《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，是通過(guò)視覺、觸覺等多種感官對(duì)物體的大小、多少、輕重、厚薄等的感性認(rèn)識(shí)。量感的形成可以通過(guò)直觀感知、測(cè)度體驗(yàn)、測(cè)算提升等幾個(gè)層次的活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。那么，教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的“量感”？筆者以“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”教學(xué)為例，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生“量感”的一些方法。

一、在畫中感知“量”

感量操作是學(xué)生“量感”建立的基石?！皩?duì)‘單位量’的感受與體驗(yàn)及“對(duì)‘累計(jì)量’的感受與體驗(yàn)”是感量的兩種形式?！皢挝涣俊敝卦谝龑?dǎo)學(xué)生建立“標(biāo)準(zhǔn)”，“累計(jì)量”旨在讓學(xué)生對(duì)于“大小”“多少”“快慢”等從模糊的定性到精準(zhǔn)的定量的提升?！罢J(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”這節(jié)課承載著培養(yǎng)學(xué)生量感及對(duì)“累計(jì)量”精準(zhǔn)定量。

如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”一課時(shí)，基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，選擇學(xué)生最為熟悉的“400米比賽”作為導(dǎo)入，動(dòng)態(tài)演示學(xué)生跑400米的過(guò)程，學(xué)生充分調(diào)動(dòng)自己的視覺、聽覺等多種感官，在“觀—思—悟”中準(zhǔn)確判斷出：從起點(diǎn)出發(fā)繞著操場(chǎng)的邊線一圈回到起點(diǎn)就是操場(chǎng)的一周；“起點(diǎn)”可以是邊線上的任意一點(diǎn)，只要能繞著邊線一圈“回到這一個(gè)起點(diǎn)”就是這個(gè)操場(chǎng)的一周，明確“一周”的概念。在實(shí)景操作的基礎(chǔ)上，教師還設(shè)計(jì)“動(dòng)手描一描”活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在圖形上找一周，從具象到抽象過(guò)渡。

這種從“直觀表象”到“抽象表象”的過(guò)程中，學(xué)生有效建立“單位量”的表象，也為建構(gòu)“累加量”埋下伏筆。

二、在量中體驗(yàn)“量”

“周長(zhǎng)”本質(zhì)是長(zhǎng)度單位的累加。學(xué)生能夠感知基本的長(zhǎng)度單位并理解概念背后的本質(zhì)是度量。史寧中教授曾指出：度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來(lái)的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的工具；度量的本質(zhì)在于對(duì)事物的某些指標(biāo)進(jìn)行量化，以及對(duì)量化順序的感知。如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”一課時(shí)，我們著重從以下三方面入手，增強(qiáng)學(xué)生量感素養(yǎng)。

（一）實(shí)踐操作，體驗(yàn)量感

親歷度量過(guò)程，直觀體驗(yàn)事物的可測(cè)量屬性及大小，是培養(yǎng)學(xué)生量感的必要環(huán)節(jié)。教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷量感學(xué)習(xí)的觀察、體驗(yàn)和頓悟過(guò)程，提供可視的探究活動(dòng)；再通過(guò)實(shí)驗(yàn)、推理、比較、聯(lián)想等策略，引領(lǐng)學(xué)生建立量感、精準(zhǔn)量感，讓量感學(xué)習(xí)真實(shí)可見。三年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)有了“度量”的經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)“動(dòng)手量一量”的活動(dòng)，給每個(gè)小組提供豐富的感性材料（三角形、長(zhǎng)方形、圓形）引導(dǎo)小組合作探究。

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手量直邊的圖形感知直邊圖形的周長(zhǎng)是“線累加”的過(guò)程，在經(jīng)歷操作測(cè)量曲邊圖形的過(guò)程，感悟“化曲為直”的思想。學(xué)生在操作中不僅合理估計(jì)培養(yǎng)估算意識(shí)，同時(shí)在探索中發(fā)展了量感。

（二）引導(dǎo)交流，強(qiáng)化量感

“周長(zhǎng)”本質(zhì)的理解，它需要學(xué)生經(jīng)歷“讀取信息—加工信息—表達(dá)想法”，即從直觀到抽象的過(guò)程。教學(xué)時(shí)，教師將上述三種圖形的一周全部取下貼到黑板上，原來(lái)“曲的、不規(guī)則的、幾條線段”，經(jīng)過(guò)“化曲為直”“長(zhǎng)度累加”具象變成一條看得到、摸得著的“直線”，而學(xué)生在觀察中會(huì)發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)的本質(zhì)就是“線的長(zhǎng)度”，求圖形的周長(zhǎng)就是把圖形每一條邊線的長(zhǎng)度累加起來(lái)的過(guò)程。學(xué)生在個(gè)性化的實(shí)踐和探究中豐富了“感量”經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也促進(jìn)了量感的形成和提升。

（三）聯(lián)系生活，強(qiáng)化量感

1. 找準(zhǔn)“累計(jì)量”。周長(zhǎng)是單位長(zhǎng)度的累加，為了精準(zhǔn)量感，首先應(yīng)找準(zhǔn)“累計(jì)量”。為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”這一概念的認(rèn)知，筆者先設(shè)計(jì)了“五角星”（如圖1），并對(duì)學(xué)生提問：“下列哪個(gè)選項(xiàng)所示是五角星的周長(zhǎng)？”

生1：選A，因?yàn)槲褰切巧系木€都是它的周長(zhǎng)。

生2：選B，因?yàn)橹荛L(zhǎng)是指“封閉圖形的邊線一周的長(zhǎng)度”，只跟“邊線”有關(guān)，跟其他的線沒有關(guān)系。

作為感知素材，學(xué)生必須先突破“線”這個(gè)枷鎖找出正確的“累計(jì)量”。現(xiàn)實(shí)問題和原有經(jīng)驗(yàn)的碰撞，能讓學(xué)生在活動(dòng)中引發(fā)自我反思和培養(yǎng)批判精神，使學(xué)生在教師的引導(dǎo)和自我的內(nèi)化過(guò)程中，獲得解決新問題的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)由低層次向高層次的豐富和升華。通過(guò)辨析，學(xué)生進(jìn)一步明晰核心概念“周長(zhǎng)即是特殊線段的長(zhǎng)度”。

2. 找準(zhǔn)“長(zhǎng)度量”?！熬€”與“面”二者同時(shí)存在于圖形中，“面”于視覺效果而言是更清晰的感知，而“線”是一條彎彎繞繞不易察覺的存在。所以筆者將“面”這一極為容易混淆的概念引入設(shè)計(jì)了“創(chuàng)圖形”的活動(dòng)。

活動(dòng)內(nèi)容：用這一條線創(chuàng)造一個(gè)有周長(zhǎng)的圖形。

問：這些圖形的周長(zhǎng)相等嗎？

生1：不相等。圖形比較大的周長(zhǎng)大，圖形比較小的周長(zhǎng)小。

追問：圖形比較大指的是什么大？

生1：面比較大。

生2：不管圍成的是什么圖形，它們都是用“同樣長(zhǎng)”的線段圍成，所以周長(zhǎng)一定相等。

學(xué)生的視覺感知帶給了他們一種錯(cuò)誤的認(rèn)知：面大周長(zhǎng)就長(zhǎng)，面小周長(zhǎng)就短。應(yīng)從周長(zhǎng)的本質(zhì)出發(fā)：度量這些不同圖形的周長(zhǎng)就是在度量這些圖形“一周”的長(zhǎng)度，而它們的“一周”都是“同樣長(zhǎng)”的一條線即它們的周長(zhǎng)相等。鞏固周長(zhǎng)概念的內(nèi)涵，發(fā)展概念的外延，面的大小對(duì)周長(zhǎng)的長(zhǎng)短是沒有影響的，學(xué)生在度量之前應(yīng)先明確度量的對(duì)象，這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的是引導(dǎo)學(xué)生從概念本義上理解“長(zhǎng)度量”的特征，學(xué)生能深刻理解周長(zhǎng)含義，學(xué)生的量感再次得到發(fā)展。

三、在比中辨析“量”

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)直觀形象是他們的認(rèn)知特點(diǎn)，學(xué)生在計(jì)算圖形的周長(zhǎng)時(shí)最直接的方法是線段的累加。當(dāng)學(xué)生進(jìn)行兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)對(duì)比時(shí)，通常采用兩種思辨方法“合”與“分”。先“量”再“加”后進(jìn)行比較即是“合”的過(guò)程；通過(guò)“觀察—猜測(cè)—推理”后進(jìn)行“平移”再“比較”即是“分”的過(guò)程。在“對(duì)比周長(zhǎng)”的過(guò)程中不僅培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力，還發(fā)展了學(xué)生的推理意識(shí)。筆者提供了兩個(gè)圖形（如圖2和3），供學(xué)生對(duì)比探究。

首先，找圖3的“一周”在哪里，而后采用不同的方法進(jìn)行思考。方法一：采用“合”的思維進(jìn)行比較，即先量出“一周”中各條線段的長(zhǎng)度再把它們加起來(lái)；方法二：采用“分”的思維進(jìn)行比較，即通過(guò)“平移”將兩個(gè)不同的圖形改變至有更多相同屬性的圖形后再比較，也就是圖形對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度相等，圖形的周長(zhǎng)就相等。

其次，為了內(nèi)化學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)知，出示圖4并追問：現(xiàn)在圖4這個(gè)圖形變得很細(xì)很細(xì)了，周長(zhǎng)還會(huì)一樣嗎？在視覺上給學(xué)生制造一個(gè)更大的沖擊，如果這個(gè)面變得很小很小呢？引導(dǎo)學(xué)生思考，還能通過(guò)平移得到對(duì)比結(jié)果嗎？學(xué)生在這一環(huán)節(jié)中經(jīng)過(guò)了圖形變式導(dǎo)致認(rèn)知矛盾的產(chǎn)生，再到方法滲透改變圖形從而達(dá)到認(rèn)知矛盾化解，最終得到對(duì)比結(jié)果。學(xué)生在這一感性對(duì)比的過(guò)程中獲得了理性的認(rèn)識(shí)，量感得到了進(jìn)一步培養(yǎng)。

最后，出示“凹”“凸”（如圖5）這兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)對(duì)比，學(xué)生有了“分”的思維概念后，通過(guò)平移改變圖形的形狀再對(duì)比。操作前猜測(cè)平移后可以得到兩個(gè)一樣的長(zhǎng)方形，他分析的依據(jù)是，一個(gè)是向下多了3條線段，一個(gè)是向上多了3條線段，兩個(gè)圖形多出來(lái)的3條線段又是一樣的。動(dòng)手操作后發(fā)現(xiàn)：“凹”的周長(zhǎng)比“凸”的周長(zhǎng)更長(zhǎng)，平移后“凸”字正好能變成一個(gè)長(zhǎng)方形，而“凹”字平移成一樣大的長(zhǎng)方形后還多了兩條邊。學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)不能止于“形式把握”，而是將知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，同時(shí)善于猜想、觀察、實(shí)踐，并最終得出結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，發(fā)展了量感。