摘要： 分布式組網(wǎng)雷達系統(tǒng)可充分利用多雷達協(xié)同優(yōu)勢提升動目標(biāo)跟蹤性能。然而，在實際中，組網(wǎng)雷達系統(tǒng)的發(fā)射總功率受限且量測函數(shù)的高度非線性，都會導(dǎo)致目標(biāo)跟蹤精度極大受限。針對上述問題，提出一種基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換濾波（uncorrelated conversion based filter， UCF）的高精度目標(biāo)協(xié)同跟蹤和資源管理方法，該濾波方法可充分提取有效量測信息，提升目標(biāo)狀態(tài)估計性能，且該信息可作為整體框架的反饋信息進一步優(yōu)化資源分配。首先推導(dǎo)了后驗克拉美羅下界作為優(yōu)化準(zhǔn)則，利用該準(zhǔn)則給出當(dāng)前時刻的最優(yōu)資源分配;然后基于分配的功率資源，進行目標(biāo)狀態(tài)估計;針對強非線性量測函數(shù)，提出一種UCF，利用不相關(guān)轉(zhuǎn)換提取更多原始量測中的信息，并將其用于線性最小均方誤差框架進行狀態(tài)估計，從而提高目標(biāo)狀態(tài)估計性能。仿真結(jié)果驗證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 組網(wǎng)雷達; 功率分配; 協(xié)同跟蹤; 不相關(guān)轉(zhuǎn)換; 非線性濾波

中圖分類號： TN 953

文獻標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.11.14

High accuracy cooperative tracking and power allocation method in networked radar system

ZHANG Yingjie¹， CHEN Hongmeng^1，*， GAO Wenquan¹， LAN Jian²， YE Chunmao¹， CHEN Yan¹

（1. Beijing Institute of Radio Measurement， Beijing 100854， China; 2. School of Automation Science and Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract： Distributed networked radar system （NRS） can take full advantage of multi-radar synergistic features to improve the tracking performance of a moving target. However， in fact， the limited total transmitted power and the high nonlinearity of the measurement function of an NRS heavily restrict the target tracking performance. To solve these problems， a high accuracy cooperative tracking and resource allocation method is proposed， in which the uncorrelated conversion based filter （UCF） is utilized to improve the estimation performance by extracting effective measurement information. Moreover， this estimation can be considered as the feedback information for the framework to further optimize the performance of the resource allocation. Firstly， the posterior Cramer-Rao lower bound （PCRLB） is derived as the optimization criterion， which can be utilized to obtain the optimized resource allocation. And then according to the allocated power， the target state can be estimated. A UCF is proposed for strongly nonlinear measurement functions， which utilizes uncorrelated conversion to extract more information from the original measurements and applies it to a linear minimum mean square error framework for state estimation， thereby improving the performance of target state estimation. The simulation results verify the effectiveness of the proposed method.

Keywords： networked radar; power allocation; cooperative tracking; uncorrelated conversion; nonlinear filtering

0 引 言

隨著技術(shù)的發(fā)展和武器系統(tǒng)的更新迭代，現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的傳統(tǒng)雷達系統(tǒng)面臨著愈發(fā)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，先進的反輻射導(dǎo)彈技術(shù)、不斷進步的低空突防技術(shù)、高速發(fā)展的目標(biāo)隱身技術(shù)以及日新月異的電子干擾技術(shù)構(gòu)成了現(xiàn)代雷達的“四大威脅”^［1-6］。在此背景下，傳統(tǒng)雷達系統(tǒng)不僅難以滿足作戰(zhàn)需求，甚至其生存能力也面臨嚴(yán)峻考驗^［6］。在這種情況下，近年來組網(wǎng)雷達系統(tǒng)（networked radar system， NRS），例如多輸入多輸出（multiple-input multiple-output， MIMO）雷達等，受到了廣泛關(guān)注^［3，5］。該系統(tǒng)由多個空間上分開的收發(fā)設(shè)備組成，采用多發(fā)射-多接收形式，各部分可獲取獨立的量測信息，并將接收到的信息傳輸給融合中心進行聯(lián)合處理，實現(xiàn)對目標(biāo)的檢測、識別、定位、跟蹤等任務(wù)^{［5，7］}。NRS利用多個雷達進行協(xié)同探測跟蹤等，具有遠優(yōu)于傳統(tǒng)單雷達系統(tǒng)的性質(zhì)，具體包括：① 采用收發(fā)分置，實現(xiàn)接收站無源工作，提高系統(tǒng)生存能力;② 多角度、大范圍區(qū)域覆蓋，獲取更多的目標(biāo)信息，實現(xiàn)動目標(biāo)高精度探測、跟蹤和識別;③ 多源信息融合有助于提升系統(tǒng)魯棒性，并增強系統(tǒng)探測跟蹤等能力。

雖然增加NRS中雷達數(shù)量，提高發(fā)射功率可有效提升對目標(biāo)的探測、跟蹤、識別等性能。然而實際中，增大系統(tǒng)規(guī)模意味著融合處理中心劇增的數(shù)據(jù)處理壓力。同時，系統(tǒng)信息傳輸能力受限于通信傳輸帶寬，也制約了系統(tǒng)規(guī)模的增加，此外發(fā)射功率同樣會受到設(shè)備應(yīng)用場景及硬件等因素的制約（如機載監(jiān)視雷達、無人機載設(shè)備等），進一步限制了NRS中的雷達數(shù)量^［6-9］。因此，亟需對雷達資源管理方法進行研究，通過合理分配雷達資源，充分發(fā)揮雷達協(xié)同性能，獲取盡可能高精度的測量信息，為復(fù)雜場景中的高精度動目標(biāo)跟蹤提供有力支撐。

為了實現(xiàn)雷達資源有效利用，很多學(xué)者對雷達資源分配方法展開了研究，特別是針對功率分配和傳感器選擇等?，F(xiàn)有比較流行的資源管理框架主要包括：① 資源一定情況下，最大化系統(tǒng)跟蹤精度;② 在給定跟蹤精度情況下，通過選擇最優(yōu)的傳感器，實現(xiàn)最小化資源消耗。目前，常用的傳感器資源管理優(yōu)化準(zhǔn)則為后驗克拉美羅下界（posterior Cramer-Rao lower bound， PCRLB）準(zhǔn)則^［10］，該準(zhǔn)則是一種用于衡量無偏估計的一般方法。在目標(biāo)跟蹤問題中，PCRLB定義為Fisher信息矩陣（Fisher information matrix， FIM）的逆，可給出最好均方誤差矩陣的一個下界^［10］，從而實現(xiàn)最優(yōu)資源分配^{［6-7，9，11］}。由于在實際中目標(biāo)位置是估計量，因此需要NRS根據(jù)估計得到的目標(biāo)狀態(tài)預(yù)測下一時刻目標(biāo)狀態(tài)，從而對雷達資源進行提前分配。

現(xiàn)有研究文獻很大部分針對框架①下的NRS進行研究，通過優(yōu)化功率、帶寬、信號有效時寬、采樣間隔及駐留時間等系統(tǒng)參數(shù)，實現(xiàn)目標(biāo)跟蹤性能提升^{［4，11-15］}。

文獻［14］針對多雷達系統(tǒng)目標(biāo)定位問題進行研究，推導(dǎo)得到基于克拉美羅下界（Cramer-Rao lower bound， CRLB）準(zhǔn)則的解析形式的功率分配算法，給出上述兩類優(yōu)化框架下的功率分配問題優(yōu)化解。文獻［4］針對分布式NRS中的多目標(biāo)跟蹤問題進行研究，在功率分配的基礎(chǔ)上，聯(lián)合考慮節(jié)點選擇問題，并利用粒子濾波算法計算每個目標(biāo)的狀態(tài)后驗分布，最優(yōu)融合結(jié)果用于系統(tǒng)分配優(yōu)化。文獻［15］中集中式MIMO雷達進行多目標(biāo)跟蹤，構(gòu)建了聯(lián)合功率分配及波形選擇優(yōu)化函數(shù)，并利用容積卡爾曼濾波器（cubatare Kalman filter， CKF）獲取高精度狀態(tài)估計結(jié)果用于系統(tǒng)優(yōu)化框架。文獻［5］針對組網(wǎng)雷達多目標(biāo)跟蹤問題，重點考慮了功率分配和傳感器運動帶來的定位誤差等因素，推導(dǎo)了聯(lián)合功率分配和量測選擇算法，實現(xiàn)多目標(biāo)精確跟蹤。

分析可知，目標(biāo)跟蹤性能的提升依賴于系統(tǒng)優(yōu)化機制，通過參數(shù)優(yōu)化，改善系統(tǒng)對空間目標(biāo)跟蹤能力，利用非線性濾波方法提升目標(biāo)跟蹤精度，反饋高精度跟蹤結(jié)果從而提升系統(tǒng)優(yōu)化效能。即系統(tǒng)的有效優(yōu)化和目標(biāo)的精確跟蹤相互耦合，特別是在復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境中，整體系統(tǒng)的跟蹤性能會極大受限于跟蹤算法的性能優(yōu)劣。上述研究文獻重點關(guān)注功率、帶寬等分配算法的優(yōu)化及傳感器個數(shù)或位置等的選取，對于目標(biāo)跟蹤中的反饋信息，即目標(biāo)狀態(tài)及協(xié)方差等信息的精確化求解研究較少。

復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境中目標(biāo)跟蹤難題在于，實際雷達系統(tǒng)中的測量函數(shù)幾乎都是強非線性的，大噪聲強非線性等難題導(dǎo)致非線性估計面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，較差的估計精度會進一步影響系統(tǒng)優(yōu)化性能，降低功率或帶寬等分配準(zhǔn)確性，限制NRS整體探測跟蹤性能，一部分文獻對上述問題進行了初步探索研究。

在靜止目標(biāo)定位精度和功率分配優(yōu)化問題基礎(chǔ)上，文獻［6，9］重點研究了目標(biāo)勻速直線運動場景下的功率分配方法，以貝葉斯CRLB（Bayesian CRLB， BCRLB）為優(yōu)化函數(shù)，分別分析不同起伏雷達散射截面（radar cross section， RCS）模型、不同傳感器組合下的最優(yōu)功率分配，并在此基礎(chǔ)上提升目標(biāo)跟蹤精度。文獻［11，13］重點研究了復(fù)雜機動場景下，利用交互多模型濾波框架結(jié)合傳統(tǒng)非線性濾波方法進行目標(biāo)狀態(tài)精確估計，有助于進一步優(yōu)化功率分配結(jié)果。文獻［4，15］為了進一步提升系統(tǒng)優(yōu)化性能，分別采用了粒子濾波方法和CKF方法進行目標(biāo)狀態(tài)估計。

然而，上述文獻中所采用的方法，如擴展卡爾曼濾波器（extended Kalman filter， EKF）、無跡濾波器（unscented filter， UF）、CKF及求積卡爾曼濾波器（quadrature Kalman filter， QKF）等，基本上都可看作是基于線性最小均方誤差（linear minimum mean square error， LMMSE）的估計器^［16-22］。而該類濾波器性能極大受限于其本身的線性結(jié)構(gòu)，當(dāng)量測具有較強的非線性時，量測與被估計狀態(tài)為明確的非線性關(guān)系，這與LMMSE估計器和量測的線性關(guān)系在本質(zhì)上并不匹配，極大限制了LMMSE框架及相關(guān)濾波方法的估計性能，難以獲得高精度目標(biāo)狀態(tài)估計^{［17，19，21］}。

為應(yīng)對上述難題，文獻［17，19］提出了一種基于量測不相關(guān)轉(zhuǎn)換的思想，通過對原始量測進行不相關(guān)轉(zhuǎn)換從而有效提取量測信息，突破了LMMSE框架限制，實現(xiàn)了真正意義上的非線性結(jié)構(gòu)濾波，大幅提高了估計性能。因此，基于量測轉(zhuǎn)換的非線性濾波方法成為了應(yīng)對強非線性問題的重點研究方向之一。

為了實現(xiàn)NRS中的功率合理分配，同時實現(xiàn)動目標(biāo)高精度協(xié)同跟蹤，本文提出了一種高效功率分配下的基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換的高精度目標(biāo)跟蹤方法，主要思想如下：首先給出了目標(biāo)跟蹤問題中的PCRLB框架，利用目標(biāo)狀態(tài)預(yù)測的下一時刻PCRLB信息作為代價函數(shù)進行功率分配;而后利用分配的功率得到對應(yīng)雷達的量測信息（噪聲統(tǒng)計量等），通過基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換濾波（uncorrelated conversion based filter， UCF）方法，從原始量測中獲取更多的有效信息，實現(xiàn)高精度協(xié)同跟蹤，并將精確估計信息反饋到功率分配框架中，實現(xiàn)最優(yōu)功率分配。仿真結(jié)果驗證了本方法的有效性。

本文主要工作包括如下兩方面：

（1） 針對強非線性跟蹤問題（大量測噪聲、機動目標(biāo)跟蹤等），提出一種基于UCF的高效功率分配方法，通過更多量測信息提取，實現(xiàn)目標(biāo)狀態(tài)的精確估計，可有效優(yōu)化功率分配性能，進而提升機動目標(biāo)跟蹤性能。

（2） 針對多傳感量測信息實時處理問題，提出基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換組網(wǎng)雷達序貫濾波算法，克服濾波算法高維采點導(dǎo)致的計算復(fù)雜度過高難題，實現(xiàn)組網(wǎng)雷達多量測實時精確目標(biāo)跟蹤。

1 問題描述

1.1 信號模型

本文考慮如下場景：在空間中，有一個目標(biāo)做近似勻速直線運動（nearly constant velocity， NCV），N中包含N部二維雷達（量測信息為徑向距離和多普勒頻移），每部雷達僅接收自身回波數(shù)據(jù)，并將量測信息在融合中心進行融合處理。在總功率一定的情況下，優(yōu)化每部雷達的發(fā)射功率，利用本文所提出的強非線性濾波方法實現(xiàn)對復(fù)雜場景中空間動目標(biāo)的高精度協(xié)同跟蹤。本文給出如下假設(shè)：① 每部雷達僅接收自身回波信號;② 每部雷達不考慮位置誤差等。

假設(shè)在NRS中各部雷達同時發(fā)射信號，則第i部（1≤i≤N）雷達在k時刻的接收信號^［1］表示如下：

式中：h_i，k表示目標(biāo)的RCS;α_i，k為衰減因子，α_i，k∝1/R⁴_i，k，與目標(biāo)到雷達的徑向距離R_i，k和天線增益等因素有關(guān);P_i，k表示第i部雷達在k時刻的發(fā)射功率;s_i，k（t）為信號復(fù)包絡(luò);τ_i表示回波時延。則可得到目標(biāo)到雷達的徑向距離為

式中：c為光速。目標(biāo)在k時刻的狀態(tài)可表示為x_k=［x_k，x·_k，y_k，y·_k］^T，且第i部雷達位置表示為（x^r_k）ⁱ=［（x^r_k）ⁱ，（y^r_k）ⁱ］^T。f_i（x_k）表示在k時刻第i部雷達測量得到的多普勒頻移，可表示為

式中：λ_i和v_i，k分別表示第i部雷達的波長及相對于目標(biāo)的徑向速度。

1.2 運動模型

假設(shè)目標(biāo)在空間中做NCV，則動態(tài)模型可表示為

式中：x_k為目標(biāo)狀態(tài)，x_k=［x_k，x·_k，y_k，y·_k］^T;F_k－1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;w_k－1為過程噪聲，是均值為0方差為Q_k－1的高斯白噪聲，可分別表示為

式中：U表示克羅內(nèi)克積;I₂表示2×2單位陣;q表示過程噪聲功率譜密度^［16］。

1.3 量測模型

第i部雷達在k時刻的量測函數(shù)可表示為

式中：σ^r_i，k和σ^f_i，k分別表示距離和多普勒頻移的量測噪聲，對應(yīng)的噪聲協(xié)方差^［23］分別為

式中：B_i，k和T_i，k分別表示第i部雷達在k時刻的有效帶寬和有效時間;SNR_i，k表示第i部雷達在k時刻的回波信號的信噪比（signal-to-noise ratio， SNR），可表示為

由式（8）可知，雷達SNR取決于發(fā)射功率、徑向距離以及目標(biāo)的RCS等因素，隨著功率的增加，雷達量測噪聲誤差減小。

則在k時刻2N個量測對應(yīng)的量測噪聲協(xié)方差可表示為

本文中主要考慮在其他參數(shù)不變的情況下，功率與相對距離的函數(shù)關(guān)系，由式（9）可知，隨著功率增加，對應(yīng)SNR增大，量測噪聲協(xié)方差降低;同理，隨著雷達與目標(biāo)相對距離降低，SNR增大，量測對應(yīng)噪聲協(xié)方差降低，測量精度增加。

2 基于PCRLB框架的組網(wǎng)雷達資源管理方法

NRS通過對多部雷達資源進行合理管理，包括在一定時間選擇最優(yōu)雷達，或者對雷達進行優(yōu)化布站等，實現(xiàn)組網(wǎng)雷達資源的最優(yōu)管理。本文重點關(guān)注在雷達功率一定，或雷達能力受限情況下，通過優(yōu)化選擇每個時刻的雷達資源，并結(jié)合本文所提出的高精度非線性點目標(biāo)跟蹤算法，實現(xiàn)動目標(biāo)狀態(tài)的精確跟蹤。

根據(jù)上述分析，本文考慮采用基于PCRLB的功率分配方法，利用PCRLB準(zhǔn)則作為動目標(biāo)跟蹤精度度量，在保證跟蹤精度最優(yōu)的框架下，以跟蹤精度作為代價函數(shù)，實現(xiàn)組網(wǎng)雷達功率管理，得到最優(yōu)的功率分配結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上，利用本文所提出的非線性濾波方法，實現(xiàn)目標(biāo)的精確跟蹤，具體框圖如圖1所示。

2.1 目標(biāo)跟蹤中PCRLB框架

PCRLB可看作是對于非線性濾波問題的最好可實現(xiàn)的誤差性能度量，是無偏估計器最好均方誤差（mean square error， MSE）矩陣的一個下界^{［10，21］}，可表示如下：

式中：x^_k為k時刻目標(biāo)狀態(tài)估計量;J_k是k時刻的貝葉斯信息矩陣。在本文推導(dǎo)中，假設(shè)動態(tài)模型是線性的，量測模型為非線性，且噪聲都假設(shè)服從加性高斯?；诖?，J_k的遞推計算^［21］可簡化為

且H_k為量測函數(shù)的Jacobian矩陣（對雷達量測函數(shù)進行求導(dǎo)，并利用當(dāng)前時刻的預(yù)測狀態(tài)進行求解），R_k=diag{Q_Rk，Q_fk}。則基于式（11），信息矩陣的遞推形式可進一步表示為

分析可知，J_d（x_k）項只依賴于目標(biāo)運動模型，與雷達具體信息無關(guān);根據(jù)式（8）可知，J_z（x_k）項與雷達發(fā)射功率、徑向距離和目標(biāo)RCS等因素有關(guān)，特別是在其他因素不變的情況下，J_z（x_k）項與雷達發(fā)射功率成正比。

對FIM求逆，即可得到下一時刻目標(biāo)狀態(tài)的PCRLB，對應(yīng)的MSE下界可表示為

該矩陣的對角線元素表征目標(biāo)狀態(tài)各分量的預(yù)測方差下界，可精確衡量目標(biāo)跟蹤精度，同時由于該矩陣是關(guān)于雷達發(fā)射功率的函數(shù)，因此可將式（14）進一步表示為下一時刻功率分配的代價函數(shù)：

式中：P_k=［P_1，k，P_2，k，…，P_N，k］^T表示k+1時刻中NRS中的全部雷達的發(fā)射功率集合;N為雷達個數(shù)。通過優(yōu)化分配，令每部雷達發(fā)射合適的功率，實現(xiàn)跟蹤誤差的最小化，達到最佳跟蹤性能。

2.2 基于PCRLB的傳感器資源管理算法

由上述分析可知，目標(biāo)的跟蹤精度與各部雷達位置、雷達發(fā)射功率及目標(biāo)RCS等因素相關(guān)，本文主要討論雷達發(fā)射功率問題，在總功率一定的情況下，通過優(yōu)化管理各部雷達發(fā)射功率，實現(xiàn)目標(biāo)的精確跟蹤。因此，針對雷達功率分配的問題，可轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題：

式中：i=1，2，…，N，1^T=［1，1，…，1］_1×N;P_imin和P_imax分別表示第i部雷達發(fā)射功率的下限和上限。

根據(jù)文獻［6-7］可知，該優(yōu)化問題可看作一個凸優(yōu)化問題，利用凸優(yōu)化函數(shù)進行求解，得到第i部雷達的功率分配P_i，k，利用該信息進行進一步狀態(tài)估計，并根據(jù)跟蹤結(jié)果計算下一時刻的PCRLB，從而修正下一時刻的功率分配，實現(xiàn)最優(yōu)迭代。

具體求解步驟如下：式（16）的優(yōu)化問題可看作一個半正定規(guī)劃（semi-definite programming， SDP）問題^［24-25］。為了求解該SDP問題，引入一個輔助矩陣M_k，該矩陣需滿足如下約束：

因為FIM信息矩陣J_k為半正定矩陣，利用Schur補特性^［4］，式（17）形式可表示為

上述SDP優(yōu)化問題可通過凸優(yōu)化工具箱（convex optimization toolbox， CVX）等進行優(yōu)化求解^{［4，24，26］}，得到每個時刻不同雷達的功率分配結(jié)果。

3 基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換的非線性目標(biāo)跟蹤方法

傳感器功率分配方法可根據(jù)具體的代價函數(shù)實現(xiàn)雷達布站、雷達發(fā)射功率及目標(biāo)RCS等變量的最優(yōu)分配，而在此基礎(chǔ)上要實現(xiàn)高精度動目標(biāo)跟蹤，則面臨大噪聲、強非線性量測函數(shù)等難題。傳統(tǒng)的非線性濾波方法，即Kalman類濾波方法，包括EKF、UF、QKF等都屬于基于LMMSE框架下的線性結(jié)構(gòu)濾波器，性能極大受限于其本身的線性結(jié)構(gòu)，估計精度受到制約。

換言之，當(dāng)量測為非線性，特別是強非線性時，量測與被估狀態(tài)為高度非線性關(guān)系，導(dǎo)致LMMSE估計器與量測的線性關(guān)系本質(zhì)上失配，極大地限制了LMMSE框架及相關(guān)濾波器的估計性能，使其難以獲得高精度估計結(jié)果（LMMSE估計器只是線性估計器中的最優(yōu)估計器），因此非線性估計精度有進一步提升的空間。

3.1 基于UCF的算法

為實現(xiàn)最佳的跟蹤精度，還需要考慮針對目標(biāo)狀態(tài)估計的非線性濾波方法。鑒于此，本方案提出了一種基于UCF的算法，在得到功率分配結(jié)果后，利用發(fā)射功率提供的量測信息，通過該濾波方法進行目標(biāo)狀態(tài)精確估計，實現(xiàn)機動目標(biāo)的高精度跟蹤。

基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換濾波器實質(zhì)上是一種使用非線性轉(zhuǎn)換思想的擴維結(jié)構(gòu)濾波器，通過利用非線性轉(zhuǎn)換對原始量測進行擴維，實現(xiàn)了性能的大幅提升。其中，轉(zhuǎn)換量測必須是原始量測的非線性函數(shù)，否則線性擴維將在LMMSE框架中失效（原因在于LMMSE估計器是最優(yōu)的線性估計器）^{［16-17，21］}。

當(dāng)非線性轉(zhuǎn)換與原始量測不相關(guān)時，這類轉(zhuǎn)換稱為“不相關(guān)轉(zhuǎn)換”，得到的濾波器為基于UCF的濾波器，該濾波器是一種真正意義上的非線性濾波器，突破了現(xiàn)有LMMSE框架的線性結(jié)構(gòu)，通過在更大空間尋優(yōu)，從而提高非線性濾波精度。

采用原始量測的非線性轉(zhuǎn)換y=g（z）對原始量測進行擴維，可得到擴維后的量測形式：z^a=［z^T，y^T］^T。則基于擴維量測，LMMSE框架^［17］可重寫為如下形式：

狀態(tài)x^對應(yīng)的MSE可表示為

由文獻［17］可知，式（22）等號右邊第二部分為正半定矩陣，因此使用擴維量測的LMMSE估計相比于原始的LMMSE估計，具有更小的MSE。

此外，為了得到一個通用的不相關(guān)轉(zhuǎn)換形式，文獻［17］進一步給出了如下一般性定理。

定理 1 如果z的分布p（z）關(guān)于均值z-對稱，且g（·）是一個偶函數(shù)（關(guān)于y軸對稱），則y=g（z－z-）滿足P_yz=0，則y是量測z的一個不相關(guān)轉(zhuǎn)換。（具體推導(dǎo)過程見文獻［17］推導(dǎo)過程）。

由上述推導(dǎo)，可利用問題特殊性構(gòu)造出具體問題的不相關(guān)轉(zhuǎn)換形式，進而得到針對性的UCF算法，具體算法步驟如下。

步驟 1 狀態(tài)預(yù)測與量測預(yù)測

基于k－1時刻的x^_k－1和P_k－1得到狀態(tài)預(yù)測x^_k|k－1和對應(yīng)的MSEP_k|k－1。上述二階矩可利用無跡變換 （unscented transformation， UT） 或高斯厄米特求積（Gauss-Hermite quadrature， GHQ）準(zhǔn)則等固定點采樣方法得到。同理，可獲得量測預(yù)測z^_k|k－1和對應(yīng)的MSE矩陣P^z_k|k－1。基于前述信息，得到關(guān)于x^_k|k－1和z^_k|k－1的互協(xié)方差P^xz_k。

步驟 2 構(gòu)造擴維量測

基于z^_k|k－1，P^z_k|k－1和P^xz_k等，構(gòu)造不相關(guān)轉(zhuǎn)換量測y_k=g（z_k－z^_k|k－1），本文中結(jié)合具體雷達量測（徑向距離和多普勒）函數(shù)，構(gòu)建出具體的不相關(guān)轉(zhuǎn)換函數(shù)：

y_k=g（z_k－z^_k|k－1）=（z_k－z^_k|k－1）^T·（z_k－z^_k|k－1）（23）

其中，基于定理1可知，式（23）所構(gòu)造的量測擴維項與原始量測不相關(guān)，即式（23）的不相關(guān)轉(zhuǎn)換形式可從原始量測中獲取更多的有效量測信息，從而在基于LMMSE濾波框架中，得到更精確的目標(biāo)狀態(tài)前二階矩估計，提升目標(biāo)跟蹤性能。

步驟 3 狀態(tài)更新

使用不相關(guān)轉(zhuǎn)換量測y_k可得到擴維量測z^a_k=［z^T_k，y^T_k］^T，利用步驟１中的數(shù)值計算方法得到對應(yīng)的擴維量測更新狀態(tài)z^^a_k=［z^^T_k|k－1，y^^T_k］^T，互協(xié)方差P^xza_k和協(xié)方差P^za_k。而后基于LMMSE框架得到狀態(tài)估計x^_k和對應(yīng)的MSE矩陣P_k：

x^_k=x^_k|k－1+P^xza_k（P^za_k）^－1（z^a_k－z^^a_k）

P_k=P_k|k－1－P^xza_k（P^za_k）^－1（P^xza_k）^T（24）

利用上述UCF算法，可實現(xiàn)強非線性濾波問題的精確求解，相比于原始LMMSE框架，量測中更多的有效信息可利用基于具體問題所構(gòu)造的針對性不相關(guān)轉(zhuǎn)換獲取到，從而估計出更精確的前二階矩，具有更優(yōu)的估計精度。

3.2 基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換的組網(wǎng)雷達序貫濾波方法

組網(wǎng)雷達中的多傳感器同時獲取多組量測信息（徑向距離和多普勒信息），直接利用集中式融合中的并行濾波方法會導(dǎo)致非線性濾波方法中的組合量測維度過大，導(dǎo)致在利用固定點采樣方法，特別是采用GHQ采樣規(guī)則時出現(xiàn)維度爆炸（需mⁿ_x⁺ⁿ_z個采樣點，其中n_x和n_z分別為目標(biāo)狀態(tài)和組合量測維度，m為求積規(guī)則參數(shù)），對于UCF方法而言，擴維項的存在會進一步增加采點維度，導(dǎo)致計算復(fù)雜度增大，難以保證計算時效性。

為避免此類問題，本文提出基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換的序貫濾波方法，采用多傳感器集中式序貫濾波方法進行多量測處理^{［20，27］}。該算法核心思想如下：依次利用濾波方法處理多傳感系統(tǒng)中的每個傳感器量測數(shù)據(jù)。首先考慮對需要融合的多傳感數(shù)據(jù)進行時空配準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上，使用UCF框架對第一個傳感器得到的量測信息進行濾波處理;將得到的目標(biāo)狀態(tài)估計結(jié)果作為第二個傳感器的預(yù)測值，結(jié)合第二個傳感器的量測信息，在UCF框架中繼續(xù)估計出對應(yīng)的狀態(tài)估計;以此類推，最后一個傳感器量測的序貫估計結(jié)果即為全部量測信息的融合目標(biāo)狀態(tài)，濾波算法具體步驟如下（假設(shè)各傳感器在同一時刻之間量測噪聲互不相關(guān)）。

步驟 1 基于k－1時刻的目標(biāo)前二階矩x^_k－1和P_k－1得到狀態(tài)預(yù)測x^_k|k－1和對應(yīng)的MSE P_k|k－1。

步驟 2 使用傳感器1獲取的量測信息，利用上述所提出的UCF方法進行濾波。首先，通過z^_k|k－1，P^z_k|k－1和P^xz_k等，構(gòu)造具有與原始量測不相關(guān)特性的擴維項y_k=g（z_k－z^_k|k－1），本文充分考慮雷達量測的特殊性，針對性提出一種擴維結(jié)構(gòu)函數(shù)，基于提出的不相關(guān)轉(zhuǎn)換生成定理1，給出具體不相關(guān)轉(zhuǎn)換形式，即y_k=g（z_k－z^_k|k－1）=（z_k－z^_k|k－1）^T（·），該形式可保證盡可能多地提取原始量測中的有效信息;再將上述擴維量測信息通過UCF框架進行濾波，得到針對傳感器1的目標(biāo)狀態(tài)估計x^¹_k|k和對應(yīng)的MSE矩陣P¹_k|k。

步驟 3 將傳感器1處理得到的目標(biāo)狀態(tài)前二階矩作為針對序貫處理傳感器2過程中的預(yù)測狀態(tài)及預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差，即可分別表示為x^²_k|k－1=x^¹_k|k，P²_k|k－1=P¹_k|k。

步驟 4 利用不相關(guān)轉(zhuǎn)換擴維思想，得到傳感器2過程中的擴維量測，即（z²_k）^a=［（z²_k）^T，（y²_k）^T］^T，基于UCF框架進行非線性濾波，得到對應(yīng)的目標(biāo)狀態(tài)前二階矩。以此類推，序貫處理全部傳感器之后，得到最終融合結(jié)果，即x^_k|k=x^^1～N_k|k，P_k|k=P^1～N_k|k。

基于不相關(guān)轉(zhuǎn)換的組網(wǎng)雷達序貫濾波方法的具體算法流程如下。

步驟 1 融合中心對于目標(biāo)狀態(tài)的一步預(yù)測：

x^_k|k－1=F_k－1x^_k－1

P_k|k－1=F_k－1P_k－1F^T_k－1+G_k－1Q_k－1G^T_k－1（25）

步驟 2 針對傳感器1的狀態(tài)更新：

x^¹_k|k=x^_k|k－1+K^1～1_k（（z¹_k）^a－（z-¹_k）^a）

K^1～1_k=P^1，xza_k（P^1，za_k）^－1

（P¹_k|k）^a=P_k|k－1－P^1，xza_k（P^1，za_k）^－1（P^1，xza_k）^T（26）

步驟 3 針對傳感器1lt;i≤N的量測信息，序貫濾波狀態(tài)：

x^^1～i_k|k=x^^1～i－1_k|k+K^1～i_k（（zⁱ_k）^a－（z-ⁱ_k）^a）

K^1～i_k=P^{1～i，xza}_k（P^{1～i，za}_k）^－1

（P^1～i_k|k）^a=P^1～i－1_k|k－1－P^1～i，xza_k（P^1～i，za_k）^－1（P^1～i，xza_k）^T（27）

步驟 4 序貫融合最終目標(biāo)狀態(tài)估計結(jié)果：

x^_k|k=x^^1～N_k|k

P_k|k=P^1～N_k|k（28）

該算法屬于集中式融合方法，可保證提供最優(yōu)的融合性能，同時該思想已證明與并行濾波算法估計精度相同^［20］，可有效避免狀態(tài)維度過高導(dǎo)致的矩陣計算問題。此外，在具體的濾波算法中，針對量測函數(shù)的高度非線性，通過構(gòu)造具體的不相關(guān)轉(zhuǎn)換形式，得到有效的擴維量測，并使用UCF框架可高效提取原始量測中的有效信息，從而實現(xiàn)目標(biāo)狀態(tài)的高精度估計。

4 仿真驗證及分析

為驗證算法的有效性，本文考慮如下仿真場景：二維空間中一個目標(biāo)作近似勻速直線或勻轉(zhuǎn)彎運動，初始位置為（10，0）km;其中，各部雷達發(fā)射信號參數(shù)相同，采樣間隔為5 s，采樣幀數(shù)為20。本次仿真比較了包括UF和UCF等濾波方法的均方根誤差（root mean square error， RMSE），蒙特卡羅次數(shù)為100，仿真場景示意圖如圖2所示。

采用兩種不同雷達布站方式如下。

（1） 使用4部雷達對動目標(biāo)進行組網(wǎng)跟蹤，假設(shè)在20 km處，量測誤差方差分別為σ²_r=200，σ²_f=100。

（2） 使用6部雷達對目標(biāo)進行組網(wǎng)跟蹤。假設(shè)在40 km處，量測誤差方差分別為σ²_r=300，σ²_f=100。各傳感器功率上下限分別為P_imax=0.6P_total，P_imin=P_total/100。

4.1 仿真驗證

（1） 場景1

場景中目標(biāo)運動速度為（200，0）m/s，布置4部雷達進行功率分配和目標(biāo)跟蹤仿真驗證，各雷達布站參數(shù)如表1所示，目標(biāo)真實航跡和各濾波方法得到的估計航跡如圖3所示，其仿真結(jié)果的進一步分析如圖4～圖6所示。

（2） 場景2

場景中目標(biāo)運動速度為（500，0）m/s，先做勻速直線運動，而后進行勻轉(zhuǎn)彎運動，最后進行勻速直線運動。布置6部雷達進行功率分配和目標(biāo)跟蹤仿真驗證，各雷達布站參數(shù)如表2所示，目標(biāo)真實航跡和各濾波方法得到的估計航跡如圖7所示，其仿真結(jié)果的進一步分析如圖8～圖10所示。

4.2 仿真分析

（1） 由圖4和圖8分析可知，利用PCRLB度量準(zhǔn)則的功率優(yōu)化方法相比于功率均勻分配的方法而言，具有更好的跟蹤精度，具體原因：在總功率一定的情況下，以最小化PCRLB為優(yōu)化函數(shù)，可得到當(dāng)前時刻每部雷達的最優(yōu)功率分配，從而獲取每部雷達的量測精度，保證了目標(biāo)跟蹤的理論最優(yōu)下界。此外，在場景1中，目標(biāo)運動到10幀附近時，目標(biāo)距離各雷達相對位置近似相等，此時功率均勻分配，兩種分配方案近乎相同，如圖4所示。

（2） 由圖5和圖9分析可知，在其他參數(shù)不變的情況下，基于PCRLB的功率分配方法與目標(biāo)和雷達的相對距離有關(guān)，具體可參考式（8）。如圖5所示，雷達1在10幀之前，距離目標(biāo)相對較近，分配較多功率，隨著目標(biāo)運動，在與4部雷達距離近似相等時，功率分配基本一致，在10幀之后，目標(biāo)距離雷達4較近，分配較多功率，上述趨勢與圖4中目標(biāo)跟蹤PCRLB結(jié)論一致。如圖9所示，隨著目標(biāo)進行轉(zhuǎn)彎運動，雷達3和雷達1相對位置更好，分配更多功率，而雷達4則由于遠離目標(biāo)，功率分配顯著下降。

（3） 圖6和圖10分別表示不同場景中，不同功率分配方法下的目標(biāo)跟蹤精度，以及在基于PCRLB方法下的不同非線性濾波方法跟蹤精度。重點分析UF方法和UCF方法可知，本文所提出的針對性擴維濾波UCF在大噪聲強非線性濾波問題中，具有更好的估計精度，主要原因在于：通過分析原始雷達量測函數(shù)（徑向距離和多普勒），利用問題特殊性，構(gòu)建出具體的不相關(guān)轉(zhuǎn)換擴維量測，如式（23）所示，可有效提取原始量測中的更多信息，并將其應(yīng)用于LMMSE濾波框架中，即UCF中，從而得到更高精度的目標(biāo)狀態(tài)估計結(jié)果。由圖6和圖10結(jié)果可知，本文所提UCF方法可有效克服傳統(tǒng)濾波方法（如UF、QKF等）的性能缺陷，有效解決強非線性濾波問題。此外，該估計結(jié)果可反饋至功率分配方法中，實現(xiàn)更準(zhǔn)確的功率分配，實現(xiàn)整體系統(tǒng)的優(yōu)化求解。

5 結(jié) 論

針對組網(wǎng)雷達等體系化探測跟蹤系統(tǒng)，本文提出了一種基于UCF的目標(biāo)協(xié)同跟蹤和功率分配方法，該濾波方法可通過所設(shè)計的針對性量測擴維項，有效提取原始量測中的更多信息，突破了傳統(tǒng)非線性濾波方法的本質(zhì)缺陷，從而進一步在基于LMMSE的濾波框架中提高狀態(tài)估計性能。同時，高精度的狀態(tài)估計結(jié)果可用于基于PCRLB的功率分配方法中，高效準(zhǔn)確分配當(dāng)前時刻的各雷達功率，保證了NRS功率分配的優(yōu)越性。

通過仿真可進一步驗證，利用非線性函數(shù)的特殊性，可構(gòu)造出高效的不相關(guān)轉(zhuǎn)換擴維項，進而改善整體系統(tǒng)跟蹤和功率分配性能。本文所提不相關(guān)轉(zhuǎn)換具體構(gòu)型只是眾多不相關(guān)轉(zhuǎn)換選擇中較好的一種，通過深入分析，可進一步構(gòu)造出性能優(yōu)異的不相關(guān)轉(zhuǎn)換擴維項。此外，分析UCF方法特性可知，對于大機動強非線性目標(biāo)跟蹤問題，該方法相比于其他非線性處理方法優(yōu)越性可能更加顯著。

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作者簡介

張英杰（1991—），男，工程師，博士，主要研究方向為目標(biāo)信息融合、組網(wǎng)雷達資源分配。

陳洪猛（1986—），男，高級工程師，博士，主要研究方向為雷達系統(tǒng)總體設(shè)計。

高文權(quán)（1981—），男，研究員，碩士，主要研究方向為雷達系統(tǒng)總體設(shè)計。

蘭 劍（1983—），男，教授，博士，主要研究方向為信息融合、目標(biāo)跟蹤、性能評估。

葉春茂（1981—），男，研究員，博士，主要研究方向為雷達系統(tǒng)總體技術(shù)、雷達成像與識別。

陳 燕（1973—），女，研究員，博士，主要研究方向為雷達系統(tǒng)總體技術(shù)。