摘 要：本文針對(duì)軋機(jī)垂扭耦合振動(dòng)問(wèn)題，建立了相應(yīng)的控制模型，并提出了一種優(yōu)化方法。首先，分析軋機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，建立垂扭耦合振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。其次，基于該模型提出一種基于控制理論的優(yōu)化方法，以有效控制軋機(jī)振動(dòng)。最后，通過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證所提方法的有效性和優(yōu)越性。本文算法引入了輸出性能約束，建立了合理的控制策略，能夠使系統(tǒng)的狀態(tài)變量始終保持在有界范圍內(nèi)，從而提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：軋機(jī)；耦合振動(dòng)；控制模型

中圖分類號(hào)：TG 333" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

軋機(jī)是一種重要的金屬加工設(shè)備，廣泛應(yīng)用于鋼鐵、有色金屬等行業(yè)。但是軋機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜并具有一定的工作特性，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)垂扭耦合振動(dòng)問(wèn)題，嚴(yán)重影響了軋機(jī)的工作效率和產(chǎn)品質(zhì)量[1]。因此，對(duì)軋機(jī)垂扭耦合振動(dòng)進(jìn)行控制和優(yōu)化具有重要的理論和實(shí)際意義。本文旨在建立相應(yīng)的控制模型和優(yōu)化方法，提供一種有效的解決方案。

1 軋機(jī)垂扭耦合振動(dòng)控制模型的建立

1.1 整體設(shè)計(jì)思路

本文針對(duì)扭振系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)扭振控制器來(lái)抑制扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。該控制器可測(cè)量扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的反饋信號(hào)，并結(jié)合系統(tǒng)模型和控制算法生成相應(yīng)的控制信號(hào)來(lái)抑制扭轉(zhuǎn)振動(dòng)[2]。并優(yōu)化控制器參數(shù)和調(diào)節(jié)算法，對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行有效控制。

1.2 具體設(shè)計(jì)算法

本文建立了軋機(jī)主傳動(dòng)扭振系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，該系統(tǒng)包括軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)和扭振系統(tǒng)，本文主要探討扭振系統(tǒng)。扭振系統(tǒng)由軋機(jī)輥和軋機(jī)輥間的彈簧、阻尼器組成。反步坐標(biāo)變換是一種將系統(tǒng)的輸入和輸出變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換的方法，能更好地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性[3]。本文將扭振系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)角度和扭轉(zhuǎn)角速度作為反步坐標(biāo)。針對(duì)軋機(jī)主傳動(dòng)扭振系統(tǒng)，引入反步坐標(biāo)變換，如公式（1）所示。

式中：z21為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；z22為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度-電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；z23為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度；α21、α22分別為虛擬控制器；ζ21、ζ22和ζ23分別為輸出變量。

在軋機(jī)垂扭耦合振動(dòng)控制模型的建立中，本文引入正切障礙李雅普諾夫函數(shù)，將其作為描述系統(tǒng)穩(wěn)定性的函數(shù)，定義一個(gè)障礙函數(shù)來(lái)限制系統(tǒng)的輸出變量可以有效控制系統(tǒng)的性能。在耦合垂振問(wèn)題中，本文構(gòu)造了一個(gè)非對(duì)稱的正切障礙李雅普諾夫函數(shù)來(lái)限制輸出變量的性能。非對(duì)稱是指障礙函數(shù)的上界和下界不對(duì)稱，這樣可以使系統(tǒng)對(duì)輸出變量的上界和下界具有不同響應(yīng)，從而更好地控制系統(tǒng)的振動(dòng)行為。當(dāng)建立軋機(jī)垂扭耦合振動(dòng)控制模型時(shí)，本文將正切障礙李雅普諾夫函數(shù)引入系統(tǒng)的控制策略中。合理選擇障礙函數(shù)的形式和參數(shù)可以限制系統(tǒng)輸出變量在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，從而有效控制系統(tǒng)的振動(dòng)幅度和穩(wěn)定性。特別是在耦合振動(dòng)問(wèn)題中，正切障礙李雅普諾夫函數(shù)的非對(duì)稱性可以更好地適應(yīng)系統(tǒng)的復(fù)雜性，提高系統(tǒng)的控制性能和穩(wěn)定性[4]。為了限制輸出變量ζ21的性能，需要構(gòu)造非對(duì)稱的正切障礙李雅普諾夫函數(shù)，如公式（2）所示。

1.2.1 構(gòu)建第一部分的李雅普諾夫函數(shù)

為了使輸出變量ζ21趨于穩(wěn)定，構(gòu)建第一部分的李雅普諾夫函數(shù)，分別如公式（3）、公式（4）所示。

在軋制過(guò)程中，軋機(jī)會(huì)施加一定壓力和扭矩，將金屬坯料壓制成所需形狀和尺寸。不同厚度和規(guī)格的產(chǎn)品需要不同的軋制參數(shù)和工藝調(diào)整，這就需要在切換不同產(chǎn)品過(guò)程中進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整和適應(yīng)[5]。然而，在切換過(guò)程中，產(chǎn)品的厚度和規(guī)格的變化會(huì)導(dǎo)致軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化。這種變化是突變的、不確定的，甚至?xí)a(chǎn)生沖擊和振動(dòng)。這樣的不確定干擾會(huì)對(duì)軋機(jī)的穩(wěn)定性和軋制質(zhì)量產(chǎn)生負(fù)面影響，因此負(fù)載轉(zhuǎn)矩表示為公式（5）。

TL=TL1+TLD " " " " " " " " " " " " （5）

式中：TL1為穩(wěn)定軋制時(shí)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；TLD為軋制過(guò)程存在干擾導(dǎo)致的干擾轉(zhuǎn)矩。

公式（5）的引理如公式（6）所示。

式中：v21為控制輸入或控制信號(hào)的增益；ρ211為物理參數(shù)或系統(tǒng)參數(shù)；tanh為雙曲正切函數(shù)；ε211為小的正數(shù)。

根據(jù)定義的狀態(tài)變換z22=ζ22+α21，由楊氏不等式可得公式（7）。

楊氏不等式的意義在于它給出了組合數(shù)的一個(gè)上界估計(jì)。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近未知的非線性函數(shù)，將輸入值輸入網(wǎng)絡(luò)中，經(jīng)過(guò)隱藏層計(jì)算和輸出層計(jì)算得到網(wǎng)絡(luò)的輸出值。這個(gè)輸出值就是對(duì)未知函數(shù)在該輸入值下的逼近值。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近未知的非線性函數(shù)，如公式（8）所示。

式中：K為系統(tǒng)的增益系數(shù)；JL為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c3、c4分別為常數(shù)系數(shù)；aRFz為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重；φ21（Z21）為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)。

PID控制器是最常用的虛擬控制器之一，包括比例、積分和微分3個(gè)控制分量。調(diào)節(jié)這些分量的參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度的折衷。PID控制器適用于許多線性和部分非線性系統(tǒng)。模型參考自適應(yīng)控制（MRAC）利用在線辨識(shí)系統(tǒng)模型，并根據(jù)模型誤差來(lái)調(diào)整控制器參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制。MRAC適用于系統(tǒng)參數(shù)變化較快或不確定的情況。本文選取的虛擬控制器和自適應(yīng)律分別如公式（9）、公式（10）所示。

將公式（9）帶入公式（10）可得公式（11）、公式（12）。

1.2.2 構(gòu)建第二部分的李雅普諾夫函數(shù)

計(jì)算方式與第1.2.1節(jié)的第一部分相似，得到第二部分的李雅普諾夫函數(shù)，分別如公式（13）所示。

1.2.3 構(gòu)建第三部分的李雅普諾夫函數(shù)

計(jì)算方式與第1.2.1節(jié)的第一部分相似，得到第三部分的李雅普諾夫函數(shù)，分別如公式（15）、公式（16）所示。

2 模型仿真驗(yàn)證

2.1 仿真設(shè)置

本文選取650mm軋機(jī)為仿真對(duì)象，軋機(jī)機(jī)電液垂扭耦合系統(tǒng)的仿真參數(shù)如下：m1為（8.9357×104）kg，kv為（1.25×10-4）m/v，k11為（7.2×1010）N/m，βe為（7×108）Pa，c11為（1.2×106）（N·s）/m，V為0.0732m3，Ps為（2×107）Pa，

Jm為1552kg·m2，P2為（1×106）Pa，JL為1542kg·m2，A1為（1.9635×10-1）m2，A2為（3.015×10-2）m2，TL1為14500N·m，Ct為（5×10-16）N·m，TLD為（2190×sinπt）N·m，Cd為0.62，R為0.4，w為0.119，c1為0.2，c2為0.1，c3為0.1，c4為0.2，a為0.13，B為0.002，c為0.2。

軋機(jī)垂扭耦合系統(tǒng)狀態(tài)初始值選取如公式（17）所示。

2.2 仿真結(jié)果

利用本文提出的控制算法，軋輥振動(dòng)位移的衰減速度得到了顯著提高。傳統(tǒng)的無(wú)輸出性能約束控制方法無(wú)法有效抑制振動(dòng)的衰減速度，導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間較長(zhǎng)。而本文算法能夠合理控制策略和參數(shù)調(diào)節(jié)，快速減少振動(dòng)位移，使系統(tǒng)的衰減速度更快，從而提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。在穩(wěn)態(tài)誤差方面，本文的控制算法也取得了良好效果。傳統(tǒng)的無(wú)輸出性能約束控制方法無(wú)法消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，導(dǎo)致系統(tǒng)無(wú)法達(dá)到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。而本文算法引入額輸出性能約束，能夠有效減少穩(wěn)態(tài)誤差，使系統(tǒng)能夠達(dá)到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。超調(diào)量是衡量系統(tǒng)控制性能的重要指標(biāo)之一。傳統(tǒng)的無(wú)輸出性能約束控制方法在控制過(guò)程中存在較大超調(diào)量，導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程不夠平滑。而本文算法能夠優(yōu)化控制策略和參數(shù)調(diào)節(jié)，有效減少超調(diào)量，使系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程更平滑、穩(wěn)定。

無(wú)輸出性能受限下的軋輥振動(dòng)位移、無(wú)輸出性能受限下的負(fù)載轉(zhuǎn)速跟蹤誤差分別如圖1、圖2所示。利用本文提出的控制算法，負(fù)載轉(zhuǎn)速的跟蹤誤差趨于穩(wěn)定。傳統(tǒng)的無(wú)輸出性能約束控制方法無(wú)法有效控制負(fù)載轉(zhuǎn)速的誤差，導(dǎo)致系統(tǒng)的跟蹤性能較差。而本文算法引入了輸出性能約束和合理的控制策略，能夠快速減少跟蹤誤差，使其穩(wěn)定在規(guī)定的上、下界內(nèi)，從而提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。在穩(wěn)態(tài)性能方面，本文的控制算法也取得了良好效果。傳統(tǒng)的無(wú)輸出性能約束控制方法無(wú)法嚴(yán)格限制負(fù)載轉(zhuǎn)速的跟蹤誤差，導(dǎo)致系統(tǒng)無(wú)法達(dá)到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。而本文算法優(yōu)化了控制策略和參數(shù)調(diào)節(jié)，能夠?qū)⒏櫿`差嚴(yán)格限制在規(guī)定的上、下界內(nèi)，使系統(tǒng)能夠更好地達(dá)到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。

負(fù)載轉(zhuǎn)速與電機(jī)轉(zhuǎn)速差的響應(yīng)曲線和電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線分別如圖3、圖4所示。傳統(tǒng)的無(wú)輸出性能約束控制方法無(wú)法有效控制振動(dòng)速度，導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)速度波動(dòng)較大。而本文算法引入了輸出性能約束和合理的控制策略，能夠快速減少振動(dòng)速度的波動(dòng)，并使其趨于穩(wěn)定。傳統(tǒng)的無(wú)輸出性能約束控制方法無(wú)法嚴(yán)格限制液壓缸無(wú)桿腔工作壓力的波動(dòng)，導(dǎo)致系統(tǒng)的壓力不穩(wěn)定。而本文算法優(yōu)化了控制策略和參數(shù)調(diào)節(jié)，能夠有效控制液壓缸無(wú)桿腔工作壓力的波動(dòng)。傳統(tǒng)的無(wú)輸出性能約束控制方法無(wú)法保證系統(tǒng)的狀態(tài)變量不超出規(guī)定范圍，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而本文算法引入了輸出性能約束和合理的控制策略，能夠?qū)⑾到y(tǒng)的狀態(tài)變量始終保持在有界范圍內(nèi)，從而提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)軋機(jī)垂扭耦合振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行建模和優(yōu)化，提出了一種基于控制理論的優(yōu)化方法仿真試驗(yàn)表明，該方法能夠有效控制軋機(jī)的振動(dòng)，提高軋機(jī)的工作效率和產(chǎn)品質(zhì)量。本文的研究成果對(duì)軋機(jī)行業(yè)的發(fā)展具有重要意義，也為其他領(lǐng)域的振動(dòng)控制問(wèn)題提供了借鑒和參考。未來(lái)的研究進(jìn)一步探索更高效的優(yōu)化方法，以進(jìn)一步提升軋機(jī)垂扭耦合振動(dòng)控制的效果和性能。

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