[摘 要] 數(shù)列是高考必考內(nèi)容，涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要求考生掌握方法技巧、規(guī)律分析、運(yùn)算推理和思路構(gòu)建. 學(xué)生探究解題時(shí)應(yīng)深入理解考點(diǎn)，總結(jié)方法策略，并積累解題經(jīng)驗(yàn). 研究者通過分析一道考題，總結(jié)求解數(shù)列前n項(xiàng)和的方法.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列考題;通項(xiàng)公式;求和方法

問題綜述

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，高考每年都有針對(duì)性的命題考查，涉及數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和，以及函數(shù)和不等式的結(jié)合. 數(shù)列問題解析對(duì)學(xué)生的方法技巧的要求較高，需要掌握常規(guī)數(shù)列求法，以及特殊情形下的放縮、拆解等技巧.

由于數(shù)列解析涉及大量運(yùn)算，因此要求學(xué)生運(yùn)算清晰，能運(yùn)用簡算技巧推導(dǎo)和總結(jié)規(guī)律. 本文建議總結(jié)題型方法，結(jié)合實(shí)例加強(qiáng)練習(xí)，形成解決數(shù)列問題的策略.

示例探究

2023年全國高考甲卷理數(shù)第17題為數(shù)列壓軸題，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法. 問題難度一般，但所涉及的知識(shí)和方法是數(shù)列內(nèi)容的核心，具有較高的研究價(jià)值. 建議以該考題為例進(jìn)行探究剖析，拓展總結(jié)解法.

1. 考題探究

（2023年全國高考甲卷理數(shù)第17題）已知數(shù)列{a}中，a=1，設(shè)S為{a}前n項(xiàng)和，2S=na.

（1）求{a}的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列

的前n項(xiàng)和T.

2. 過程解析

（1）對(duì)n進(jìn)行分類討論，具體如下：

當(dāng)n=1時(shí)，2a=a，即a=0;

當(dāng)n=3時(shí)，2（1+a）=3a，即a=2;

當(dāng)n≥2時(shí)，2S=（n-1）a，所以2（S-S）=na-（n-1）a=2a，化簡得（n-2）a=（n-1）a;

當(dāng)n≥3時(shí)，==…==1，即a=n-1.

當(dāng)n=1，2，3時(shí)都滿足上式，所以a=n-1（n∈N*）.

（2）因?yàn)?，所以T=1×

+2×

+3×

+…+n×

，T=1×

+2×

+…+（n-1）×

+n×

. 兩式相減可得T=

+

+

+…+

-n×

=-n×

=1-

1+

，即T=2-（2+n）

，n∈N*.

3. 命題剖析

上述考題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，結(jié)合數(shù)列規(guī)律對(duì)核心條件進(jìn)行剖析轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

第（1）問：已知2S=na，求{a}的通項(xiàng)公式，實(shí)則是分析a與S的關(guān)系.

①數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=a+a+…+a;②數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式a=S

，n=1，

S

-S，n≥2.

已知S求a，可分三步：第一步，用a=S求出a;第二步，用n-1替換2S=na中的n，得到一個(gè)新的關(guān)系，再用a=S-S（n≥2）求出n≥2時(shí)a的表達(dá)式;第三步，檢驗(yàn)n=1時(shí)a的表達(dá)式可否與n≥2時(shí)a的表達(dá)式合并.

第（2）問：求數(shù)列

的前n項(xiàng)和T. 由于數(shù)列

不屬于常規(guī)數(shù)列，故無法用公式法求解Tn. 剖析=，可知其項(xiàng)是等差數(shù)列{n}和等比數(shù)列

的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積，故可用錯(cuò)位相減法求解Tn.

方法探索

數(shù)列的前n項(xiàng)和的求解方法眾多，除錯(cuò)位相減法外，常用的還有倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法和插入新數(shù)列混合求和法等. 探究學(xué)習(xí)要求學(xué)生深入理解解法，掌握構(gòu)建過程，并結(jié)合問題特征進(jìn)行求解.

1. 倒序相加法

倒序相加法：若某個(gè)數(shù)列的首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，則可用倒序相加法求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)出來的.

倒序相加，顧名思義就是先“倒序”再“相加”，因此具體使用時(shí)分兩步：第一步，針對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和，先正序書寫，即S=a+a+…+a，然后倒序書寫，即S=a+a+…+a;第二步，兩式相加，變形整理，求得S.

例1 已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x）+f（1-x）=1，若數(shù)列{a}滿足a=f（0）+f

+f

+…+f

+f（1），則數(shù)列{a}的前20項(xiàng)和為______.

思路分析 根據(jù)題意可知f（x）+f（1-x）=1，變量“x”和“1-x”始終滿足 x+1-x=1. 又a=f（0）+f

+f

+…+f

+f（1），故可使用倒序相加法求解.

解答 正序書寫，即a=f（0）+f

+f

+…+f

+f（1）;倒序書寫，即a=f（1）+f

+f

+…+f

+f（0）. 兩式相加，即2a=[f（0）+f（1）]+

f

+f

+

f

+f

+…+

f

+f

+[f（0）+f（1）].

變形整理，得2a=1+1+1+…+1?2a=n+1?a=.

分析可知，{a}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為=115.

方法點(diǎn)撥 采用倒序相加法求解，關(guān)鍵是挖掘數(shù)列關(guān)系式的特征. 使用時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是確保思路清晰，分兩步構(gòu)建過程;二是變形整理時(shí)注意“相抵相消”，簡化運(yùn)算.

2. 裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法：把某個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式拆分成兩個(gè)式子之差，在求和時(shí)抵消中間的一些項(xiàng)，最終求得其和. 使用時(shí)先“裂項(xiàng)”再“相消”，故分兩步：第一步，裂項(xiàng)，即把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆分成兩個(gè)式子之差;第二步，相消，即通過累加，抵消中間的一些項(xiàng)，再整理構(gòu)“型”.

例2 已知等差數(shù)列{a}滿足a-a>0（n∈N*），且a+a+a=15，a，a，a成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;

（2）若b=，求數(shù)列的前n項(xiàng)和S.

思路分析 第（1）問：求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式，直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可完成;第（2）問：核心之問，需要結(jié)合第（1）問分析bn的特征，再確定具體的求和方法.

解答 （1）設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，因?yàn)閍，a，a成等比數(shù)列，所以（a+3d）2=（a+d）（a+7d），整理得（d-a）d=0. 又a-a>0，所以d>0，a=d. 而a+a+a=3a+12d=15，即15d=15，所以a=d=1. 所以a=n.

（2）因?yàn)閍=n，所以b==. 該式具有明顯的可用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和的特征，但裂項(xiàng)是解題難點(diǎn)，裂項(xiàng)時(shí)要把握住“型”. 具體求解過程如下：

先用待定系數(shù)法裂項(xiàng)，即設(shè)b==k

-

. 然后通過通分，逆向求出k值，即k

-

=k·=k·=k·，與b=對(duì)比分析可得k=1.

后續(xù)裂項(xiàng)求和，得S=

-

+

-

+

-

+…+

-

+

-

+

-

=-1. 所以的前n項(xiàng)和S=-1.

方法點(diǎn)撥 數(shù)列的通項(xiàng)公式符合裂項(xiàng)的特征，屬于指數(shù)型. 裂項(xiàng)是解題難點(diǎn)，可用待定系數(shù)法加以檢驗(yàn).

對(duì)于指數(shù)型裂項(xiàng)求和問題，可細(xì)分為指數(shù)式在分子和指數(shù)式在分母兩種情形，其裂項(xiàng)方式如下：

①若指數(shù)式在分子，例如b==-，分母分別為n+1和n+2，分母大的寫前面，分母小的寫后面;

②若指數(shù)式在分母，例如b==-，分母分別為n·2n和（n+1）·2n+1，分母小的寫前面，分母大的寫后面.

3. 分組求和法

分組求和法：若某個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式組成的，則可用分組求和法求該數(shù)列的前n項(xiàng)和. 分組求和法先“分別求和”，再“相加相減”，因此使用時(shí)同樣分兩步：第一步，將通項(xiàng)公式拆分成多個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;第二步，分別求和后加減組合.

例3 已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S=1-2a，且a=.

（1）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;

（2）b=log

a，n為奇數(shù)，

a，n為偶數(shù)（n∈N*），求數(shù)列的前2n項(xiàng)和T2n.

思路分析 第（1）問：求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式，利用作差法即可完成;第（2）問：求數(shù)列的前2n項(xiàng)和T2n，注意到數(shù)列的奇偶通項(xiàng)不同，可考慮使用分組求和法.

解答 （1）在數(shù)列{a}中，已知S=1-2a，則S=1-2a. 兩式作差，可得S-S=（1-2a）-（1-2a），即a=a. 當(dāng)n=1時(shí)，S=1-2a，即a=. 又a=a=，所以數(shù)列{a}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 所以a=·

=.

（2）由（1）問可知a=，所以的通項(xiàng)公式b=n，n為奇數(shù)，

，n為偶數(shù)（n∈N*）. 所以T=（b+b+…+b）+（b+b+…+b）=（1+3+…+2n-1）+

++…+

=+=n2+-. 所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和T2n=n2+-.

方法點(diǎn)撥 求解時(shí)要注意到T2n為偶數(shù)項(xiàng)和，最后一項(xiàng)一定是偶數(shù)項(xiàng);若求的是T，最后一項(xiàng)是奇數(shù)項(xiàng)還是偶數(shù)項(xiàng)，則需要分類討論.

分組求和法常用于兩種類型：

類型1：特殊數(shù)列，即數(shù)列通項(xiàng)公式是c=a±b的形式，其中a，b是等差數(shù)列或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式.

類型2：數(shù)列由奇、偶項(xiàng)組合而成，即數(shù)列通項(xiàng)公式是c=

a，n為奇數(shù)，

b，n為偶數(shù)的形式（an，bn同上述一樣）. 本例就屬于該種類型.

4. 插入新數(shù)列混合求和法

插入新數(shù)列混合求和法：若某個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的關(guān)系不連續(xù)，插入新數(shù)列后可以轉(zhuǎn)化為關(guān)系連續(xù)的數(shù)列求和.

例4 已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S滿足S=1，S=4，S+S=2（S+1）.

（1）求{a}的通項(xiàng)公式;

（2）在a與a之間插入一項(xiàng)b，使a，b，a成等比數(shù)列，且公比為q（q>0），求數(shù)列{lnq}的前n項(xiàng)和T.

思路分析 第（1）問：求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式，解題關(guān)鍵是變形S+S=2（S+1），得到關(guān)系式a-a=2. 第（2）問：由題意可知（2n-1）q=2n+1?q=，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得2lnq=ln，再分析其特征，明確求和方法.

解答 （1）數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S滿足S+S=2（S+1），則（S-S）-（S-S）=2，可得a-a=2. 又S=1，S=4，則a-a=S-2S=2. 所以{a}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，可得a=2n-1. 所以{a}的通項(xiàng)公式為a=2n-1.

（2）因?yàn)閍，b，a成等比數(shù)列，且公比為q，所以an·q=an+1. 因?yàn)閍=2n-1，所以（2n-1）q=2n+1，即q=. 因?yàn)閝>0，則2lnq=ln，可得lnq=ln=[ln（2n+1）-ln（2n-1）]，化簡得T=lnq+lnq+…+lnq=[ln3-ln1+ln5-ln3+…+ln（2n+1）-ln（2n-1）]=ln（2n+1）. 所以數(shù)列{lnq}的前n項(xiàng)和為T=ln（2n+1）.

方法點(diǎn)撥 插入新數(shù)列混合求和法是一種特殊的數(shù)列重組方法，求解時(shí)需明確兩點(diǎn)：一是插入數(shù)列的位置，明確前后關(guān)系;二是重組數(shù)列的特征，可通過數(shù)列關(guān)系式整合變形來確定.

插入新數(shù)列的混合形式多樣，常見的有等比型、等差型和混合型，具體求解時(shí)可綜合解法，混合構(gòu)建.

寫在最后

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，涉及多種考查角度. 掌握其通項(xiàng)公式和求和技巧對(duì)解題至關(guān)重要. 建議將探究學(xué)習(xí)分為兩個(gè)階段進(jìn)行指導(dǎo)：階段一，結(jié)合考題類型探索高考考向、重點(diǎn)知識(shí)和方法技巧;階段二，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合方法策略進(jìn)行實(shí)例探索，強(qiáng)化應(yīng)用.