第4章 實數

領" 銜" 人：黃秀旺（正高級教師、江蘇省特級教師）

組稿團隊：江蘇省南京市初中數學黃秀旺名師工作室

數的概念是由人類生產和生活的實踐需要逐漸形成和發(fā)展起來的。在人類歷史發(fā)展的最初階段，由于計量的需要，形成了自然數的概念；為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了表示各種具有相反意義的量，人們又引進了零和負數。

經歷數的擴充過程

在小學階段，我們重點學習了整數與分數的概念以及相關的運算。到了七年級，我們進一步學習了負數，把數的概念擴充到有理數。隨著學習的深入，我們會發(fā)現“正方形對角線和邊長的比不能用有理數表示”，為了解決這個問題，數的概念是否需要繼續(xù)擴充呢？這時，我們引進了無理數。有理數和無理數統(tǒng)稱實數。那么，對于方程x2=-1，同學們能否在實數范圍中找到它的解呢？

整體感知本章學習思路

在學習本章之前，大家已經能對有理數進行加、減、乘、除、乘方等運算，其中減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，那么，乘方有逆運算嗎？

本章從乘方運算的逆運算——開方運算入手，再用諸如x2=2，x2=3，x2=5的式子，求出無限不循環(huán)小數，從而引入無理數，使數的范圍由有理數擴充到實數。然后，類比有理數及其運算，引入相反數、絕對值等概念，從而幫助我們掌握實數的運算和運算律。內容安排層層遞進，旨在讓我們能夠理解無理數的概念、表示方式，以及求出近似值，掌握實數的運算規(guī)律。

系統(tǒng)概括數的學習共性

從小學到初中，我們可以把數的學習過程劃分為自然數階段、分數（小數）階段、有理數階段、實數階段。

從自然數開始，我們經歷了“引入（提出問題）→定義→表示→性質（大小比較）→運算→運算律”的學習過程。再回顧分數（小數）及有理數（出現負數），不難發(fā)現，我們也是經歷了以上研究過程。因此，對于實數的學習，我們也應該從引入（提出問題：無法用有理數表示邊長為1的正方形對角線的長）開始，然后定義無理數、實數，表示實數（其關鍵就是表示無理數）。接下來，我們還要重點研究無理數的大小比較，以及含無理數算式的運算和運算律等。

綜上所述，每一次數的擴充，其研究思路、內容以及研究方法都與前面的學習具有共性，比如從具體、特殊（例子）到一般（結論），借助圖形（數軸）將數與形結合起來，讓抽象的數有“形”，使我們對數及其運算的認識“直觀”起來。

因此，學習實數這一章，既是學習新的內容（無理數、實數），又是對之前數的學習的回顧與總結。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學研究室）