摘" 要：

針對傳統(tǒng)接觸器控制模型可靠性低、控制精度差等問題，提出一種基于無位置傳感器的交流接觸器吸合過程動(dòng)態(tài)控制仿真分析方法。首先，根據(jù)交流接觸器的磁路模型，推導(dǎo)出交流接觸器動(dòng)鐵心的位移公式，形成位移估算器;在位移估算器的基礎(chǔ)上進(jìn)行吸力預(yù)測，并根據(jù)控制模型設(shè)計(jì)閉環(huán)控制器。其次，建立交流接觸器的動(dòng)態(tài)閉環(huán)控制仿真模型，通過對比分析交流接觸器在非受控、脈沖寬度調(diào)制（PWM）分時(shí)控制和位移閉環(huán)控制3種模式下的閉合時(shí)間，證實(shí)位移閉環(huán)控制方案的有效性。最終，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)所提模型的精確度以及控制策略的實(shí)用性，為交流接觸器的智能控制提供思路。

關(guān)鍵詞：

交流接觸器; 動(dòng)態(tài)特性仿真; 吸力預(yù)測; PWM控制; 閉環(huán)控制

張軍輝（1994—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娖鳡顟B(tài)監(jiān)測及電器智能化。

劉樹鑫（1982—），男，副教授，博士，研究方向?yàn)殡娖鳡顟B(tài)監(jiān)測與電器智能化。

劉" 洋（1982—），男，工程師，博士，研究方向?yàn)殡娖鳡顟B(tài)監(jiān)測與電器智能化。

*基金項(xiàng)目： 遼寧省科技重大項(xiàng)目資助（2020H/10100012）;遼寧省科技廳“揭榜掛帥”科技攻關(guān)專項(xiàng)資助（2022JHI/10800015）

中圖分類號： TM572.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 2095-8188（2024）10-0001-06

DOI：

10.16628/j.cnki.2095-8188.2024.10.001

Displacement Control Strategy of AC Contactor Based on Sensorless Technology

ZHANG Junhui，" LIU Shuxin，" LIU Yang，" XING Chaojian

［Key Laboratory of Special Electric Machines and High Voltage Apparatus in the Ministry of Education（Shenyang University of Technology），Shenyang 110870， China］

Abstract：

Aiming at the problems of low reliability and poor precision of traditional contactor control model，a dynamic simulation and analysis method of AC contactor suction process based on sensorless technology is proposed.Firstly，according to the magnetic circuit model of AC contactor，the displacement formula of moving iron core of AC contactor is deduced，and the displacement estimator is formed.Based on the displacement estimator，the suction force is predicted，and a closed-loop controller is designed according to the control model.Then，the dynamic closed-loop control simulation model of AC contactor is established，and the closing time of AC contactor in three modes of uncontrolled，PWM time-sharing control and displacement feedback closed-loop control is compared and analyzed，which proves that the displacement closed-loop control scheme has remarkable effectiveness.Finally，the experimental results confirm the accuracy of the model and the practicability of the control strategy，and provide some ideas for the intelligent control of AC contactor.

Key words：

AC contactor; dynamic characteristic simulation; suction prediction; PWM control; closed-loop control

0" 引" 言

隨著在線監(jiān)測技術(shù)的不斷成熟，交流接觸器智能化發(fā)展趨勢愈發(fā)明顯［1-3］。智能交流接觸器結(jié)合傳統(tǒng)交流接觸器的功能與現(xiàn)代智能控制技術(shù)，廣泛應(yīng)用于精度較高的工業(yè)自動(dòng)化和電力系統(tǒng)中，通過提供精確的控制、增強(qiáng)的監(jiān)控能力和遠(yuǎn)程管理功能，為各行業(yè)帶來顯著的效益。在各種智能交流接觸器中，位置控制類接觸器在數(shù)控機(jī)床等精密機(jī)械加工領(lǐng)域可以實(shí)現(xiàn)電氣設(shè)備的軟啟動(dòng)和停止，延長設(shè)備壽命，確保加工過程的精確性和重復(fù)性;同時(shí)能夠允許用戶根據(jù)具體應(yīng)用需求調(diào)整吸合特性，如吸合時(shí)間、電流上升速率等。增強(qiáng)交流接觸器的動(dòng)作穩(wěn)定性和可靠性，對于智能電網(wǎng)和工業(yè)智能化的進(jìn)步具有深遠(yuǎn)的影響。

不少專家學(xué)者已開展有關(guān)交流接觸器的動(dòng)態(tài)過程仿真控制技術(shù)方面的研究工作。文獻(xiàn)［4］構(gòu)建了交流接觸器的動(dòng)態(tài)過程耦合仿真模型，并通過觸頭與鐵心在彈跳過程中的分段振動(dòng)微分方程來獲得其數(shù)值解。文獻(xiàn)［5］基于插值計(jì)算構(gòu)建了智能交流接觸器的耦合動(dòng)力學(xué)仿真系統(tǒng)，并采用多種續(xù)流策略來探索智能交流接觸器的分閘動(dòng)態(tài)行為。文獻(xiàn)［6］采用Maxwell 3D軟件建立交流接觸器動(dòng)靜鐵心模型，研究在其他參數(shù)相同情況下鐵心結(jié)構(gòu)與電磁吸力和電磁吸合時(shí)間的關(guān)系。文獻(xiàn)［7］通過ADAMS和MATLAB/Simulink的聯(lián)合模擬，研究吸合過程中各種振動(dòng)狀況對接觸器動(dòng)態(tài)行為的影響。上述文獻(xiàn)均屬于接觸器相關(guān)仿真模型研究，可以實(shí)現(xiàn)交流接觸器仿真的效果，但存在仿真模型無法與控制策略相結(jié)合以及控制效果較弱、控制精度較差、吸合可靠性較低等問題。

針對以上問題，結(jié)合以往在其他電器上的仿真控制經(jīng)驗(yàn)，本文提出以位移為反饋的雙閉環(huán)交流接觸器控制策略。首先基于MATLAB的Simulink模塊建立動(dòng)態(tài)仿真控制模型，然后對交流接觸器的動(dòng)態(tài)控制過程進(jìn)行仿真，結(jié)合不同脈沖寬度調(diào)制（PWM）控制策略對交流接觸器閉合時(shí)間進(jìn)行對比分析。最后，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該策略能有效控制接觸器的合閘時(shí)間。

1" 基本原理

本文涉及的原理主要有交流接觸器動(dòng)鐵心位移估算原理、交流接觸器動(dòng)鐵心吸力預(yù)測原理、交流接觸器控制模型和控制器設(shè)計(jì)。

1.1" 交流接觸器動(dòng)鐵心位移估算原理

目前，交流接觸器位移的獲取主要依賴于在其內(nèi)部放置的位置傳感器，但這會(huì)極大地增加接觸器的制作成本和體積，并且使得小型接觸器的適應(yīng)性受到限制。因此，許多專家學(xué)者開始研究基于無位置傳感器的交流接觸器來達(dá)到更好的控制效果。本文主要從磁路的視角進(jìn)行深入探討，成功通過線圈電壓、電流來推斷有關(guān)交流接觸器動(dòng)鐵心位置的關(guān)系公式，并提出一種無位置傳感器的動(dòng)鐵心位置檢測技術(shù)。

對位移估算器的構(gòu)成進(jìn)行磁路分析。控制模塊利用整流和斬波的方法將交流電導(dǎo)入激勵(lì)線圈，其會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)的磁場。該磁場在動(dòng)、靜鐵心和空氣間隙之間形成封閉式的磁場通道。將所提的磁路結(jié)構(gòu)看作是接觸器的等效磁路，等效磁路模型如圖1所示。圖1中，Rdi（i=1，2，3）為動(dòng)鐵心的左右側(cè)柱、中柱以及上柱產(chǎn)生的等效磁阻，Rji（i=1，2，3）為靜鐵心左右側(cè)柱、中柱及磁軛生成的等效磁阻，Rqi（i=1，2）為中心區(qū)域以及左右兩側(cè)工作氣體間隙的相同磁阻值。

動(dòng)：靜鐵心的面積均為S，故其等效磁阻為

Rp=Rd22+Rd12+Rj12+Rj22+Rj3+Rd3=lSμ0μrS（1）

式中：" μ0——真空條件下的磁導(dǎo)率;

μr——相對磁導(dǎo)率;

lS——整個(gè)磁路中磁通的長度。

氣體間隙的等效磁阻Ra為

Ra=Rq1+Rq22=3xμ0S（2）

式中：" x——?jiǎng)予F心位移。

把磁場強(qiáng)度H與磁感應(yīng)強(qiáng)度B進(jìn)行擬合，可以得到：

B=aH1+bH（3）

μr=Bμ0H=aμ0（1+bH）（4）

式中：" a、b——擬合系數(shù)。

根據(jù)安培定律可得：

HlS=Ni-Ra（5）

L=Ni=N2lS/aS+bHlS/aS+3x/μ0S（6）

式中：" L——?jiǎng)?lì)磁線圈的電感;

N——交流接觸器線圈的匝數(shù);

i——?jiǎng)?lì)磁線圈的電流;

——磁通。

線圈中的電壓可表示為

u（t）=Ri（t）+Nddt=Ri（t）+ddt（Li）（7）

可得：

=1N∫t0（u-Ri）dτ（8）

因而電感可以表示為

L=Ni=∫t0（u-Ri）dτi（9）

將Ra等效為β，L的表達(dá)式簡化為

L=N2［（lS+bNi）/a+3x/μ0］/S+β（10）

位移x為動(dòng)態(tài)電感的函數(shù)，表達(dá)式為

x=μ03lS+aNi-b-SN2β-L（11）

式（9）和式（11）可以用來預(yù)測動(dòng)態(tài)過程中的線圈電感和動(dòng)鐵心運(yùn)動(dòng)的位移，根據(jù)預(yù)測方程構(gòu)成位移估算器，利用線圈電壓與電流的實(shí)時(shí)數(shù)值，能夠在線預(yù)測實(shí)時(shí)的鐵心位移。

1.2" 交流接觸器動(dòng)鐵心吸力預(yù)測原理

由于交流接觸器鐵心所受吸力和合力無法直接獲得，本文通過反向傳播（BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來對電流位移吸力3者的關(guān)系進(jìn)行研究，并選擇合適的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)來獲得［8］。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)吸力估計(jì)原理如圖2所示。將靜態(tài)數(shù)據(jù)對（電流位移）作為雙重輸入，并以相應(yīng)的吸力為預(yù)期輸出，對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。在訓(xùn)練結(jié)束之后，提取網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和閾值，并進(jìn)行修改，以便以實(shí)時(shí)測量的線圈電流、預(yù)測位移為輸入，從而實(shí)現(xiàn)電磁吸力的實(shí)時(shí)觀測。

1.3" 交流接觸器控制模型和控制器設(shè)計(jì)

交流接觸器電磁系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特點(diǎn)主要包括電磁機(jī)構(gòu)的吸力、反向力對動(dòng)鐵心動(dòng)態(tài)參數(shù)的作用和電磁因素對動(dòng)鐵心上電磁吸力的影響［9］。該電磁系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程，涉及多個(gè)階段，一般接觸器的動(dòng)態(tài)過程可以用狀態(tài)方程表示，具體為

dψdt=U-icoilRcoil（12）

dvdt=Fx+G-Ffm（13）

dxdt=v（14）

式中：" ψ——線圈產(chǎn)生的磁鏈;

U——線圈電壓;

icoil——線圈電流;

Rcoil——線圈電阻;

v——鐵心的移動(dòng)速度;

Fx——鐵心之間的電磁吸力;

G——接觸器運(yùn)動(dòng)模塊的重力;

Ff——運(yùn)動(dòng)模塊所受到的阻力（如彈簧的反作用力、運(yùn)動(dòng)過程中所受到的摩擦力和空氣阻力），在文中空氣阻力看作和鐵心運(yùn)動(dòng)速度成正相關(guān);

m——運(yùn)動(dòng)模塊自身的質(zhì)量;

x——鐵心的運(yùn)動(dòng)位移。

結(jié)合式（13）和式（14），可得：

md2xdt2+k1dxdt+k2x-Fx+G=0（15）

式中：" k1——空氣中所受阻力的系數(shù);

k2——各類彈簧反力對應(yīng)的彈性系數(shù)之和。

運(yùn)動(dòng)階段采取位移控制［10］。令F=Fx-G，電磁力函數(shù)包含著與位移不相關(guān)的反力，其運(yùn)動(dòng)過程中的傳遞函數(shù)可表示為

x（s）F（s）=G（s）=1k2·k2/ms2+k1s/m+k2/m（16）

式中：" G（s）——系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

該系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)，二階系統(tǒng)特征參數(shù)為

K=1k2ωn=k2mξn=k12mk2（17）

式中：" K——整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)增益;

ωn——整個(gè)系統(tǒng)的阻尼比;

ξn——整個(gè)系統(tǒng)處于無阻尼情況下的自然振蕩頻率。

k1k2，ξn在0～1，系統(tǒng)是在欠阻尼的情況下，響應(yīng)速度非?？?。從比例積分微分（PID）控制角度，組成3階閉環(huán)的控制系統(tǒng)。閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)如圖3所示。

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為

（s）=sms3+（k1+kd）s2+（k2+kp）s+ki（18）

式中：" kd——微分系數(shù);

kp——比例系數(shù);

ki——積分系數(shù)。

位移在閉合的過程中一直處于動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)，合閘動(dòng)作完成之前的一段時(shí)間沒有穩(wěn)定狀態(tài)，因此在研究其控制函數(shù)時(shí)會(huì)舍去積分項(xiàng)。式（18）可變?yōu)?/p>

（s）=1k2+kp·（k2+kp）/ms2+（k1+kd）s/m+（k2+kp）/m（19）

通過改變系統(tǒng)控制參數(shù)，即改變kp和kd的數(shù)值可達(dá)到較好的控制效果，進(jìn)而符合系統(tǒng)要求的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)。雙閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖4所示。

2" 仿真系統(tǒng)建立及仿真結(jié)果

2.1" 仿真模型建立

交流接觸器動(dòng)態(tài)仿真的關(guān)鍵在于獲得電流

位移磁鏈的關(guān)系以及電流位移吸力的關(guān)系。求解交流接觸器動(dòng)態(tài)微分方程的重點(diǎn)在于反求電流和吸力的值。由于磁材料特性以及線圈匝數(shù)對其影響很大，采用有限元方法模擬分析這類問題具有重要意義。在本研究中，使用Ansys的Maxwell模塊構(gòu)建交流接觸器的結(jié)構(gòu)模型［11］。在加載磁場邊界條件和電流載荷后，首先對仿真模型進(jìn)行了必要的網(wǎng)格劃分，并對磁場邊界條件和電流載荷進(jìn)行加載。接著，將位移和電流進(jìn)行分段處理，并進(jìn)行循環(huán)計(jì)算。在每一個(gè)不同的固定位移條件下，都加載一系列電流值，從而得到了磁鏈數(shù)據(jù)和吸力數(shù)據(jù)。電流位移吸力的三維關(guān)系如圖5所示;電流位移磁鏈的三維關(guān)系如圖6所示。

在交流接觸器動(dòng)態(tài)模型中，電壓平衡子模塊可以通過ψ（x，icoil）表格反演得到icoil（ψ，x）表格，然后對得到的表格數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理，從而反推出電流。在機(jī)械運(yùn)動(dòng)子模塊中，通過選擇合適的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)來對電流位移吸力3者關(guān)系進(jìn)行研究。在Simulink平臺上構(gòu)建仿真模型，交流接觸器閉環(huán)控制動(dòng)態(tài)模型如圖7所示。

2.2" 仿真控制結(jié)果

勵(lì)磁電壓是影響交流接觸器閉合運(yùn)動(dòng)最主要的因素。其中國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，交流接觸器應(yīng)能在85%～110%線圈額定電壓下進(jìn)行穩(wěn)定的吸合。為保證控制效果不受初相角隨機(jī)性的干擾，保持文中的一致性，控制電壓為180～250 V，以10 V為電壓間隔。使用設(shè)計(jì)的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，基于隨機(jī)微分方程（SDE）的PID參數(shù)整定［12］，通過隨機(jī)生成的控制參數(shù)，并以ITAE性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，迭代進(jìn)化不斷優(yōu)化以找到最優(yōu)控制PID參數(shù)。經(jīng)多次調(diào)試比較分析得到，其位移環(huán)控制參數(shù)為比例系數(shù)kpx=560，微分系數(shù)kdx=180。將PWM輸出的頻率設(shè)定為10 kHz。將PWM分時(shí)控制模型與本文建立的位移閉環(huán)控制模型的控制效果進(jìn)行比較，分析二者的合閘時(shí)間和閉合末速度。不同控制方式下機(jī)構(gòu)仿真合閘時(shí)間如表1所示;不同控制方式下機(jī)構(gòu)仿真閉合末速度如表2所示。

3" 實(shí)驗(yàn)平臺搭建及測試

3.1" 實(shí)驗(yàn)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

本文利用低壓開關(guān)電器通斷試驗(yàn)平臺，搭建

交流接觸器觸頭系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)分析試驗(yàn)系統(tǒng)。本文的試驗(yàn)對象為CJX2-5011型交流接觸器。交流接觸器觸頭系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)分析試驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物圖如圖8所示。

3.2" 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在仿真結(jié)果的基礎(chǔ)上，本次實(shí)驗(yàn)接觸器總行程為10 mm，主要包括接觸器的超行程2 mm和開距8 mm。實(shí)驗(yàn)在只考慮開關(guān)觸頭開距情況下進(jìn)行，并且控制交流接觸器的合閘初相角一致為0°。以每10 V為電壓間隔，將控制電壓從180 V增加至250 V。交流接觸器未控制下位移曲線如圖9所示;交流接觸器雙閉環(huán)控制下位移曲線如圖10所示。由圖9可知，在未控制情況下，當(dāng)線圈電壓發(fā)生變化時(shí)，對應(yīng)的電壓越高，接觸器運(yùn)動(dòng)模塊的運(yùn)動(dòng)速度越快，機(jī)構(gòu)閉合時(shí)間的離散度超過5 ms。由圖10可知，加入位移閉環(huán)控制后，機(jī)構(gòu)的位移基本上可以遵循給定的位移曲線。

在180～250 V范圍內(nèi)改變控制電壓，以每10 V為一個(gè)電壓間隔。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)，不同控制電壓下機(jī)構(gòu)閉合末速度、彈跳時(shí)間、合閘時(shí)間如表3所示。

對接觸器添加不變的質(zhì)量類負(fù)載和彈簧類負(fù)載。不變的質(zhì)量類負(fù)載為0.2 kg，彈簧彈性系數(shù)為10 N/mm。在220 V的控制電壓下，在不同負(fù)載條件下進(jìn)行了多次閉合實(shí)驗(yàn)求其動(dòng)態(tài)性能的平均值。不同負(fù)載下機(jī)構(gòu)閉合末速度、彈跳時(shí)間、合閘時(shí)間如表4所示。

通過表3和表4得出，在控制電壓或負(fù)載出現(xiàn)一定變化時(shí)，所提策略總能將接觸器閉合時(shí)間的離散度控制在2 ms以內(nèi)，其彈跳時(shí)間能控制在0.81 ms以內(nèi)，閉合末速度能夠控制在1 m/s以內(nèi)。

4" 結(jié)" 語

本文通過MATLAB的Simulink模塊建立了動(dòng)態(tài)仿真模型，結(jié)合不同控制策略對交流接觸器合閘時(shí)間進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析表明，該模型可對交流接觸器的智能控制動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行準(zhǔn)確仿真，得到以下結(jié)論。

（1） 通過建立交流接觸器的磁路模型，可以利用檢測線圈電壓、電流的實(shí)時(shí)信號保證交流接觸器位移信號實(shí)時(shí)估算的準(zhǔn)確性;然后利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對交流接觸器的電磁吸力進(jìn)行估算，實(shí)現(xiàn)對交流接觸器的動(dòng)態(tài)仿真，進(jìn)一步提高了控制的效率和準(zhǔn)確性。

（2） 建立交流接觸器數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)位移閉環(huán)控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對交流接觸器閉合時(shí)間的有效控制，表明交流接觸器運(yùn)動(dòng)模塊吸力、反力有效準(zhǔn)確的配合，有助于交流接觸器的有效閉合，進(jìn)而提高交流接觸器的壽命和可靠性。

（3） 通過基于Ansys中的Maxwell有限元分析軟件建立鐵心模型獲得位移、磁鏈和電流，實(shí)現(xiàn)控制策略與接觸器動(dòng)態(tài)仿真模型的結(jié)合，有利于交流接觸器智能控制的進(jìn)一步研究。

【參 考 文 獻(xiàn)】

［1］" 葉泓偉，繆希仁，張琳輝，等.低壓交流電磁電器集成技術(shù)綜述［J］.電器與能效管理技術(shù)，2023（1）：8-15，27.

［2］" 周煜源，劉向軍.交流接觸器結(jié)構(gòu)創(chuàng)新與智能控制技術(shù)綜述［J］.電器與能效管理技術(shù)，2021（2）：1-7.

［3］" 黃火明，薛毓強(qiáng)，吳旋昊.交流接觸器智能控制技術(shù)的發(fā)展［J］.電氣開關(guān)，2017，55（6）：1-4，19.

［4］" 李亞峰，王發(fā)展，王雁琨，等.接觸器觸頭系統(tǒng)彈跳行為仿真及影響因素分析［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2021，40（1）：55-62.

［5］" 郭良，梁步猛，章上聰，等.考慮電磁續(xù)流的智能交流接觸器耦合動(dòng)力學(xué)仿真與試驗(yàn)研究［J］.電器與能效管理技術(shù)，2018（12）：19-24，29.

［6］" 李雪，傅亮，徐宵偉.交流接觸器動(dòng)靜鐵心結(jié)構(gòu)對電磁特性影響的仿真研究與試驗(yàn)驗(yàn)證［J］.電器與能效管理技術(shù)，2018（12）：55-60.

［7］" 杜太行，陳帆，孫曙光，等.基于多物理場耦合的交流接觸器動(dòng)態(tài)特性研究［J］.電測與儀表，2022：1-7.

［8］" 湯龍飛，諶浩，許志紅，等.接觸器的無傳感器分合閘位移跟蹤控制技術(shù)［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2023，43（17）：6852-6862.

［9］" 郭樹財(cái)，馬彥深，王喜蓮.交流接觸器電磁特性分析［J］.電器與能效管理技術(shù)，2021（2）：14-18.

［10］" 劉北陽，李志兵，趙子瑞，等.高壓斷路器電磁類型操動(dòng)機(jī)構(gòu)的位移跟蹤技術(shù)研究［J］.高壓電器，2021，57（9）：9-18.

［11］" 楊文英，邵帥，周敬，等.基于Ansys大功率接觸器振動(dòng)特性仿真研究［J］.電器與能效管理技術(shù)，2018（4）：25-28.

［12］" 楊茂華，譚飛，尹宋麟.基于隨機(jī)差分進(jìn)化算法的最優(yōu)PID參數(shù)整定方法［J］.四川輕化工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，35（6）：50-56.

收稿日期： 20240524