矩形是特殊的平行四邊形，它有許多特殊的性質(zhì)，將其按不同的方式進(jìn)行折疊，會(huì)得到許多有趣的問(wèn)題. 每年各地中考試題中都有矩形折疊問(wèn)題. 現(xiàn)從中選取3例來(lái)介紹這類(lèi)問(wèn)題的解法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

例1 在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖1①的方法折出一個(gè)正方形ABEF，然后把紙片展平.

第二步：將圖1①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕MN，如圖1②.

根據(jù)以上操作，若AB = 8，AD = 12，則線(xiàn)段BM的長(zhǎng)是（ ）.

A. 3 B. [5] C. 2 D. 1

分析：由第一次折疊得到正方形ABEF，易證四邊形DCEF是矩形，則EF = CD = AB = 8. 由第二次折疊可知FM = MC. 設(shè)BM = x，則MF = MC = 12 - x，ME = CM - EC = 8 - x. 在Rt△MEF中，運(yùn)用勾股定理即可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x即可.

解：∵第一次折疊得到正方形ABEF，

∴∠AFE = ∠BEF = ∠DFE = ∠CEF = 90°.

∵∠C = ∠D = 90°，∴四邊形DCEF是矩形，

則EF = CD = AB = 8，CE = DF = 4.

由第二次折疊可知FM = MC.

設(shè)BM = x，則MF = MC = 12 - x，ME = CM - EC = 8 - x.

在Rt△MEF中，MF2 = ME2 + EF2，即（12 - x）2 = （8 - x）2 + 82，

解得x = 2，即BM = 2.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是抓住折疊的性質(zhì) ——折疊前后的兩個(gè)圖形是全等圖形，進(jìn)而得到相等的邊和角，為解題創(chuàng)造條件.

例2 【探究與證明】折紙，操作簡(jiǎn)單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過(guò)折紙開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘.

【動(dòng)手操作】如圖2，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點(diǎn)B落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，得到折痕AM，點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B'，E'，展平紙片，連接AB'，BB'，BE′. 請(qǐng)完成：

（1）觀察圖2中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系.

（2）證明（1）中的猜想.

【類(lèi)比操作】如圖3，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，連接BN，在AB上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點(diǎn)B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點(diǎn)B，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′，P′，展平紙片，連接BB′，P′B′. 請(qǐng)完成證明.

（3）證明BB′是∠NBC的一條三等分線(xiàn).

分析：（1）經(jīng)觀察或測(cè)量可以得到猜想. （2）由第一次折疊可知，EF垂直平分AB. 由點(diǎn)B'在EF上，可知AB' = BB'. 由第二次折疊可知AB = AB'，∴△ABB'是等邊三角形. ∵點(diǎn)E'為AB'的中點(diǎn)，∴BE'是△ABB'的中線(xiàn)，∴∠1 = ∠2 = 30°，進(jìn)而可證明猜想正確. （3）如圖4，連接PB'，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明∠PB'E = ∠BB'E = [12∠BB'P] ，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)證明∠BB'E = ∠CBB' = [12∠BB'P]，證明[△PBB'] ≌ [△P'B'B]（SAS），可得出[∠P'BB'] = [∠PB'B]，即可證明[∠CBB'] = [13∠CBN].

解：（1）∠1 = ∠2 = ∠3.

（2）由折疊的性質(zhì)可得AB' = BB'，AB = AB'，AE = AE'，AE = BE，

∴AB' = BB' = AB，∴△ABB'是等邊三角形.

易知AE' = B'E'，∠ABB' = 60°，∴∠ABE' = ∠B'BE' = 30°.

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC = 90°，

∴∠3 = 30°，∴∠1 = ∠2 = ∠3.

（3）連接PB'，如圖4，

由折疊的性質(zhì)可知BB' = PB'，PB' = P'B，∠PBB' = ∠P'B'B.

∵B'E ⊥ AB，BB' = PB'，∴∠PB'E = ∠BB'E.

∵四邊形ABCD為矩形，∴∠EBC = 90°，∴CB ⊥ AB.

∵B'E ⊥ AB，∴B'E [?] BC，∴∠BB'E = ∠CBB'.

易知△PBB' ≌ △P'B'B（SAS），∴∠P'BB' = ∠PB'B，

∴[∠CBB'] = [12∠NBB']，∴[∠CBB'] = [13∠CBN]，

∴BB′是∠NBC的一條三等分線(xiàn).

點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確添加輔助線(xiàn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明△PBB' ≌ △P'B'B是解題的關(guān)鍵.

例3 【問(wèn)題背景】如圖5，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，以大于[12]BC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線(xiàn)AP交CD于點(diǎn)Q.

【問(wèn)題提出】

在矩形ABCD中，AD = 5，AB = 3，求線(xiàn)段CQ的長(zhǎng).

【問(wèn)題解決】

經(jīng)過(guò)小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下.

方案一：連接OQ，如圖6. 經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng).

方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖7. 經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算，可求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng).

請(qǐng)你任選其中一種方案求線(xiàn)段CQ的長(zhǎng).

分析：方案一：連接OQ，由翻折的不變性，知AP = AB = 3，OP = OB = 2.5，證明△QPO ≌ △QCO（HL），推出PQ = CQ，設(shè)PQ = CQ = x，在Rt△ADQ中，利用勾股定理列方程求解即可. 方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，證明∠OAQ = ∠R，推出QA = QR，設(shè)CQ = x，同方案一即可求解.

解：方案一：連接OQ，如圖6.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB = CD = 3，AD = BC = 5.

由作圖知BO = OC = [12]BC = 2.5.

由翻折的不變性，知AP = AB = 3，OP = OB = 2.5，∠APO = ∠B = 90°，

∴OP = OC = 2.5，∠QPO = ∠C = 90°.

又∵OQ = OQ，∴△QPO ≌ △QCO（HL），∴PQ = CQ.

設(shè)PQ = CQ = x，則AQ = 3 + x，DQ = 3 - x.

在Rt△ADQ中，AD2 + QD2 = AQ2，

即52 + （3 - x）2 = （3 + x）2，解得x = [2512]，

∴線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)為[2512].

方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖7.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB = CD = 3，AD = BC = 5.

由作圖知BO = OC = [12]BC = 2.5.

由旋轉(zhuǎn)的不變性，知CR = AB = 3，∠BAO = ∠R，∠B = ∠OCR = 90°，

則∠OCR + ∠OCD = 90° + 90° = 180°，

∴D，C，R共線(xiàn).

由翻折的不變性，知∠BAO = ∠OAQ，

∴∠OAQ = ∠R，∴QA = QR.

設(shè)CQ = x，則QA = QR = 3 + x，QD = 3 - x.

在Rt△ADQ中，AD2 + QD2 = QA2，

即52 + （3 - x）2 = （3 + x）2，解得x = [2512]，

∴線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)為[2512].

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

拓展訓(xùn)練

1. 如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形AOBC的邊OB，OA分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)D在BC邊上，將長(zhǎng)方形AOBC沿AD折疊，點(diǎn)C恰好落在邊OB上的點(diǎn)E處. 若OA = 8，OB = 10，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是 .

2. 如圖9，在矩形ABCD中，AB = 5，AD = 4，M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將△ADM沿直線(xiàn)DM對(duì)折，得到△NDM. 當(dāng)射線(xiàn)CN交線(xiàn)段AB于點(diǎn)P時(shí)，連接DP，則△CDP的面積為 ，DP的最大值為 .

答案：1. （10，3） 2. 10 2[5]

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）