典例剖析

例 如圖1，四邊形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，且AB = AD. 求證：CA平分∠BCD.

解法1：（雙垂法）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE ⊥ BC交BC于點(diǎn)E，作AF ⊥ CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADF = 180°，∴∠B = ∠ADF. ∵AE ⊥ BC，AF ⊥ CD，∴∠AEB = ∠AFD = 90°. ∵AB = AD，∴△ABE ≌ △ADF，∴AE = AF.

∵AE ⊥ BC，AF ⊥ CD，∴CA平分∠BCD.

解法2：（旋轉(zhuǎn)法）如圖3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△AED.

∴△ABC ≌ △ADE，∴AC = AE，∠B = ∠ADE，∠ACB = ∠E.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∴∠ADC + ∠ADE = 180°，∴點(diǎn)C，D，E共線.

∵AC = AE，∴∠ACE = ∠E = ∠ACB，∴CA平分∠BCD.

解法3：（截長(zhǎng)補(bǔ)短法）如圖4，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE = CB，連接AE.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADE = 180°，∴∠B = ∠ADE.

∵AB = AD，CB = DE，∴△ABC ≌ △ADE，∴AC = AE，∠ACB = ∠E.

∴∠ACE = ∠E = ∠ACB，∴CA平分∠BCD.

變式 如圖1，四邊形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，且CA平分∠BCD.

求證：AB = AD.

解法1：（雙垂法）如圖5，過(guò)點(diǎn)A作AE ⊥ BC交BC于點(diǎn)E，作AF ⊥ CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

∵AE ⊥ BC，AF ⊥ CD，CA平分∠BCD，∴AE = AF.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADF = 180°，∴∠B = ∠ADF.

∵AE ⊥ BC，AF ⊥ CD，∴∠AEB = ∠AFD = 90°，∴△ABE ≌ △ADF，∴AB = AD.

解法2：（旋轉(zhuǎn)法）如圖6，作∠DAE = ∠BAC，AE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADE = 180°，∴∠B = ∠ADE，∴ ∠ACE = ∠E.

∵CA平分∠BCD，∴ ∠ACE = ∠ACB， ∠E = ∠ACB，∴AC = AE，∴△ABC ≌ △ADE.

∴AB = AD.

解法3：（截長(zhǎng)補(bǔ)短法）如圖7，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使CE = CB.

∵CA平分∠BCD，∴ ∠ACE = ∠ACB.

∵AC = AC，∴△ABC ≌ △AEC，∴AB = AE，∠B = ∠E.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADE = 180°，∴∠B = ∠ADE = ∠E，∴AD = AE，

∴AB = AD.

勤于積累

一、對(duì)角互補(bǔ)四邊形輔助線引法

1.見(jiàn)角平分線，作雙垂線.

過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，可得等線段.

2. 旋轉(zhuǎn)出等腰，等腰可旋轉(zhuǎn). 當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)“共頂點(diǎn)，等線段”結(jié)構(gòu)時(shí)，可考慮“造旋轉(zhuǎn)，出全等”解題策略，化分散為集中，化不規(guī)則為規(guī)則.

若用旋轉(zhuǎn)作輔助線，則需證明三點(diǎn)共線，如例題的解法2；若采用作雙垂線、截長(zhǎng)補(bǔ)短等方法，則需證明全等，如例題的解法1和解法3.

二、一組鄰邊相等的對(duì)角互補(bǔ)四邊形三種常見(jiàn)類型的結(jié)論

1.含一對(duì)直角和一組相等鄰邊型.

如圖8，四邊形ABCD中，若∠ABC = ∠ADC = 90°，AD = CD，則有AB + BC = [2BD].

如圖9，四邊形ABCD中，若∠ADB = ∠ACB = 90°，AD = BD，則有AC - BC = [2CD].

2.含60°角和一組相等鄰邊型.

如圖10，四邊形ABCD中，若∠BAD + ∠BCD = 180°，∠BAD = 60°，AB = AD，則有CD + BC = AC.

3.含120°角和一組相等鄰邊型.

如圖11，四邊形ABCD中，若∠BAD + ∠BCD = 180°，∠BAD = 120°，AB = AD，則有CD + BC = [3AC].

如圖12，四邊形ABCD中，若∠BDC = ∠BAC = 120°，BD = CD，則有AC - AB = [3AD].

拓展訓(xùn)練

1.如圖13，四邊形ABCD中，∠ABC = ∠ADC = 90°，設(shè)∠DBC = α.

求證：CD = AD × tan α.

2.綜合與實(shí)踐.

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究．

定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．

（1）操作判斷.

用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖14所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有 （填序號(hào)）．

（2）性質(zhì)探究.

根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì). 下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．

如圖15，四邊形ABCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB = AD，AC是它的一條對(duì)角線．

①寫(xiě)出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；

②若BC = m，DC = n，∠BCD = 2θ，求AC的長(zhǎng)（用含m，n，θ的式子表示）．

（3）拓展應(yīng)用.

如圖16，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，分別在邊BC，AC上取點(diǎn)M，N，使四邊形ABMN是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形. 當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BN的長(zhǎng)．

參考答案：

1.如圖17，作∠CDE = ∠ADB，DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

∵∠ADC = 90°，∴∠ADB + ∠BDC = ∠CDE + ∠BDC = 90°.

∵∠ABC = ∠ADC = 90°，∠ABC + ∠BCD + ∠ADC + ∠A = 360°，∴∠BCD + ∠A = 180°.

∵∠BCD + ∠DCE = 180°，∴∠A = ∠DCE，

∴△ADB [∽] △CDE.

∴[CDAD] = [DEBD] = tan α，∴CD = AD × tan α.

2. （1）②④ （2）①∠ACD = ∠ACB，理由略 ②AC = [m+n2cos θ] （3）BN的長(zhǎng)為[1252]或[1272]．

（作者單位：沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)）