摘要： 現(xiàn)有的貝葉斯參數(shù)反演方法普遍存在計算耗時過長、計算精度較低、計算準(zhǔn)確性較差等問題，對此基于多次嘗試差分進化自適應(yīng)Metropolis（MT-DREAM（ZS））算法，構(gòu)建了一種更加合理的確定單一模型權(quán)重系數(shù)組合代理模型，并通過基于Pareto最優(yōu)的動態(tài)權(quán)重系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化組合對模型進行修正.在貝葉斯方法中通過集成多元自適應(yīng)回歸樣條（MARS）、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）、隨機森林（RF）這3種機器學(xué)習(xí)方法構(gòu)建組合模型，并在充分考慮反演過程中不確定性的基礎(chǔ)上，對滲流參數(shù)的后驗分布情況進行推導(dǎo).結(jié)合實際工程的監(jiān)測數(shù)據(jù)，通過計算預(yù)測性能指標(biāo)決定系數(shù)（R2）和均方根誤差（RMSE），對比分析該組合代理模型與其他模型的差距.結(jié)果表明，該組合代理模型的擬合精度高，預(yù)測效果好，相較于其他模型的提升幅度平均為15.00%～20.00%.將反演所得滲流參數(shù)運用到仿真模擬試驗中的研究成果，為大壩滲流檢測領(lǐng)域的發(fā)展提供了一種新的思路.

關(guān)鍵詞： 貝葉斯理論；參數(shù)反演；MT-DREAM（ZS）算法；組合代理模型；多目標(biāo)優(yōu)化

中圖分類號： TV139.1 文獻標(biāo)志碼： A 文章編號： 1674-8530（2024）12-1259-07

DOI：10.3969/j.issn.1674-8530.23.0197

翟于廣，任杰，南勝豪，等. 基于動態(tài)權(quán)重系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化組合的貝葉斯?jié)B流參數(shù)反演及分析[J]. 排灌機械工程學(xué)報，2024，42（12）：1259-1265.

ZHAI Yuguang， REN Jie， NAN Shenghao， et al. Inversion and analysis of Bayesian seepage parameters based on multi-objective optimization combination of dynamic weight coefficients[J]. Journal of drainage and irrigation machinery engineering （JDIME）， 2024， 42（12）： 1259-1265. （in Chinese）

Inversion and analysis of Bayesian seepage parameters based on multi-

objective optimization combination of dynamic weight coefficients

ZHAI Yuguang， REN Jie*， NAN Shenghao， GUO Hengle， CHEN Kaixuan， SUI Jiaheng

（State Key Laboratory of Eco-hydraulics in Northwest Arid Region， Xi′an University of Technology， Xi′an， Shaanxi 710048， China）

Abstract： Prevailing Bayesian parameter inversion techniques have often been marred by extended computational durations， diminished computational precision and sub-optimal accuracy. Hence， a hybrid surrogate model underpinned by the multiple attempts of differential evolution adaptive Metropolis （MT-DREAM （ZS）） algorithm was introduced， which offered a more scientifically grounded approach for determining the weight coefficients of individual models， and was modified through Pareto optimization-based dynamic weight coefficient multi-objective optimization. Three distinct machine learning methodologies including multivariate adaptive regression splines， artificial neural network random forest， and random forest were integrated into the Bayesian framework to establish a composite model. Additionally， the posterior distribution of seepage parameters was deduced， while thoroughly accounting for uncertainties present in the inversion procedure. Combined with the monitoring data of the actual project， the gap between this combinatorial surrogate model and other models was compared and analyzed by calculating the prediction performance index R2 and RMSE. Research findings substantiate that the hybrid surrogate model， coupled with the novel technique for weight determination of individual models， boasts superior fitting precision and predictive efficacy. Compared with the traditional method， the improvement rate is 15.00%-20.00% on average. By applying the inverted seepage parameters to simulation experiments， a new approach is provided for the development of dam seepage detection research.

Key words： Bayesian theory;parameter inversion;MT-DREAM（ZS） algorithm;combinatorial surrogate model;multi-objective optimization

滲流參數(shù)（如壩體以及壩基巖土體等的滲透系數(shù)）是對土石壩的滲流性態(tài)產(chǎn)生影響的關(guān)鍵參數(shù)，而對大壩滲流性態(tài)的有效分析則很大程度決定了大壩能否安全穩(wěn)定地運行.然而通過專家經(jīng)驗、歷史資料、室內(nèi)試驗和現(xiàn)場勘探等方式獲取的滲流參數(shù)與實際值會有較大的偏差，故以大壩運行期間監(jiān)測資料為基礎(chǔ)進行參數(shù)反演分析的解決方法應(yīng)運而生，該方法能夠有效減小理論值與真實值之間的誤差^[1-2].

隨機反演方法中的貝葉斯方法能夠考慮所有渠道獲取的先驗知識，結(jié)合實際數(shù)據(jù)，更新關(guān)于未知參數(shù)的信息，以此獲得修訂后參數(shù)的后驗概率，并從該過程中獲取參數(shù)反演結(jié)果以及量化參數(shù)的多種不確定性^[3].而在水利工程相關(guān)的設(shè)計和分析中，對問題的原模型直接求解通常是非常困難的，使用機器學(xué)習(xí)代理模型模擬高精度模型可顯著減少計算負荷^[4].通過組合多個單一模型的輸出可以減小方差和偏差，從而產(chǎn)生比單個模型更好的預(yù)測效果^[5].多元自適應(yīng)回歸樣條（MARS）是一種常用的非參數(shù)回歸方法，具有靈活性和高預(yù)測準(zhǔn)確性^[6].人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）具有自學(xué)習(xí)功能、聯(lián)想存儲功能和高速尋找優(yōu)化解的能力^[7].隨機森林（RF）由多個決策樹組成，具有很好的泛化能力，同時可以避免出現(xiàn)過擬合問題^[8].文中將采用上述3種單一模型構(gòu)建組合代理模型.

構(gòu)建組合代理模型的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)膯我荒Ｐ筒⒑侠淼卮_定其在組合模型中所占的權(quán)重，防止效果不佳的單一模型將不良影響擴散到組合模型中，降低整體的精度和準(zhǔn)確度.WANG等^[9]提出了差分進化-禁忌搜索混合優(yōu)化算法；YE等^[10]采用了一種基于最小化局部均方根誤差的權(quán)重系數(shù)確定方法.文中將采用基于傳統(tǒng)的差分進化自適應(yīng)Metropolis（differential evolution adaptive Metropolis， DREAM）算法進行優(yōu)化設(shè)計的MT-DREAM（ZS）算法來確定各單一模型的權(quán)重.MT-DREAM（ZS）算法基于原始的DREAM抽樣方法，從歷史狀態(tài)的存檔中采樣生成每個單獨鏈中的候選點，能夠并行地生成許多條馬爾可夫鏈，增加參數(shù)空間并加速收斂^[11-12].MT-DREAM（ZS）相較于隨機游走MCMC，DRAM和SCE-UA，能更可靠地識別全局最優(yōu)的均方根誤差RMSE等，對于多個并行鏈上的參數(shù)值，同時運行模型能得到近線性的加速比^[13].

而在實際工程應(yīng)用中，為了獲得更高精度的分析模型，還可以對權(quán)重系數(shù)進行修正完善，張宏洋等^[14]將粒子群算法與云理論中的正向高斯云算法相結(jié)合，避免了算法早熟收斂的問題；REN等^[15]提出了一種新的CCOABC算法，該算法提高了交互變量在一個子成分中分組的概率.在多目標(biāo)優(yōu)化過程中，為解決固定加權(quán)系數(shù)組合目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化時加權(quán)系數(shù)設(shè)置不合理帶來的問題，可采用動態(tài)加權(quán)系數(shù)，避免出現(xiàn)某些子目標(biāo)已經(jīng)達到甚至超出期望值，而另一些子目標(biāo)始終無法達到期望值的現(xiàn)象^[16].由于各子目標(biāo)函數(shù)往往會相互沖突，所以對于已經(jīng)達到期望值的子目標(biāo)，可保持其加權(quán)系數(shù)不變；對于未達到期望值的子目標(biāo)，從計算過程中的各代非劣解中，挑選出局部最優(yōu)解并計算其與期望值的差距，將該子目標(biāo)的初始加權(quán)系數(shù)按照差距的大小乘以一定的倍數(shù)作為新的加權(quán)系數(shù)^[17].為此，文中將采用基于Pareto最優(yōu)的動態(tài)權(quán)重系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型修正方法，通過結(jié)合組合代理模型的性能指標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)，并對其進行協(xié)調(diào)權(quán)衡和折中處理，使每個子目標(biāo)盡可能地達到最優(yōu)的同時，減少對其他子目標(biāo)性能的影響.

綜上所述，為獲得更加準(zhǔn)確的滲透系數(shù)，文中將建立滲透系數(shù)反演的組合代理模型，采用 MT-DREAM（ZS）算法來確定各單一模型的權(quán)重，并采用基于Pareto最優(yōu)的動態(tài)權(quán)重系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法對模型進行修正，在修正過程中結(jié)合貝葉斯原理，進行更高效、準(zhǔn)確的反演計算研究.

1 研究方法

1.1 貝葉斯原理簡介

貝葉斯公式是貝葉斯?jié)B流參數(shù)反演方法的基礎(chǔ)，隨機變量為待反演的滲流參數(shù)，采用概率密度函數(shù)，將其表示為

p（θy）=p（θ）p（yθ）∫p（θ）p（yθ）dθ，（1）

式中：p（θy）為θ的后驗概率密度函數(shù)，通常情況下需要考慮所有可以獲取的信息；θ為待反演的滲流參數(shù)，在文中代指滲透系數(shù)；y為滲流觀測數(shù)據(jù)；p（θ）為滲流參數(shù)的先驗分布，可通過專家經(jīng)驗或歷史資料獲得；p（yθ）為反映模擬結(jié)果與滲流觀測數(shù)據(jù)y相似度的似然函數(shù).

由于式（1）中的分母為歸一化常數(shù)，對其積分區(qū)間的確定難以實現(xiàn)^[18]，故文中采用 MCMC 方法中的MT-DREAM（ZS）算法進行抽樣計算來代替復(fù)雜的計算過程.該方法結(jié)合了統(tǒng)計抽樣理論和隨機模擬的思想，并通過分析處理代理模型輸出參數(shù)的各項估計量，得到擬合參數(shù)的概率分布情況，從而定量分析輸出參數(shù)原本難以描述的不確定性.

1.2 單一模型的權(quán)重分配

文中采用基于傳統(tǒng)的差分進化自適應(yīng) Metro-polis算法進行優(yōu)化設(shè)計的MT-DREAM（ZS）算法來計算各單一模型的權(quán)重系數(shù).

設(shè)候選樣本矩陣Z=［xij］（i=1，2，3，…，M0; j=1，2，3，…，d），其中M0為種群的先驗分布數(shù)量，d為抽取樣本的個數(shù)，從先驗分布中抽取初始樣本pd（x）；再定義X為N×d的矩陣，N為初始化的起始位置，從pd（x）中提取樣本生成平行鏈xi（i=1，2，3，…，N，且NM0）.設(shè)T為種群演化步數(shù)，k為平行鏈數(shù).［Xs;s=0］為初始化種群，通過以下過程轉(zhuǎn)換為后驗分布樣本π（x）.

1） 初始化M=M0，執(zhí)行m（m=1，2，3，…，T）次種群演化和i（i=1，2，3，…，N）次連鎖演化：

① 生成k個候選樣本z^l，i，（l=1，2，3，…，k）；

② 用概率為1－CR（CR為交叉概率）的二項式方程xij替換k條平行鏈的候選樣本z^l，i中的每個元素j；

③ 計算每條鏈的分布密度π（z^l，i），從k條鏈中選擇樣本zi，概率為π（zi）；

④ 生成l=1，2，3，…，k－1的k-1個樣本點，以zi為中心生成新的候選樣本x^{*，l，i}；

⑤ 分別計算l=1，2，3，…，k－1的π（x^*，l，i），同時令x^*，l，i等于xi，π（x^{*，l，i}）等于π（xi）；

⑥ 用接受概率判斷是否接受zi，如果被接受，將鏈移動到候選點xi=zi，否則保持在舊位置xi.

2） 在每進行L步之后將矩陣X疊加到矩陣Z，然后更新M.

3） 計算Gelman和Rubin的收斂診斷R^j，令每個維度j=1，2，3，…，d，使用每條鏈最后50%的樣本.

4） 如果j個維度的R^j均小于等于1∶2，表示算法收斂至穩(wěn)定的后驗分布，停止迭代計算并進入下一步；否則，重復(fù)進行種群演化.最終舍棄初始樣本和老化樣本，用候選樣本矩陣Z總結(jié)后驗分布.

1.3 動態(tài)權(quán)重系數(shù)多目標(biāo)模型優(yōu)化

文中采用如下具體計算步驟來動態(tài)調(diào)整權(quán)重系數(shù)：

1） 設(shè)置進化代數(shù)T′，種群規(guī)模M′，Pareto最優(yōu)解集的容量Mp，交叉概率Pc，變異概率Pm，以及初代個體集p（t）等參數(shù).

2） 計算初代個體集的所有目標(biāo)函數(shù)，求解初代個體的 Pareto 最優(yōu)解集G（t）.

3） 實施交叉和變異運算，重新計算p（t）中有修改個體的目標(biāo)函數(shù).

4）" 將非劣解集G（t）與修改后的個體集p（t）合并，生成新的個體集，并計算新的Pareto最優(yōu)解集G′（t）.

5） 在G′（t）中找出每個子目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)值fm，將fm與期望的子目標(biāo)f0比較，若fm≤f0，則該子目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)不變，否則，將該子目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)z′i修改為

z′i=zi0（1.0+fm－f0）xr，（2）

式中：zi0為初始加權(quán)系數(shù)；xr的值根據(jù)期望值與最優(yōu)值的差值確定.

6） 將G′（t）直接保存到下一代個體集p（t+1）中.

7） 計算個體集p（t）中每個個體的適應(yīng)度，并根據(jù)適應(yīng)度采用賭盤選擇，將選擇后的個體保存到下一代個體集p（t+1）中，生成新一代個體.

8） 如果未達到進化代數(shù)，重復(fù)步驟（3）—（7），否則終止迭代.

1.4 加權(quán)計算組合代理模型預(yù)測值

組合代理模型綜合了各個單一代理模型的特點，減少了模型的不確定性，擁有較高的模擬精度與準(zhǔn)確性，圖1為構(gòu)建組合代理模型的研究框架.

組合代理模型預(yù)測值fen（θ）可以表示為

fen（θ）=∑ni=1zifi（θ），其中∑ni=1zi=1，（3）

式中：n為單一模型的個數(shù)；zi為各單一模型的權(quán)重系數(shù)；fi（θ）為各單一模型的預(yù)測值.

由上述過程可以將MARS，ANN和RF這3個單一代理模型按照求得的權(quán)重系數(shù)進行調(diào)整確定，構(gòu)建所需的組合代理模型.

2 案例分析

以中國西北的水利樞紐工程N土石壩為例，樞紐總庫容2.006億m3，工程等別為Ⅱ等，工程規(guī)模為大（2）型.N土石壩為均質(zhì)土壩，壩頂高程為852.0 m，壩頂寬度為10.0 m，大壩最低點開挖高程為789.0 m，最大壩高63.0 m，壩頂總長506.0 m，最大壩底寬為351.0 m.圖2為N土石壩的典型剖面結(jié)構(gòu)圖.

通過對壩體整體結(jié)構(gòu)進行簡化得到5個分區(qū)，分別用K1，K2，K3，K4，K5表示區(qū)域①，②，③，④和⑤的滲透系數(shù).在2019年9月21日的上下游水位條件下，壩體內(nèi)部6個滲流檢測測點 M1，M2，M3，M4，M5和M6在當(dāng)日的實測壓力水頭分別為13.41，2.90，10.85，5.96，32.30和27.65 m，基于上述過程構(gòu)建的新模型對N土石壩5個不同區(qū)域的滲透系數(shù)開展反演研究.

2.1 組合代理模型構(gòu)建

依據(jù)歷史觀測資料、現(xiàn)場勘探數(shù)據(jù)和專家經(jīng)驗等，可以獲得各個區(qū)域材料的滲透系數(shù)K1，K2，K3，K4，K5的取值范圍分別為5.00×10^-6～5.00×10^-4，1.00×10^-6～1.00×10^-5，6.00×10^-2～1.00×10^-1，2.10×10^-2～3.60×10^-2，4.00×10^-5～4.00×10^-4 cm/s.假設(shè)滲透系數(shù)全部服從均勻分布，采用拉丁超立方采樣法（LHS）抽取500個樣本點，通過COMSOL Multiphysics仿真軟件構(gòu)建N土石壩的達西定律滲流模型，將樣本點全部代入進行模擬計算，獲得500組壓力水頭模擬值，將這500組樣本數(shù)據(jù)生成數(shù)據(jù)集用于構(gòu)建組合代理模型.由于不設(shè)有驗證集，故將數(shù)據(jù)集按比例分為訓(xùn)練集與測試集，先隨機選取400組樣本作為訓(xùn)練集訓(xùn)練MARS，ANN和RF，再取剩下的100組樣本作為測試集測試代理模型的預(yù)測性能.最后采用MT-DREAM（ZS）算法計算組合代理模型中MARS，ANN和RF的權(quán)重系數(shù)W的最大后驗概率估計值MAP、均值W和標(biāo)準(zhǔn)差SD.

圖3是以測點M1為例的組合代理模型的權(quán)重系數(shù)后驗分布圖，圖中W1，W2和W3分別為MARS，ANN和RF的權(quán)重系數(shù)；PD為概率密度.由圖可以看出，每個直方圖都存在明顯的峰值，說明各權(quán)重系數(shù)的識別性較好.進一步求得精確的相關(guān)系數(shù)r后，分析可知W2與W3間的負相關(guān)性比較高，相關(guān)系數(shù)為-0.91;W2與W1間的相關(guān)性一般，r為-0.26;而W1和W3間的相關(guān)性較小，其值只有-0.17.

取分布函數(shù)最大后驗概率估計值作為單一模型權(quán)重系數(shù)的初始值進行模型優(yōu)化，并將其作為優(yōu)化設(shè)計變量.以不同測點的預(yù)測性能指標(biāo)作為總目標(biāo)函數(shù)，包含決定系數(shù)R2、均方根誤差RMSE、平均絕對誤差MAE和平均絕對百分比誤差MAPE這4個子目標(biāo)函數(shù).在得到的Pareto最優(yōu)解中，采用偏差均符合期望值且最小的解對應(yīng)的變量值作為最終的單一模型權(quán)重系數(shù)，如表1所示，并通過式（3）加權(quán)求和，構(gòu)建動態(tài)權(quán)重系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化組合代理模型（Ensemble A）.

此外，為了方便體現(xiàn)上述權(quán)重確定方法的優(yōu)勢及其構(gòu)建的代理模型的精度與準(zhǔn)確性，現(xiàn)擬定再采用等權(quán)重加權(quán)方法構(gòu)建另一組合代理模型（Ensemble B），即其中3個單一模型的權(quán)重系數(shù)W全部取平均值的1/3.

2.2 貝葉斯反演分析

將Ensemble A和Ensemble B耦合到貝葉斯方法中，對5個區(qū)域的滲透系數(shù)進行反演分析，結(jié)果如表2所示，表中K′為2個模型計算所得的反演值.將先驗分布按照上文的滲透系數(shù)取值范圍設(shè)置為均勻分布，然后采用MT-DREAM（ZS）算法計算歸一化常數(shù)的積分部分，結(jié)合貝葉斯方程求得待反演滲透系數(shù)的后驗概率密度函數(shù).

3 討論分析

3.1 各個模型的預(yù)測性能評估

為了直觀地顯示單一代理模型與組合代理模型的預(yù)測性能，根據(jù)測試集計算了各測點的2種性能指標(biāo)，即決定系數(shù)R2和均方根誤差RMSE，根據(jù)典型測點M1的數(shù)據(jù)繪制5個不同區(qū)域各模型的預(yù)測性能指標(biāo)計算結(jié)果如圖4所示.圖4a為R2的計算結(jié)果，圖4b為RMSE的計算結(jié)果.

在圖4中，Ensemble A在所有區(qū)域的R2均超過了0.9，而個別模型的R2在某些區(qū)域沒有達到0.8，但總體表現(xiàn)良好，從R²值上看，各模型的預(yù)測結(jié)果總體上是準(zhǔn)確的，但是通過平均加權(quán)構(gòu)建的Ensemble B偶爾會出現(xiàn)精度不如單一模型的情況；同時，Ensemble A在所有區(qū)域的RMSE均比單一代理模型低，個別區(qū)域與Ensemble B接近.綜上所述，相比于其他代理模型，通過MT-DREAM（ZS）算法構(gòu)建的組合代理模型具有更優(yōu)越的預(yù)測性能.

3.2 土石壩滲透系數(shù)反演及結(jié)果討論

將基于單一模型與組合模型計算的滲透系數(shù)反演值分別代入仿真模擬軟件中進行模擬計算，結(jié)果如圖5所示，圖中H0和H1分別為壓力水頭的實測值和反演值；ε為壓力水頭實測值與反演值的計算絕對誤差.通過折線圖的形狀可以看出，反演值與實測值的趨勢基本一致；分析柱狀圖可以得出，所有測點處的Ensemble A計算的誤差值均小于其他4個模型，而其他模型的預(yù)測性能在不同測點處各有優(yōu)劣.通過加權(quán)平均可計算所有測點基于Ensemble A，Ensemble B，MARS，ANN和RF模型得到的反演值與實測值的加權(quán)平均絕對誤差分別為1.15，1.82，2.69，2.13和2.41 m，結(jié)合對壓力水頭的值加權(quán)平均可以計算出Ensemble A相較于其他4個代理模型Ensemble B，MARS，ANN和RF對反演結(jié)果的精度分別提升了15.83%，23.56%，18.26%和20.98%，平均為15.00%～20.00%.

4 結(jié) 論

文中基于MT-DREAM（ZS）算法構(gòu)建一種全新的組合代理模型，并通過動態(tài)權(quán)重系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化修正模型.該模型集成MARS，ANN和RF這3種機器學(xué)習(xí)方法，充分考慮了反演過程中的不確定性，對滲流參數(shù)的后驗分布情況進行推導(dǎo)，主要得到以下結(jié)論.

1） 傳統(tǒng)的MCMC方法需要調(diào)用大量的系統(tǒng)模型進行計算，求解效率較低.構(gòu)建組合代理模型來替代貝葉斯反演求解過程中的滲流正演模型，可以大幅減少計算耗時，節(jié)約了大量時間成本.

2） 基于MT-DREAM（ZS）算法對MARS，ANN和RF這3種單一的機器學(xué)習(xí)方法構(gòu)建組合代理模型，集成了單一代理模型各自的優(yōu)勢，整體提高了參數(shù)反演的精度.

3） 文中提出了一種新的確定組合模型中單一模型權(quán)重系數(shù)的計算方法，利用MT-DREAM（ZS）算法增加參數(shù)空間并加速收斂，在充分考慮不確定性的條件下計算權(quán)重系數(shù)的隨機分布函數(shù)，再通過動態(tài)權(quán)重系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化對模型進行修正，從而得到更合理的權(quán)重系數(shù).

4） 通過對實際工程的分析，對比了用文中方法構(gòu)建的Ensemble A與一般方法構(gòu)建的Ensemble B以及各單一代理模型的預(yù)測性能，通過計算R²與RMSE，對比反演值與真實值之間的誤差等，驗證了該計算方法的準(zhǔn)確性.

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（責(zé)任編輯 黃鑫鑫）