） } 。

則稱dL 是L 上λ 權(quán)微分算子。進(jìn)一步地，稱（ L，[?，?]，{?，?，?}，dL ） 為λ 權(quán)微分Lie-Yamaguti 代數(shù)。

命題1 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 為Lie-Yamaguti 代數(shù)， 一個可逆線性算子T 是L 上的λ 權(quán)羅-巴算子當(dāng)且僅當(dāng)T-1 是L 上的λ 權(quán)微分算子。

證明 設(shè)T 是L 上的可逆λ 權(quán)羅- 巴算子，則對任意a，b，c ∈ L，記x = T-1 （ a ），y = T-1 （ b ），z =T-1 （ c ），由等式（14）和（15）有

T-1 （ [ a，b ] ）= T-1 （ [ Tx，Ty ] ）= T-1T （ [ Tx，y ]+[ x，Ty ]+ λ [ x，y ] ）=[ a，T-1 （ b ） ]+[ T-1 （ a ），b ]+ λ [ T-1 （ a ），T-1 （ b ） ]，T-1 （ { a，b，c } ）= T-1 （ { Tx，Ty，Tc } ）=T-1T （ { Tx，Ty，z }+{ Tx，y，Tz }+{ x，Ty，Tz }+λ { Tx，y，z }+ λ { x，Ty，z }+ λ { x，y，Tz }+ λ2 { x，y，z } ）={ a，b，T-1 （ c ） }+{ a，T-1 （ b ），c }+{ T-1 （ a ），b，c }+ λ { a，T-1 （ b ），T-1 （ c ） }+λ { T-1 （ a ），b，T-1 （ c ） }+ λ { T-1 （ a ），T-1 （ b ），c }+ λ2 { T-1 （ a ），T-1 （ b ），T-1 （ c ） } 。

因此，T-1 是L 上的λ 權(quán)微分算子。反之，類似可得。證畢

例1 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，則

（i）（ L，[?，?]，{?，?，?}，IdL ） 為-1 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)。

（ii）對任意λ′ ∈ Κ，（ L，[?，?]，{?，?，?}，λ′T ） 為λ′λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)。

（iii）（ L，[?，?]，{?，?，?}，-λ - T ） 為λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)。

（iv）對任意L 的自同構(gòu)ψ ∈ Aut（ L ），（ L，[?，?]，{?，?，?}，ψ-1 ° T ° ψ ） 為λ 權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti代數(shù)。

定義4 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ）和（ L′，[?，?]′，{ ?，?，?}'，T′）為兩個λ權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti代數(shù)。f：L → L′ 為Lie-Yamaguti 代數(shù)的同態(tài)，且滿足f ° T = T ′ ° f，則稱f 是λ 權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)L 到L′ 的同態(tài)。

定義5 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，（V；ρ，D，θ ） 為Lie-Yamaguti 代數(shù)（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 的一個表示，如果存在線性算子TV：V → V，對任意a，b ∈ L，u ∈ V 滿足下列等式：

ρ（Ta ）（TV u ）= TV （ ρ（Ta ） u + ρ（ a ）（TV u ）+ λρ（ a ） u ），D（Ta，Tb ）（TV u ）= TV （ D（Ta，Tb ） u + D（Ta，b ）TV u + D（ a，Tb ）TV u + λD（Ta，b ） u +λD（ a，Tb ） u + λD（ a，b ）TV u + λ2 D（ a，b ） u ），θ （Ta，Tb ）（TV u ）= TV （θ （Ta，Tb ） u + θ （Ta，b ）TV u + θ （ a，Tb ）TV u +λθ （Ta，b ） u + λθ （ a，Tb ） u + λθ （ a，b ）TV u + λ2θ （ a，b ） u ），

則稱（V；ρ，D，θ ） 是λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 的一個表示。

顯然，（ L；ad，?，?，T ） 是λ 權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 的一個表示，稱為伴隨表示。

例2 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 為Lie-Yamaguti 代數(shù)，（V；ρ，D，θ ） 為它的一個表示，則（V；ρ，D，θ，IdV ）是-1 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)（ L，[?，?]，{?，?，?}，IdL ） 的一個表示。

例3 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，（V；ρ，D，θ，TV ） 為它的一個表示，則對任意λ′ ∈ Κ，（V；ρ，D，θ，λ′TV ） 是λ′λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)（ L，[?，?]，{?，?，?}，λ′T ） 的一個表示。

例4 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，（Vi；ρi，Di，θi，TVi ）i ∈ I 為它的一族表示，則（ ⊕i ∈ IVi；（ ρi ）i ∈ I，（ Di ）i ∈ I，（ θi ）i ∈ I，⊕i ∈ ITVi ） 是λ 權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 的一個表示。

命題2 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，（V；ρ，D，θ，TV ） 為它的一個表示，則（ L⊕V，[?，?]ρ，{?，?，?}θ，T⊕TV ） 是λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，其中對任意a，b，c ∈ L，u，v，w ∈ V，算子[?，?]ρ，{?，?，?}θ，T⊕TV 定義如下

[ a + u，b + v ]ρ =[ x，y ]+ ρ（ a ） v - ρ（ b ） u，{ a + u，b + v，c + w }θ ?{ a，b，c }+ D（ a，b ） w + θ （ b，c ） u - θ （ a，c ） v，T⊕TV （ a + u ）? Ta + TV u。

（ L⊕V，[?，?]ρ，{?，?，?}θ，T⊕TV ） 稱為半直積λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)。

證明 對任意a，b，c ∈ L，u，v，w ∈ V，我們有

[ T⊕TV （ a + u ），T⊕TV （ b + v ） ]ρ =[ Ta，Tb ]+ ρ（Ta ）TV v - ρ（Tb ）TV u =T [ Ta，b ]+ TV （ ρ（Ta ） v - ρ（ b ）TV u ）+ T [ a，Tb ]+TV （ ρ（ a ）TV v - ρ（Tb ） u ）+ λ（T [ a，b ]+ TV （ ρ（ a ） v - ρ（ b ） u ） ）=T⊕TV （ [ T⊕TV （ a + u ），b + v ]ρ +[ a + u，T⊕TV （ b + v ） ]ρ + λ [ a + u，b + v ]ρ ），{ T⊕TV （ a + u ），T⊕TV （ b + v ），T⊕TV （ c + w ） }θ ={ Ta，Tb，Tc }+ D（Ta，Tb ）TVw + θ （Tb，Tc ）TV u - θ （Ta，Tc ）TV v =T { Ta，Tb，c }+ TV （ D（Ta，Tb ） w + θ （Tb，c ）TV u - θ （Ta，c ）TV v ）+T { Ta，b，Tc }+ TV （ D（Ta，b ）TVw + θ （ b，Tc ）TV u - θ （Ta，Tc ） v ）+T { a，Tb，Tc }+ TV （ D（ a，Tb ）TVw + θ （Tb，Tc ） u - θ （ a，Tc ）TV v ）+λT { Ta，b，c }+ λTV （ D（Ta，b ） w + θ （ b，c ）TV u - θ （Ta，c ） v ）+λT { a，Tb，c }+ λTV （ D（ a，Tb ） w + θ （Tb，c ） u - θ （ a，c ）TV v ）+λT { a，b，Tc }+ λTV （ D（ a，b ）TVw + θ （ b，Tc ） u - θ （ a，Tc ） v ）+λ2T { a，b，c }+ λ2TV （ D（ a，b ） w + θ （ b，c ） u - θ （ a，c ） v ）=T⊕TV （ { T⊕TV （ a + u ），T⊕TV （ b + v ），c + w }θ +{ T⊕TV （ a + u ），b + v，T⊕TV （ c + w ） }θ +{ a + u，T⊕TV （ b + v ），T⊕TV （ c + w ） }θ + λ { T⊕TV （ a + u ），b + v，c + w }θ +λ { a + u，T⊕TV （ b + v ），c + w }θ + λ { a + u，b + v，T⊕TV （ c + w ） }θ + λ2 { a + u，b + v，c + w }θ ）。

這表明T⊕TV 是L⊕V 上λ 權(quán)羅-巴算子。因此，命題成立。證畢。

命題3 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，對任意a，b，c ∈ L，定義新的運(yùn)算如下：

[ a，b ]T =[ Ta，b ]+[ a，Tb ]+ λ [ a，b ]，{ a，b，c }T ={ Ta，Tb，c }+{ Ta，b，Tc }+{ a，Tb，Tc }+ λ { Ta，b，c }+ λ { a，Tb，c }+ λ { a，b，Tc }+ λ2 { a，b，c } 。

則

（i） （ L，[?，?]T，{?，?，?}T ） 是新的Lie-Yamaguti 代數(shù)，記為LT。

（ii） （ L，[?，?]T，{?，?，?}T，T ） 是λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)。進(jìn)一步地，T 是（ L，[?，?]T，{?，?，?}T，T ）到（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 的λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)同態(tài)。

證明 （i）直接驗(yàn)證運(yùn)算[?，?]T，{?，?，?} 滿足等式（1）—（6）即可。

（ii） 對任意a，b，c ∈ LT，注意到

[ Ta，Tb ]T =[ T 2 a，Tb ]+[ Ta，T 2b ]+ λ [ Ta，Tb ]= T （ [ T 2 a，b ]+[ Ta，Tb ]+ λ [ a，b ] ）+ T （ [ Ta，Tb ]+[ a，T 2b ]+ λ [ a，Tb ]+ λT （ [ Ta，b ]+[ a，Tb ]+ λ [ a，b ]= T （ [ Ta，b ]T +[ a，Tb ]T + λ [ a，b ]T ），{ Ta，Tb，Tc }T ={ T 2 a，T 2b，Tc }+{ T 2 a，Tb，T 2 c }+{ Ta，T 2b，T 2 c }+λ { T 2 a，Tb，Tc }+ λ { Ta，T 2b，Tc }+ λ { Ta，Tb，T 2 c }+ λ2 { Ta，Tb，Tc }=T （ { Ta，Tb，c }T +{ Ta，b，Tc }T +{ a，Tb，Tc }T +λ { Ta，b，c }T + λ { a，Tb，c }T + λ { a，b，Tc }T + λ2 { a，b，c }T ）。

從而，T 是LT 上λ 權(quán)羅-巴算子。進(jìn)一步地，由等式（14）和（15），對任意a，b，c ∈ LT，有T （ [ a，b ]T ）=[ Ta，Tb ]，T （ { a，b，c }T ）={ Ta，Tb，Tc } 。

因此，T 是（ L，[?，?]T，{?，?，?}T，T ） 到（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 的λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)同態(tài)。證畢。

定理1 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)，（V；ρ，D，θ，TV ） 為它的一個表示。對任意a，b ∈ L，定義新的映射ρT：L → End（V ），DT，θT：L × L → End（V ） 如下：

ρT （ a ） u ? ρ（Ta ） u + ρ（ a ）（TV u ）+ λρ（ a ） u，DT （ a，b ） u = D（Ta，Tb ） u - TV （ D（Ta，b ） u + D（ a，Tb ） u + λD（ a，b ） u ），θT （ a，b ） u = θ （Ta，Tb ） u - TV （θ （Ta，b ） u + θ （ a，Tb ） u + λθ （ a，b ） u ），?u ∈ V。

則（V；ρT，DT，θT，TV ） 是λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)（ LT，[?，?]T，{?，?，?}T，T ） 的一個表示。

證明 首先直接驗(yàn)證映射ρT，DT，θT 滿足等式（7）—（13），即驗(yàn)證（V；ρT，DT，θT ） 是Lie-Yamaguti代數(shù)LT 的一個表示。進(jìn)一步地，對任意a，b，c ∈ LT，u ∈ V 有

ρT （Ta ）TV u = ρ（T 2 a ）TV u + ρ（Ta ）T2Vu + λρ（Ta ）TV u =TV （ ρ（T 2 a ） u + ρ（Ta ）TV u + λρ（Ta ） u ）+ TV （ ρ（Ta ）TV u + ρ（ a ）T2Vu + λρ（ a ）TV u ）+λTV （ ρ（Ta ） u + ρ（ a ）TV u + λρ（ a ） u ）= TV （ ρT （Ta ） u + ρT （ a ）TV u + λρT （ a ） u ），DT （Ta，Tb ）TV u =D（T 2 a，T 2b ）TV u - TV （ D（T 2 a，Tb ）T2Vu + D（Ta，T 2b ）TV u + λD（Ta，Tb ）TV u ）=TV （ D（T 2 a，T 2b ） u + D（T 2 a，Tb ）TV u + D（Ta，T 2b ）TV u +λD（T 2 a，Tb ） u + λD（Ta，T 2b ） u + λD（Ta，Tb ）TV u + λ2 D（Ta，Tb ） u ）-T2V（ D（T 2 a，Tb ） u + D（T 2 a，b ）TV u + D（Ta，Tb ）TV u +λD（T 2 a，b ） u + λD（Ta，Tb ） u + λD（Ta，b ）TV u + λ2 D（Ta，b ） u ）-T2V（ D（Ta，T 2b ） u + D（ a，T 2b ）TV u + D（Ta，Tb ）TV u +λD（ a，T 2b ） u + λD（Ta，Tb ） u + λD（ a，Tb ）TV u + λ2 D（ a，Tb ） u ）-λT2V（ D（Ta，Tb ） u + D（Ta，b ）TV u + D（ a，Tb ）TV u +λD（Ta，b ） u + λD（ a，Tb ） u + λD（ a，b ）TV u + λ2 D（ a，b ） u ）=TV （ DT （Ta，Tb ） u + DT （Ta，b ）TV u + DT （ a，Tb ）TV u + λDT （Ta，b ） u +λDT （ a，Tb ） u + λDT （ a，b ）TV u + λ2 DT （ a，b ） u ），θT （Ta，Tb ）TV u =θ （T 2 a，T 2b ）TV u - TV （θ （T 2 a，Tb ）T2Vu + θ （Ta，T 2b ）TV u + λθ （Ta，Tb ）TV u ）=TV （θT （Ta，Tb ） u + θT （Ta，b ）TV u + θT （ a，Tb ）TV u + λθT （Ta，b ） u +λθT （ a，Tb ） u + λθT （ a，b ）TV u + λ2θT （ a，b ） u ）。

因此，（V；ρT，DT，θT，TV ） 是λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti 代數(shù)（ LT，[?，?]T，{?，?，?}T，T ） 的一個表示。

2 羅?巴Lie?Yamaguti 代數(shù)的上同調(diào)

首先回顧Lie-Yamaguti 代數(shù)的上同調(diào)理論［4］。

設(shè)（V；ρ，D，θ ） 為Lie-Yamaguti 代數(shù)（ L，[?，?]，{?，?，?} ） 的一個表示，（ n + 1）-上鏈空間定義為：

則稱（ μt，νt，Tt ） 與（ μ′t，ν ′t，Tt '） 等價。

特別地，如果（ μt，νt，Tt ） 與（ μ′t =[?，?]，ν′t={?，?，?}，T ′ t =T ）等價， 則稱形變（ μt，νt，Tt ） 為平凡的。進(jìn)一步地，如果λ 權(quán)羅- 巴Lie-Yamaguti 代數(shù)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 每一個單參數(shù)形式形變都是平凡的，則稱L 為剛性的。

定理4 設(shè)（ μt，ν t，Tt ） 和（ μ′t，ν′t，Tt '） 為兩個等價單參數(shù)形式形變，則它們的無窮小屬于同一個上同調(diào)類。

證明 設(shè)?t：（ L [ [ t ] ]，μ′t，ν ′t，T ′ t ）→（ L [ [ t ] ]，μt，ν t，Tt ） 為同構(gòu)映射。展開等式（32）兩邊t1 的系數(shù)，可得：

μ′1 - μ1 = μ0 ° （ ?1 ? IdL ）+ μ0 ° （ IdL ? ?1 ）- ?1 ° μ0，ν′1 - ν1 = ν0 ° （ ?1 ? IdL ? IdL ）+ ν0 ° （ IdL ? IdL ? ?1 ）+ ν0 ° （ IdL ? ?1 ? IdL ）- ?1 ° ν0，T1′-T1=T ° ?1-?1 ° T。

因此，我們有（（ μ′1，ν′1 ），T ′ 1 ）-（（ μ1，ν 1 ），T1 ）=（ δ1 （ ?1 ），-Φ1 （ ?1 ） ）= d1 （ ?1 ）∈ C·RBLYλ （ L ）。證畢。

定理5 設(shè)（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 為λ 權(quán)羅-巴Lie-Yamaguti代數(shù)且H 2RBLYλ （ L ） = 0，則L 為剛性的。

證明 設(shè)（ μt，νt，Tt ） 為（ L，[?，?]，{?，?，?}，T ） 的單參數(shù)形式形變，則由定理3 可知，無窮?。?μ1，ν 1，T1 ） 是2- 上閉鏈。由H 2RBLYλ （ L ） = 0，存在?1 ∈ C1RBLYλ （ L ），使得（（ μ1，ν 1 ），T1 ） = d1 （ ?1 ）。即（ μ1，ν 1 ） = δ1 （ ?1 ） = （ δ1I （ ?1 ），δ1II （ ?1 ），T1 =-Φ1 （ ?1 ）。

令?t = IdL - t?1：L [ [ t ] ]- L [ [ t ] ]，定義

μ′t = ?-1t ° μt °（ ?t ? ?t ），ν′t = ?-1t ° νt °（ ?t??t??t ），Tt′=?-1t ° Tt ° ?t， （33）

則（ μ′t，ν ′t，Tt '） 等價于（ μt，νt，Tt ）。此外，由等式（33）可得μ′t = 0，ν′t = 0，T1 ' = 0，即

μ′t = μ0 + t2 μ′2 + …，νt′=ν0+t2ν′2+…，Tt′=T+t2T2′+…。

由等式（24）—（31），（ μ′2，ν ′2，T ′ 2 ）仍然是2-上閉鏈。重復(fù)上述論證，（ μt，νt，Tt ） 等價于（ μ0，ν 0，T ）。證畢。

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