2023年第1期《數(shù)學通報》刊登了向中軍老師提供的問題2704號如下：

1.問題呈現(xiàn)

如圖1分別過ΔABC的頂點B，C作ΔABC的外接圓的切線，交點為D，連結AD交BC于E，過E作AB的平行線交AC于G，過E作AC的平行線交AB于F，求證：過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線.

向中軍老師在解答時引入輔助線，多次利用四點共圓等幾何知識解答此題，現(xiàn)給出另外一種平面幾何證法以及對此題進行的拓展.

2.問題證明

證明： 如圖2，過點A作ΔABC的外接圓切線，與DC，DB的延長線分別交于P，Q兩點，設ΔABC，ΔBFE，ΔECG的圓心分別為O，O1，O2，設⊙O1和⊙O2交于另一點為M.由DB為⊙O的切線，則∠QBA=∠ACB，又EF∥AC，得∠FEB=∠ACB，從而∠QBA=∠FEB，即DB為⊙O1的切線，DB為⊙O和⊙O1的公切線.

同理可證DC為⊙O和⊙O2的公切線.

易知點D為⊙O，⊙O1，⊙O2的根心，又E為⊙O1和⊙O2的交點，則直線DE為⊙O1和⊙O2的根軸，又M為⊙O1和⊙O2的交點，則M在根軸DE上，即A、M、D、E共線.

于是AF·AB=AM·AE=AG·AC， 則F、G、B、C共圓，則∠ABC=∠AGF，又PQ為⊙O的切線，則∠PAC=∠ABC，于是∠PAC=∠AGF，從而PQ∥FG.

因為O1F∥OA∥O2G，OA⊥PQ，所以FG⊥O1F，F(xiàn)G⊥O2F 從而過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線.

3.拓展

拓展1 如圖3，分別過ΔABC的頂點B，C作ΔABC的外接圓O的切線，交點為D，連結AD交BC于E，過B，E兩點作⊙O1 ，使其與⊙O相切于點B，且交邊AB于點F，過E ，C作⊙O2，使其與⊙O相切于點C，且交邊AC于點G.求證：

⑴四邊形AFEG為平行四邊形；

⑵過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線.

證明：⑴過點A作ΔABC的外接圓切線，與DC，DB的延長線分別交于P，Q兩點，由題目知BD是⊙O和⊙O1的公切線， 則有∠QBA=∠FEB=∠ACB，所以EF∥AC，同理可以證明EG∥AB，所以四邊形AFEG為平行四邊形.

⑵證明方法同2704問題的證明.

拓展2 如圖4 ，分別過ΔABC的頂點B，C作ΔABC的外接圓O的切線，E為邊BC上任意一點，過B，E兩點作⊙O1 ，使其與⊙O相切于點B，且交邊AB于點F，過E ，C作⊙O2，使其與⊙O相切于點C，且交邊AC于點G.求證： ⑴四邊形AFEG為平行四邊形；

⑵與⊙O1相切于點F的直線和與⊙O2相切于點G的直線互相平行.

證明：⑴證明方法同拓展1的證明.

⑵因為O1F∥OA∥O2G，且OA⊥PQ，所以，與⊙O1相切于點F的直線與直線PQ平行，與⊙O2相切于點G的直線也與直線PQ平行，故與⊙O1相切于點F的直線和與⊙O2相切于點G的直線互相平行.

拓展3 如圖5，⊙O1，⊙O2交于點M，E，且內切于ΔABC的外接圓⊙O，切點分別為B，C兩點，且A、M、E三點共線，邊AB，AC與⊙O1，⊙O2分別交于點F，G兩點.求證：

⑴四邊形AFEG為平行四邊形的充要條件是B、E、C三點共線；

⑵過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線.

證明：⑴若四邊形AFEG為平行四邊形，則EF∥AC，所以∠BAC=∠BFE，又DB為⊙O1的切線，所以∠QBA=∠FEB=∠ACB，所以∠ABC=∠ABE，所以B、E、C三點共線.若B、E、C三點共線，過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線的證明方法同拓展1（1）.

⑵證明方法同2704問題的證明.

拓展4 如圖6，⊙O1，⊙O2交于點M，E，且內切于ΔABC的外接圓⊙O，切點分別為B，C兩點，且邊AB，AC與⊙O1，⊙O2分別交于點F，G兩點.

⑴與⊙O1相切于點F的直線和與⊙O2相切于點G的直線互相平行；

⑵FG是⊙O1與⊙O2的公切線的充要條件是A在直線ME上.

證明：⑴證明方法同拓展2⑵.

⑵若FG是⊙O1與⊙O2的公切線，則由⑴知FG∥PQ，從而

∠FGA=∠PAG=∠ABC，所以F、B、C、G四點共圓.因此，AF·AB=AG·AC，故點A到⊙O1和⊙O2的冪相等，所以點A在根軸ME上.

若點A在根軸ME上，則FG是⊙O1與⊙O2的公切線的證明方法同2704問題的證明.

由拓展4知，數(shù)學通報2704號問題為其特殊情況（注：拓展4為2006年意大利國家隊的選拔考試題）

波利亞語：“沒有一道題目是可以解決得十分完美的，總剩下一些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結，總有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答，而且在任何情況下，都能提高自己對這個解答的理解水平”.

參考文獻

［1］沈文選， 張垚， 冷崗松.奧林匹克數(shù)學中的幾何問題［M］.長沙：湖南師范大學出版社，2014：133-138.