1.試題呈現(xiàn)

題目 已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且滿足y1y2=-16，則x1+y1+2+x2+y2+2的最小值為.

2.解法探析

解法1：如圖1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則x1+x2=2x0，y1+y2=2y0.過點(diǎn)A，B，M分別作直線x+y+2=0的垂線，垂足分別A′，B′，M′.

評(píng)注：試題的題設(shè)條件為拋物線及拋物線上A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的積為定值，待求結(jié)論為含有絕對(duì)值代數(shù)式的和的最值.解法1基于以下幾點(diǎn)進(jìn)行求解的：①將待求結(jié)論轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)到直線x+y+2=0距離和；②MM′是梯形AA′B′B的中位線；③弦AB的中點(diǎn)為M的軌跡為曲線y2=4x-8；④從“形”的視角看最值的條件.

評(píng)注：與解法1相對(duì)比，解法2是從方程的視角研究直線與曲線相切求解最值的，體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”無縫隙鏈接地運(yùn)用.

評(píng)注：解法3運(yùn)用代入、配方等代數(shù)式的變形手段及非負(fù)數(shù)性質(zhì)等，從代數(shù)視角求解最值的，很好地詮釋了以“數(shù)”釋“形”的含義.

評(píng)注：解法4運(yùn)用代入、聯(lián)立方程、配方等代數(shù)式的變形手段及二次函數(shù)最值等，數(shù)形結(jié)合求解最值.

3.試題變式

試題中的條件“y1y2=-16”實(shí)質(zhì)上等價(jià)于直線AB過拋物線焦點(diǎn)，于是可將試題變式為：已知為過拋物線y2=8x焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩個(gè)不同的點(diǎn)，則x1+y1+2+x2+y2+2的最小值為.

簡(jiǎn)析：F（2，0），AB：x=my+2與y2=8x，得y2-8my-16=0，所以y1+y2=8m，y1y2=-16.下同解法3.

4.結(jié)論推廣

試題由拋物線“搭臺(tái)”，含雙絕對(duì)值的代數(shù)式“唱戲”，是一道 “數(shù)形結(jié)合”的好試題.將試題推廣為一般情形，可得到下面的結(jié)論.