摘要： 在空域目標(biāo)角度估計中，分辨率受陣列孔徑的限制，依靠增加陣元數(shù)量提高分辨率會增加系統(tǒng)成本。為了在受限陣列尺寸中減少陣元數(shù)量，基于壓縮感知（compressive sensing， CS）理論，提出了一種超分辨角度估計算法。首先建立陣列接收信號模型并構(gòu)造冗余字典，然后利用目標(biāo)空間域稀疏先驗信息將目標(biāo)角度估計問題建模為優(yōu)化問題，最后設(shè)計低復(fù)雜度算法對優(yōu)化問題求解。所提算法通過貝葉斯CS理論推導(dǎo)了正則化系數(shù)，保證了算法的噪聲抑制性能，通過共軛梯度運(yùn)算及Hadamard乘積提高了算法效率。所提算法可利用較少快拍在信號數(shù)目未知的條件下，實現(xiàn)高精度角度估計。仿真結(jié)果和實測數(shù)據(jù)驗證了所提算法的有效性。

關(guān)鍵詞： 陣列信號處理; 壓縮感知; 波達(dá)方向估計; 波束形成

中圖分類號： TN 911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.01

Low complexity super-resolution angle estimation method based on compressive sensing

WU Min^1，2， LI Zihao^1，2， HAO Chengpeng^1，2，*， HU Qiao³

（1. Institute of Acoustics， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100190， China; 2. University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China; 3. School of Mechanical Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract： In aerial target angle estimation， the resolution is constrained by the aperture length. Increasing the number of array elements to improve the resolution will increase the system lost. To reduce the number of elements in the limited array size， a novel algorithm of super-resolution angle estimation is addressed based on compressive sensing （CS） theory. The array received signal model is established and the redundant dictionary is formed. By exploiting the sparse prior information of the observation area， the target angle estimation problem is converted into the optimization problem. The direction of arrival of targets can be estimated with accuracy via an iterative optimization algorithm. In the proposed algorithm， the regularization coefficient is derived by Bayesian CS theory to ensure the noise robustness of the algorithm. Besides， the efficiency of the proposed algorithm is improved by using the conjugate gradient algorithm and Hadamard product. The effectiveness of the proposed algorithm is verified by simulation and measured data.

Keywords： array signal processing; compressive sensing （CS）; direction of arrival （DOA） estimation; beam forming

0 引 言

隨著聲納技術(shù)的高速發(fā)展，陣列信號處理可實現(xiàn)對水下目標(biāo)的高分辨探測和定位，其基本原理是利用陣元傳感器接收各個方向的信號，估計信號的到達(dá)方向（direction of arrival， DOA）角是陣列信號處理的重要任務(wù)，以獲取信號源的信源數(shù)、角度等信息為目的^［1］。常見的DOA估計方法有時延求和（delay-and-sum， DAS）和最小方差無畸變（minimum variance distortion-less response， MVDR）算法。DAS通過補(bǔ)償各通道時延差后求和得到波束輸出，其計算復(fù)雜度低，穩(wěn)健性高，但受孔徑大小的限制，空間分辨率較低。Capon^［2］提出的MVDR波束形成器，采用最小化噪聲方差準(zhǔn)則，在感興趣角度無失真輸出的前提下最小化輸出功率，形成空間譜，采用的線性模型對于噪聲的利用率較低，導(dǎo)致算法具有一定的局限性。20世紀(jì)70年代末涌現(xiàn)的一些子空間類方法對DOA估計研究具有劃時代意義，其中最具代表性的是多重信號分類（multiple signal classification， MUSIC）算法^［3］。該算法通過對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行空間分解，將空間劃分為信號子空間和噪聲子空間，利用子空間的正交特性構(gòu)造出空間譜圖并進(jìn)行譜峰搜索，從理論上克服了瑞利極限，可獲得目標(biāo)角度的超分辨估計，但自相關(guān)矩陣特征值分解以及譜峰搜索導(dǎo)致算法計算復(fù)雜度高?；谛D(zhuǎn)不變的信號參數(shù)估計（estimation of signal parameters by rotational invariance techniques， ESPRIT）的子空間類方法^［4］，此算法無需進(jìn)行譜峰搜索，降低了算法運(yùn)算量，增加了DOA估計方法的實用性。近年來，學(xué)者們在MUSIC算法和ESPRIT算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了許多改進(jìn)的子空間類方法^［5］。然而，子空間類算法通常需要滿足信號源數(shù)目已知、多快拍以及高信噪比（signal to noise ratio， SNR）的條件，在實際水下測向環(huán)境中應(yīng)用受限。同時，為避免角度估計模糊，要求陣列中相鄰兩個陣元間隔不大于信號半倍波長。

現(xiàn)代聲納工作頻率范圍較寬，工作頻率決定了陣元間隔以及陣元物理尺寸，當(dāng)信號頻率過高時，較小的陣元間距使得半波長物理布陣難以實現(xiàn)，且會產(chǎn)生較大的陣元互耦。隨著海洋探索的不斷深入，對于多目標(biāo)、集群目標(biāo)的水下探測需求日益增加，對角度分辨率要求越來越高，高分辨率意味著較大的陣列孔徑，一般需要大量的陣元來擴(kuò)大陣列的有效孔徑，大量的物理陣元會增加系統(tǒng)成本和復(fù)雜度。針對上述關(guān)于陣列尺寸、系統(tǒng)成本以及DOA估計精度之間存在的問題，稀疏陣列因其能夠克服陣元間隔的限制而得到巨大發(fā)展及廣泛應(yīng)用。稀疏陣列構(gòu)型方法打破了傳統(tǒng)均勻陣列構(gòu)型規(guī)則，按照某種規(guī)則進(jìn)行非均勻且稀疏放置，其陣元間隔不受半波長的限制，因而在同樣陣元條件下，稀疏陣列可獲得比傳統(tǒng)滿陣更大的陣列孔徑，提高空間角度分辨率和測角精度;換言之，在陣列尺寸一定時，采用稀疏陣列可以顯著減少陣元數(shù)量，從而降低系統(tǒng)成本。

當(dāng)陣元數(shù)目有限時，陣元對空域信號的采樣將不滿足奈奎斯特采樣定理，常規(guī)DOA估計算法很難保證角度估計的性能。因此，如何提高有限元陣列或稀疏陣列的空間增益和角度分辨率成為DOA估計領(lǐng)域的熱點問題。針對互質(zhì)陣中的DOA估計，研究人員在傳統(tǒng)MVDR算法的基礎(chǔ)上，對干擾噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，取得了更優(yōu)的角度估計性能，但在低SNR下，算法穩(wěn)健性較差^［6］。He等^［7］提出了基于MUSIC算法的空間任意四元陣測向技術(shù)，但此類算法依然存在運(yùn)算量和快拍數(shù)過大的問題。隨著對壓縮感知（compressive sensing， CS）理論^［8］和稀疏信號表征研究的不斷深入，在信號具有稀疏先驗的情況下，可以極大概率在欠采樣條件下恢復(fù)目標(biāo)信號^［9］，學(xué)者們將稀疏重構(gòu)理論應(yīng)用于超分辨DOA估計領(lǐng)域。當(dāng)目標(biāo)在空間分布滿足稀疏先驗條件、測量矩陣滿足約束等容（restricted isometry property， RIP）條件時，可實現(xiàn)超分辨DOA估計^［10-12］。文獻(xiàn)［13］提出了一種單快拍自適應(yīng)角度估計算法，可在單快拍情況下，得到較為理想的估計結(jié)果，但是單快拍DOA估計在低SNR條件下角度估計穩(wěn)定性差。為了將稀疏重構(gòu)思想應(yīng)用于多快拍數(shù)據(jù)場景中，Cotter等^［14］提出基于多測量矢量（multiple measurement vector， MMV）模型的角度估計算法，由于陣列獲取的是多快拍數(shù)據(jù)，算法在低SNR的情況下能以更高概率得到高精度DOA估計，但其運(yùn)算復(fù)雜度隨著快拍數(shù)的增加而增大。Malioutov等^［15］提出了基于奇異值分解（singular value decomposition， SVD）的l₁-SVD的DOA估計算法。該算法首先將矩陣進(jìn)行SVD，再將其轉(zhuǎn)換為二階錐規(guī)劃問題，最后采用內(nèi)點法等相關(guān)凸優(yōu)化方法求解得到角度估計值。算法可解決多快拍情況下復(fù)雜度過大的問題。然而，由于SVD技術(shù)需要正確的信源個數(shù)給予支撐，在信源個數(shù)未知的情況下，該算法的性能將嚴(yán)重下降甚至失效。

本文提出了一種基于CS的超分辨DOA估計算法，利用場景稀疏性，構(gòu)建基于CS的DOA估計模型，構(gòu)造測量矩陣和l₁范數(shù)的優(yōu)化函數(shù)，設(shè)計低復(fù)雜度優(yōu)化算法對空間譜進(jìn)行重構(gòu)，算法可在信源個數(shù)未知和有限陣元條件下得到超分辨角度估計值。在構(gòu)造優(yōu)化問題約束條件時，利用了噪聲背景下的多快拍數(shù)據(jù)，算法可有效抑制噪聲;利用貝葉斯CS推導(dǎo)了正則化系數(shù)，算法能自適應(yīng)獲得空間譜，算法穩(wěn)健;利用修正牛頓法求解優(yōu)化問題，算法運(yùn)算效率大大提高。

1 陣列接收信號模型

假設(shè)接收陣列為M陣元的隨機(jī)線性陣列，采用直角坐標(biāo)表示。假設(shè)空間中存在N個方向的遠(yuǎn)場信號，所有傳感器均為各向同性。第m個陣元的輸出可表示為

y_m（t）=∑N－1n=0s（t－τ_m，n）+ε_m（t）（1）

式中：τ_m，n為遠(yuǎn)場信號抵達(dá)第m個陣元相較于抵達(dá)參考點的時延，τ_m，n=R_m，n/c，c為信號傳播速度;ε_m（t）為噪聲，這里假定噪聲與信號是統(tǒng)計獨立的。對于窄帶情形，時延等價于相移，即s（t－τ_m，n）=s（t）e^－j2πf_c^τ_m，n，f_c為窄帶信號的載頻，則第m個陣元輸出為

y_m（t）=∑N－1n=0s（t）e^－j2πf_c^τ_m，n+ε_m（t）（2）

M個陣元輸出信號的矢量形式為

y（t）=∑N－1n=0a（θ_n）s（t）+ε（t）=As（t）+ε（t）（3）

式中：y（t）=［y₁（t），y₂（t），…，y_M（t）］^T為陣列輸出;s（t）=［s₀（t），s₁（t），…，s_N-1（t）］^T代表空間譜;ε（t）=［ε₁（t），ε₂（t），…，ε_M（t）］^T為噪聲;A=［a（θ₀），a（θ₁），…，a（θ_N－1）］為導(dǎo)向矩陣，a（θ_n）=［e^－j2πf_c^τ_1，n，e^－j2πf_c^τ_2，n，…，e^－j2πf_c^τ_M，n］^T代表導(dǎo)向矢量，表征了目標(biāo)方向和各陣元位置之間的相位差異。

2 基于CS的超分辨角度估計

2.1 陣列角度估計模型

觀測角度范圍被分成H個角度單元，對應(yīng)的導(dǎo)向矩陣變?yōu)榇笮镸×H的矩陣A=［a（θ₀），a（θ₁），…，a（θ_H－1）］，導(dǎo)向矢量為a（θ_h）=［e^－j2πf_c^τ_1，h，e^－j2πf_c^τ_2，h，…，e^－j2πf_c^τ_M，h］^T，當(dāng)接收數(shù)據(jù)有K個快拍時，接收信號表示為

Y=AS+E（4）

式中：E=［ε（1），ε（2），…，ε（K）］代表大小為M×K的矩陣;Y=［y（1），y（2），…，y（K）］是大小為M×K的矩陣;S代表需要恢復(fù)的二維空間譜，第n行第k列元素為s_n（k）。通過向量化二維信號模型轉(zhuǎn)化為一維形式：

y=A-s+ε（5）

式中：A-=diag{A，A，…，A}是分塊矩陣，大小為MK×HK;y=vec（Y）;s=vec（S）;ε=vec（E），vec（·）指矩陣向量化，表示將矩陣的各列向量依次堆疊形成一個列向量。假設(shè)在多次快拍觀測中，目標(biāo)角度不發(fā)生變化，即空時不耦合。因此，對空時譜在時間上做累積可作為空間譜估計s-（h）=∑_k|s_h（k）|，通過對譜估計結(jié)果s-（h）做檢測，可得到目標(biāo)的角度估計值和個數(shù)。目標(biāo)場景中只在少數(shù)觀測角度中有目標(biāo)，即Nlt;lt;H，空間譜具有強(qiáng)稀疏特性，利用這一特性可將空間譜估計過程轉(zhuǎn)化為稀疏重構(gòu)過程。在實際應(yīng)用中，陣元數(shù)通常小于目標(biāo)區(qū)域角度劃分網(wǎng)格數(shù)，A-是一個高維到低維的測量矩陣，從有限回波數(shù)據(jù)中恢復(fù)空間譜是一個病態(tài)過程。CS理論表明，在s為稀疏先驗條件時，如果測量矩陣A-滿足RIP特性，則可以從接收信號y中恢復(fù)未知空時譜矩陣s。滿足RIP特性，即存在限制等距常數(shù)δ∈（0，1），使條件（1－δ）s22≤A -s22≤（1+δ）s22成立，RIP特性與構(gòu)成測量矩陣的基向量的相關(guān)性有關(guān)，相關(guān)系數(shù)越小，基的正交性越好。A～={a～（θ_h）}^H－1_h=0為歸一化的基向量集合，相互之間的相關(guān)系數(shù)為

R（A～）=maxp≠q0≤p，q≤H－1|lt;a～（θ_p），a～（θ_q）gt;|（6）

當(dāng)空間譜矩陣滿足以下條件時，滿足RIP特性。

在滿足稀疏先驗以及RIP特性條件下，可將上述病態(tài)求解問題轉(zhuǎn)化為l₁范數(shù)的優(yōu)化問題，從而得到目標(biāo)角度信息?？紤]噪聲影響，構(gòu)建的l₁范數(shù)優(yōu)化問題為

s=arg min{y-A-s22+ρs₁}（8）

式中：ρ為正則化系數(shù);·2和·₁分別表示l₂范數(shù)和l₁范數(shù);min（·）是最小化運(yùn)算。

2.2 稀疏優(yōu)化求解算法實現(xiàn)

利用優(yōu)化求解算法，如正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit， OMP）算法^［16］、BFGS（Broyden，F(xiàn)letcher，Gold-farb，Shanno）算法等^［17］可求解l₁范數(shù)優(yōu)化問題，通常采用CVX、SEDUMI等內(nèi)點法求解器，不利于工程應(yīng)用^［18-20］，本文推導(dǎo)基于擬牛頓算法的低復(fù)雜度方法求解式（8）中的優(yōu)化問題。為提高算法的噪聲穩(wěn)健性和環(huán)境適應(yīng)能力，首先推導(dǎo)了優(yōu)化問題中的正則化系數(shù)ρ，假設(shè)噪聲矩陣E服從復(fù)高斯分布，均值為零，方差為σ²，ε的概率密度函數(shù)（probability density function， PDF）可表示為

因此，當(dāng)已知s時，y的概率密度函數(shù)可表示為

基于貝葉斯CS原理，在空間譜具有強(qiáng)稀疏性的前提下，空間譜服從Laplace分布，s的概率密度函數(shù)可表示為

式中：V是Laplace函數(shù)尺度系數(shù)。在已知陣列接收矩陣y時，可利用最大后驗概率準(zhǔn)則估計空時譜，s的最大后驗概率估計為

將式（10）和式（11）代入式（12）推導(dǎo)可得

通過以上的貝葉斯CS的推導(dǎo)，正則化系數(shù)為ρ=2σ²V，下面介紹估計σ²和V的方法。首先，利用常規(guī)恒虛警檢測進(jìn)行粗檢測，超過檢測門限的區(qū)域判定為目標(biāo)區(qū)域，低于檢測門限的區(qū)域判定為噪聲區(qū)域。由于假設(shè)噪聲滿足零均值的高斯分布，其方差σ²可通過對噪聲區(qū)域進(jìn)行最大似然估計確定^［21］。由于s服從Laplace分布，因此V的最大似然可通過求max ln［PDF（s|V）］確定，也就等價于求max{ ln［PDF（s|V）］}，對ln［PDF（s|V）］關(guān)于V求導(dǎo)可得

?ln［PDF（s|V）］?σ=HKσ-∑HK-1i=0|s（i）|（14）

則V的最大似然估計為

V=HK∑HK－1i=0|s（i）|（15）

通過以上的推導(dǎo)，估計了式（13）中正則化系數(shù)ρ，由于在推導(dǎo)中考慮了目標(biāo)和噪聲的分布特性，因此算法具有較強(qiáng)的噪聲抑制性能。

下面對式（13）的優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行求解，對代價函數(shù)J（s）=y－A-s22+ρs₁關(guān)于s求共軛梯度為

ΔJ_s*（s）=H（s）s-2A-^Hy（16）

式中：H（s）矩陣是s的系數(shù)矩陣，可表示為

H（s）=2A-^HA-+ρΛ（s）（17）

式中：Λ（s）=diag［1/|s（hk）|²+τ］。傳統(tǒng)的牛頓法和擬牛頓法不適合處理包含非二次型的優(yōu)化問題^［22］，特別是代價函數(shù)中包含了s的模，更增加了求解的復(fù)雜性。本文中用修正的牛頓迭代算法來求解該優(yōu)化問題^［23］。由牛頓法可知，s的第l+1次迭代式為

s^l+1=s^l－β［H（s^l）］^－1ΔJ_s*（s^l）（18）

式中：β為迭代步長，［·］^－1表示矩陣的逆。如迭代步長設(shè)為β=1，把共軛梯度式（16）代入式（18）推導(dǎo)得

s^l+1=2［H（s^l）］^－1A-Hy（19）

當(dāng)?shù)鷿M足以下條件時，算法終止

s^l+1－s^l22s^l22lt;δ（20）

將二維空時譜在時間域上做累積即可得到目標(biāo)角度空間譜

s-（h）=∑k|s_h（k）|（21）

對s-進(jìn)行常規(guī)的恒虛警檢測能獲得目標(biāo)的角度估計結(jié)果，其位置和個數(shù)分別表示目標(biāo)的角度估計值和目標(biāo)個數(shù)。

2.3 快速算法及運(yùn)算復(fù)雜度分析

以上優(yōu)化求解算法計算量主要集中于Hessian矩陣H（s^l）的求逆，由上面的推導(dǎo)可知，H（s^l）是大小為HK×HK的矩陣，用常用的Cholesky分解，每次迭代中均需要運(yùn)行（HK）³/3+2（HK）²次乘法運(yùn)算，算法運(yùn)算量過大。

為解決Hessian矩陣求逆所引起的運(yùn)算量大的問題，本文算法在第l+1次迭代運(yùn)算中求解s^l+1時，采用共軛梯度法（conjugate gradient algorithm， CGA）求解。

H（s^l）s^l+1=2A-^Hy（22）

Hessian矩陣在每次迭代中均需要進(jìn)行更新H（s^l）=2A-^HA-+ρΛ（s^l），在第l+1次迭代中，CGA需要完成下列方程的多次重復(fù)計算：

H（s^l）s^=2A-^HA-s^+ρΛ（s^l）s^（23）

式中：s^為迭代更新值。利用分塊對角矩陣的性質(zhì)，式（23）第1項可表示為

2A-^HA-s^=2diag{A^H …A^H}diag{A …A}s^=

2diag{A^HA …A^HA}s^=2s^（24）

式（23）第2項中Λ（s^l）可表示為對角矩陣Λ（s^l）=diag［1/|s（hk）|²+τ］，因此Λ（s^l）s^是對角線上的HK個元素組成的向量與向量s^的Hadamard乘積，通過HK次乘法即能獲得矩陣相乘結(jié)果。

由于優(yōu)化算法中主要運(yùn)算量為乘法運(yùn)算，利用所提出的快速求解算法，算法運(yùn)算復(fù)雜度為O（HK），相比于直接矩陣運(yùn)算，運(yùn)算復(fù)雜度降低了兩個數(shù)量級。

BFGS和OMP也可以利用上述的快速矩陣乘法來提高運(yùn)算效率。對于BFGS算法來說，算法主要運(yùn)算量為每次迭代中的內(nèi)積運(yùn)算以及ΔJ_s*（s^l）的更新，由以上推導(dǎo)可知，ΔJ_s*（s）=H（s）s-2A-^Hy，H（s）s可利用上述的快速矩陣運(yùn)算提高運(yùn)算效率，BFGS算法的運(yùn)算量為O（HK²）。OMP算法的主要運(yùn)算量集中于最大相關(guān)運(yùn)算和最小二乘估計，在每次迭代中，最大相關(guān)法運(yùn)算量為O（HK），在第l次迭代運(yùn)算中，最小二乘法運(yùn)算量為O（HKl），因此OMP的運(yùn)算量為O（HK）。

3 實驗仿真與結(jié)果分析

仿真實驗中聲速為1 500 m/s，信號載頻為1 kHz，半波長為0.75 m。假定陣列為長度為24 m的隨機(jī)布放直線陣列，陣元個數(shù)M=8。各陣元接收數(shù)據(jù)中加入均值為0的高斯白噪聲，SNR為0～10 dB。

首先進(jìn)行單目標(biāo)仿真，水聲目標(biāo)的真實角度為0°，快拍次數(shù)K=16，SNR為10 dB，圖1給出了DAS、MVDR、MUSIC以及所提CS算法的空間譜估計結(jié)果。本實驗的CS算法以DAS算法結(jié)果為初始值，通過第2.2節(jié)介紹的正則化系數(shù)估計方法可得ρ=1.5，設(shè)τ=0.01，［-90°， 90°］角度范圍內(nèi)劃分網(wǎng)格數(shù)為360。從圖1中可以看出，對于稀疏布放陣列，基于CS的DOA估計算法能準(zhǔn)確估計出目標(biāo)角度，峰值旁瓣電平約為-70 dB，遠(yuǎn)低于DAS、MVDR和MUSIC算法。表1給出了各算法進(jìn)行200次蒙特卡羅實驗的平均運(yùn)算時間，結(jié)果表明，DAS算法運(yùn)算復(fù)雜度最低，MVDR算法由于矩陣求逆操作，運(yùn)算復(fù)雜度高于DAS算法，MUSIC算法由于譜峰搜索，所需計算時間遠(yuǎn)高于其他算法，而所提CS算法利用了CGA和Hadamard乘積，可獲得較高的運(yùn)算效率。

圖2給出了角度均方誤差隨SNR的變化，實驗次數(shù)為200次，SNR在0 dB到10 dB之間，間隔為2 dB。由于陣列是稀疏的，在低SNR下，DAS算法失效，無法準(zhǔn)確估計目標(biāo)角度。MUSIC算法由于快拍數(shù)較少以及目標(biāo)數(shù)量未知，無法獲得有效的目標(biāo)角度，MVDR算法和所提CS算法的角度估計均方誤差較低，在低SNR下依然能獲得高精度角度估計結(jié)果。

接下來，為驗證算法的稀疏恢復(fù)性能，在不同陣元數(shù)下對各算法進(jìn)行實驗分析。圖3給出了角度估計均方誤差與陣元數(shù)之間的關(guān)系，選取陣元數(shù)6到16進(jìn)行實驗，陣元隨機(jī)布放，SNR為10 dB，快拍數(shù)為16。從結(jié)果可以看出，在陣元數(shù)大于10時，DAS、MVDR以及CS算法角度估計均方誤差小，MUSIC在低快拍條件下欠穩(wěn)健，而本文所提CS算法在陣元數(shù)為6時仍能以較高精度獲得目標(biāo)角度。結(jié)果表明，所提算法在保證高精度角度估計的前提下可降低陣元數(shù)量。

最后，通過多目標(biāo)角度估計驗證算法的超分辨性能，圖4（a）中的兩個目標(biāo)角度分別為-5°和5°，圖4（b）中兩個目標(biāo)角度分別為-3°和3°。從圖4（a）中的結(jié)果可以看出，CS算法估計結(jié)果主瓣最尖銳，角度分辨率最高，MUSIC由于目標(biāo)數(shù)量未知以及快拍數(shù)較少，無法準(zhǔn)確恢復(fù)目標(biāo)角度，雖然DAS算法和MVDR算法可恢復(fù)出兩個目標(biāo)，但是由于旁瓣較高，在兩個目標(biāo)間產(chǎn)生了一個虛假目標(biāo)，當(dāng)兩個目標(biāo)進(jìn)一步靠近，角度為-3°和3°時，DAS和MVDR算法均已無法分辨兩個目標(biāo)，而本文所提算法依然能獲得良好的角度估計結(jié)果。結(jié)果表明，對于多目標(biāo)應(yīng)用場景，所提算法可實現(xiàn)臨近目標(biāo)的超分辨估計。圖5給出了角度估計的均方誤差隨兩個角度間隔（角度分辨率）的變化曲線，實驗次數(shù)為200次，角度分辨率在6°到18°之間，間隔為4°。隨著角度間隔的降低，算法的估計精度越來越低，所提CS算法利用稀疏優(yōu)化重構(gòu)，在兩個目標(biāo)相鄰較近時，依然能獲得高精度角度估計結(jié)果，算法超分辨效果顯著。

4 實驗數(shù)據(jù)處理分析

為驗證提出的基于CS的超分辨角度估計算法的性能，采用千島湖的某次湖試的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析。聲速剖面如圖6所示，實驗場景中分別有單個和兩個實測目標(biāo)，采用的換能器組組成了一個6元均勻直線陣列，陣列水平排布，陣元間隔為0.2 m。試驗當(dāng)天水面浪高小于0.3 m且陣風(fēng)，無過往船只，SNR約為-8 dB。系統(tǒng)發(fā)射信號為連續(xù)波，利用16個快拍數(shù)據(jù)對目標(biāo)進(jìn)行角度估計。正則化系數(shù)估計值為ρ=2.3。

圖7給出的是實驗數(shù)據(jù)的角度估計的結(jié)果。由圖7可知，當(dāng)場景中只有單個目標(biāo)時，采用傳統(tǒng)的DAS估計技術(shù)時分辨率低，水下強(qiáng)噪聲使算法很難產(chǎn)生足夠明顯的峰值，從而嚴(yán)重影響了MUSIC算法的角度估計結(jié)果。相比于MUSIC算法，MVDR算法可得到高峰值空間譜，峰值旁瓣電平約為-50 dB，通過利用稀疏重構(gòu)方法，基于CS的算法即使在強(qiáng)噪聲水下環(huán)境中，依然能獲得目標(biāo)的高峰值空間譜，峰值旁瓣電平約為-70 dB。

圖8（a）給出了角度為-5°和5°的多目標(biāo)角度估計結(jié)果，圖8（b）給出了角度為-3°和3°的多目標(biāo)角度估計結(jié)果，通過多目標(biāo)角度估計結(jié)果驗證算法的超分辨性能。當(dāng)兩個目標(biāo)角度為-5°和5°時，MUSIC算法無法確定目標(biāo)點位置峰值，DAS算法和MVDR算法雖然在目標(biāo)位置有峰值，但是在其他角度也同樣產(chǎn)生了高峰值空間譜，這會造成后續(xù)檢測中出現(xiàn)虛警。本文所提算法可獲得兩個目標(biāo)角度的高分辨估計結(jié)果，峰值旁瓣電平約為-60 dB。當(dāng)兩個目標(biāo)角度繼續(xù)靠近，角度為-3°和3°時，圖6（b）中DAS、MVDR以及MUSIC算法在非目標(biāo)位置產(chǎn)生了高峰值空間譜，大量的虛假峰值造成檢測算法無法獲得正確的目標(biāo)角度信息，所提CS算法依然可以分辨出兩個目標(biāo)，峰值旁瓣電平約為-50 dB。

5 結(jié)束語

本文提出了基于CS的超分辨DOA估計算法，能有效提高目標(biāo)角度估計精度，具有復(fù)雜度低、分辨率高、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點。該算法利用目標(biāo)空間域稀疏先驗將目標(biāo)角度估計問題建模為優(yōu)化問題，并通過貝葉斯CS理論推導(dǎo)了正則化系數(shù)，保證了算法的噪聲抑制性能，設(shè)計了高效的迭代算法，運(yùn)算復(fù)雜度低。算法可利用較少陣元數(shù)和較少快拍實現(xiàn)高精度的目標(biāo)角度估計。該算法性能優(yōu)于傳統(tǒng)算法，特別是在低SNR、有限陣元以及較少快拍條件下優(yōu)于MVDR算法和MUSIC算法，有更尖銳的空間譜峰值。仿真和實測實驗驗證了該算法的有效性。未來將會根據(jù)水下探測的實際需求，將算法推廣到多種陣型，并且聯(lián)合距離維信息，實現(xiàn)對多目標(biāo)、群目標(biāo)的高精度位置估計。

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作者簡介

吳 敏（1988—），女，副研究員，博士，主要研究方向為水聲信號處理、目標(biāo)探測與成像、新體制聲納信號處理。

黎子浩（1996—），男，博士研究生，主要研究方向為水聲信號處理。

郝程鵬（1975—），男，研究員，博士，主要研究方向為水聲信號處理、陣列信號處理、信號檢測。

胡 橋（1977—），男，研究員，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向為水陸兩棲仿生機(jī)器人、水下機(jī)器人集群信號處理。