摘要：提出了非奇異H-矩陣的一個新的子類——SDD#1矩陣，得到了SDD#1矩陣的幾個性質(zhì)，并討論了SDD#1矩陣與其他H-矩陣子類之間的關(guān)系.基于這些性質(zhì)，獲得了SDD#1矩陣逆的無窮大范數(shù)的上界.作為應(yīng)用，給出了SDD#1矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界.數(shù)值算例表明了新界優(yōu)于現(xiàn)有的一些結(jié)果.

關(guān)鍵詞：SDD#1矩陣;H-矩陣;無窮大范數(shù);誤差界;線性互補(bǔ)問題

中圖分類號：O151.21"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" 文章編號：2095-6991（2025）01-0007-10

Upper Bound Estimations for Infinity Norm of Inverse of SDD#1 Matrices and Its Applications

RAN Wen-wen， WANG Feng*

（College of Data Science and Information Engineering，" Guizhou Minzu University，" Guiyang 550025，" China）

Abstract：In this paper， we introduce a new subclass of nonsingular H-matrices called SDD#1 matrices， give several characteristics of SDD#1matrices， and study the relationship between SDD#1matrices and other subclasses of H-matrices. Based on these characteristics， an infinity norm upper bound for the inverse of SDD#1matrices is proposed. As an application， error bound of the linear complementarity problems involving SDD#1matrices is presented. Numerical examples show that the obtained results are better than some existing ones in some cases.

Key words：SDD#1matrix; H-matrix; infinity norms; error bounds; linear complementarity problems

0 引言

對于正整數(shù)n≥2，用N表示指標(biāo)集.用C^n×n（R^n×n）表示所有n階復(fù)（實）矩陣組成的集合.給定一個矩陣M=（mij）∈C^n×n，記

N－={i∈N：mii≤ri（M）}，

N+={i∈N：miigt;ri（M）}，

ri（M）=∑j∈N，j≠i|mij|.

顯然地，N－∩N+=和N－∪N+=N.

若M=（mij）∈C^n×n有非正的非對角元素，且M^－1gt;0，則稱M為非奇異M-矩陣^[1]；如果M的比較矩陣μ（M）=（[AKm～]ij）∈R^n×n是非奇異M-矩陣，則稱M為非奇異H-矩陣^[1].非奇異H-矩陣在數(shù)值計算、矩陣?yán)碚摗⒖刂普?、?shù)字經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中有著非常重要的作用^[2-5]，如矩陣特征值定位^[3-6]、結(jié)構(gòu)張量性質(zhì)^[7-8]、子直和問題^[9-10]、Schur補(bǔ)問題^[11-14]、矩陣逆的無窮大范數(shù)的界問題^[15-22]、線性互補(bǔ)問題^[22-27]以及分析求解相應(yīng)稀疏線性方程組的迭代方法的收斂性^[1，28]等，這些問題都與非奇異H-矩陣的特殊子類密切相關(guān).

眾所周知，嚴(yán)格對角占優(yōu)（SDD）矩陣是非奇異H-矩陣的一個重要子類^[1]，即矩陣M滿足對于所有的i∈N，|mii|gt;ri（M）.另外，矩陣M是非奇異H-矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正的對角矩陣W，使得MW是SDD矩陣^[1].SDD矩陣的各種推廣及其應(yīng)用已經(jīng)被廣泛研究^{[4，11，14，18，29]}.例如，在2011年，PENA J M^[11]通過對非嚴(yán)格對角占優(yōu)行施加一個較弱的條件，給出了一個新的非奇異H-矩陣的子類—SDD1矩陣，它包含了SDD矩陣，這里稱矩陣M=（mij）∈C^n×n為SDD1矩陣，如果對于每一個i∈N－，

|mii|gt;pi（M）=∑j∈N－{i}|mij|+∑j∈N+rj（M）|mjj||mij|.（1）

2020年，CVETKOVI D L等^[29]獲得了非奇異H-矩陣的一個新的子類—CKV-型矩陣，這里稱矩陣M=（mij）∈C^n×n為CKV-型矩陣，如果N－=，或者對于所有的i∈N－，S★i（M）是非空的，其中

S★i（M）=S∈∑i：miigt;rSi（M），

且對于所有的j∈S，

（|mii|－rSi（M））（|mjj|－r^Sj（M））gt;

r^Si（M）rSj（M）}，

S=NS，∑（i）=SN：i∈S，

rSi（M）=∑k∈S{i}mik.

2023年，DAI P F等^[22]又提出了非奇異H-矩陣新的子類—GSDD1矩陣，它推廣了SDD1矩陣，這里稱矩陣M=（mij）∈C^n×n為GSDD1矩陣，如果

ri（M）－p^N+i（M）gt;0，i∈N+，

（ri（M）－p^N+i（M））（|mjj|－p^N－j（M））gt;

p^N－i（M）p^N+j（M），i∈N+，j∈N－，[JY]（2）

其中

p^N+i（M）=∑j∈N+{i}rj（M）mjjmij，

p^N－i（M）=∑j∈N－{i}mij，

pⁱi（M）=0，i∈N.

基于文獻(xiàn)[11，22，29]的研究，本文繼續(xù)研究結(jié)構(gòu)矩陣，引入了非奇異H-矩陣的一個新的子類—SDD#1矩陣，通過構(gòu)造一個正的對角矩陣W，獲得了SDD#1矩陣的逆矩陣的無窮大范數(shù)的一個上界，由此得到了SDD#1矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界，拓廣了已有的結(jié)果.

1 SDD#1矩陣

本節(jié)給出SDD#1矩陣的定義，并證明它是一個非奇異H-矩陣.此外，給出SDD#1矩陣的幾個性質(zhì)，并討論了SDD#1矩陣與非奇異H-矩陣其他子類的關(guān)系.

定義1 若M=（mij）∈C^n×n，且對于i∈N－，滿足

miigt;φiM=

ri（M）mii∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij+

∑j∈N+pj（M）mjjmij，[JY]（3）

則稱矩陣M為SDD#1矩陣.

下面，給出SDD#1矩陣的一些充分和必要條件.

定理1 若M=（mij）∈C^n×n，則M是SDD#1矩陣當(dāng)且僅當(dāng)對于i∈N，miigt;φi（M）.

證明 對于i∈N－，根據(jù)定義1，有miigt;φi（M）成立.

對于i∈N+，有

ri（M）=∑j∈N－mij+∑j∈N+{i}mij≥

∑j∈N－mij+∑j∈N+{i}rj（M）mjjmij=pi（M）.

因此，可得

miigt;ri（M）≥ri（M）miiri（M）=

ri（M）mii∑j∈N－mij+∑j∈N+{i}mij≥

ri（M）mii∑j∈N－mjjrj（M）mij+

∑j∈N+{i}rj（M）mjjmij≥

ri（M）mii∑j∈N－mjjrj（M）mij+

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij=φi（M），

即對于i∈N+，有miigt;φi（M）成立.

因此，結(jié)論成立.

定理2 若M=（mij）∈C^n×n是SDD1矩陣，且對i∈N－，mii=ri（M），對j∈N+，rj（M）=pj（M），則M是SDD#1矩陣.

證明 由SDD1矩陣的定義可知，對于i∈N－，有

miigt;pi（M）=

∑j∈N－{i}mij+∑j∈N+rj（M）mjjmij.

又因為對i∈N－，mii=ri（M），且對j∈N+，rj（M）=pj（M），所以不等式（3）的右邊可化簡為

φi（M）=∑j∈N－{i}mij+

∑j∈N+rj（M）mjjmij=

pi（M），i∈N－，

即miigt;φi（M）.因此，M是SDD#1矩陣.

下面，舉例說明SDD#1矩陣不一定是SDD1矩陣.

例1 考慮如下4階矩陣：

M=40325048211310124110.

顯然有N－={1，2}，N+={3，4}.

通過計算得

r1（M）=5，r2（M）=53，r3（M）=5，

r4（M）=7，p3（M）=47/10，p4（M）=13/2.

因為

m11=4gt;φ1（M）=271/80，

m22=48gt;φ2（M）=220427/4800，

所以矩陣M是SDD#1矩陣.但是，

m22=48lt;p2（M）=517/10，

因此，矩陣M不是SDD1矩陣.

接下來，給出兩個例子說明SDD#1矩陣與GSDD1矩陣互不包含.

例2 考慮例1中的矩陣.

根據(jù)例1，矩陣M是SDD#1矩陣.但是，

r3（M）=5，p^N+3（M）=7/10，p^N－3（M）=4，

m22=48，p^N+2（M）=17/10，p^N－2（M）=50，

r3（M）－p^N+3（M）m22－p^N－2（M）=

（5－7/10）×（48－50）lt;4×17/10=

p^N－3（M）p^N+2（M），

因此，矩陣M不是GSDD1矩陣.

例3 考慮如下4階矩陣：

M=4111031101311112.

顯然有N－={4}，N+={1，2，3}.

通過計算得

r1（M）=3，p^N+1（M）=4/3，p^N－1（M）=1，

r2（M）=2，p^N+2（M）=2/3，p^N－2（M）=1，

r3（M）=2，p^N+3（M）=2/3，p^N－3（M）=1，

m44=2，p^N+4（M）=25/12，p^N－4（M）=0.

因為

r1（M）－p^N+1（M）m44－p^N－4（M）=

（3－4/3）×（2－0）gt;

1×25/12=p^N－1（M）p^N+4（M），

r2（M）－p^N+2（M）m44－p^N－4（M）=

（2－2/3）×（2－0）gt;

1×25/12=p^N－2（M）p^N+4（M），

r3（M）－p^N+3（M）m44－p^N－4（M）=

（2－2/3）×（2－0）gt;

1×25/12=p^N－3（M）p^N+4（M），

所以，矩陣M是GSDD1矩陣.但是，

r4（M）=3，p1（M）=7/3，

p2（M）=5/3，p3（M）=5/3，

m44=2lt;φ4M=61/24，

因此，矩陣M不是SDD#1矩陣.

定理3 若M=（mij）∈C^n×n是SDD#1矩陣，則M是非奇異H-矩陣.

證明 根據(jù)定義1知，對于i∈N－，有

mii²ri（M）－∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij－

∑j∈N+pj（M）mjjmijgt;0.

令

Ki=1∑j∈N+mijmii²ri（M）－

∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij－∑j∈N+pj（M）mjjmij，

i∈N－.

如果∑j∈N+mij=0，記Ki=+SymboleB@.因此，一定存在一個充分小的正數(shù)ε，使得

0lt;εlt;mini∈N－Ki.[JY]（4）

構(gòu)造對角矩陣W=diag（w1，w2，…，wn），其中

wi=miiri（M），i∈N－，

pi（M）mii+ε，i∈N+.[JY]（5）

根據(jù)定義1知W是正對角矩陣.

下面分兩種情況證明矩陣MW是SDD矩陣.

情形1 對于每一個i∈N－，由式（4）和式（5）知

ri（MW）=∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij+

∑j∈N+pj（M）mjj+εmijlt;

Ki∑j∈N+mij+∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij+

∑j∈N+pj（M）mjjmij=

1∑j∈N+mijmii²ri（M）－

∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij－

∑j∈N+pj（M）mjjmij

∑j∈N+mij+∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij+

∑j∈N+pj（M）mjjmij =

mii²ri（M）=（MW）ii，

即對i∈N－，（MW）iigt;ri（MW）.

情形2 對于i∈N+，由于miigt;ri（M），則

mii－∑j∈N+{i}mijgt;∑j∈N－mij≥0，且

pi（M）=∑j∈N－mij+

∑j∈N+{i}rj（M）mjjmij≥

∑j∈N－mij+∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij≥

∑j∈N－mjjrj（M）mij+

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij，

即

∑j∈N－mjjrj（M）mij+

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij－pi（M）≤0.

因此，可得

1mii－∑j∈N+{i}mij

∑j∈N－mjjrj（M）mij+

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij－pi（M）≤0.

又因為εgt;0，所以

εgt;1mii－∑j∈N+{i}mij∑j∈N－mjjrj（M）mij+

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij－pi（M），[JY]（6）

因此，對于每一個i∈N+，由式（5）和式（6）知

（MW）ii－ri（MW）=

pi（M）mii+εmii－

∑j∈N－mjjrj（M）mij－

∑j∈N+{i}pj（M）mjj+εmijgt;

1mii－∑j∈N+{i}mij∑j∈N－mjjrj（M）mij+

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij－pi（M）（mii-

∑j∈N+{i}mij）+pi（M）－

∑j∈N－mjjrj（M）mij－

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij=0，

即對i∈N+，（MW）iigt;ri（MW）.

綜上所述，可得矩陣MW是SDD矩陣，因此M是非奇異H-矩陣.證明完畢.

2 SDD#1矩陣逆的無窮大范數(shù)的上界

本節(jié)通過引入一個正的對角矩陣W，給出SDD#1矩陣逆的無窮大范數(shù)的一個上界.

定理4^[15] 若M=（mij）∈C^n×n是SDD矩陣，則

‖M^－1‖SymboleB@≤1min1≤i≤nmii－ri（M）.

定理5^[19] 若M=（mij）∈C^n×n是SDD1矩陣，則

‖M^－1‖SymboleB@≤max1，maxi∈N+pi（M）mii+εminmini∈N－Li，mini∈N+Hi，

其中

Li=mii－∑j∈N－{i}mij－

∑j∈N+pj（M）mjj+εmij，i∈N－，

Hi=εmii－∑j∈N+{i}mij+

∑j∈N+{i}rj（M）－pj（M）mjjmij，i∈N+，

0lt;εlt;mini∈Nmii－pi（M）∑j∈N+{i}mij.

定理6^[22] 若M=（mij）∈C^n×n是GSDD1矩陣，則

‖M^－1‖SymboleB@≤maxε，maxi∈N+ri（M）miiminmini∈N－Φi，mini∈N+Ψi，

其中

Φi=miiε－∑j∈N－{i}mijε－

∑j∈N+rj（M）mjjmij，i∈N－，

Ψi=ri（M）－∑j∈N+{i}rj（M）mjjmij－

∑j∈N－mijε，i∈N+，

ε∈maxi∈N－p^N+i（M）mii－p^N－i（M），

minj∈N+rj（M）－p^N+j（M）p^N－j（M）.

下面，給出SDD#1矩陣逆的無窮大范數(shù)的一個上界.

定理7 若M=（mij）∈C^n×n是SDD#1矩陣，則

‖M^－1‖SymboleB@≤

maxmaxi∈N－miiri（M），maxi∈N+pi（M）mii+εminmini∈N－Ui，mini∈N+Vi，[JY]（7）

其中

Ui=mii²ri（M）－∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij－

∑j∈N+pj（M）mjj+εmij，i∈N－，

Vi=ε（mii－∑j∈N+{i}mij）+

pi（M）－

∑j∈N－mjjrj（M）mij－

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij，i∈N+，

且ε滿足不等式（4）.

證明 因為M是SDD#1矩陣，所以由定理3知存在正對角陣W，使得MW是SDD矩陣，其中W滿足式（5）.于是，可得

‖M^－1‖SymboleB@=‖WW^－1M^－1‖SymboleB@=

‖WMW^－1‖SymboleB@≤

‖W‖SymboleB@‖MW^－1‖SymboleB@，[JY]（8）

其中

‖W‖SymboleB@=max1≤i≤n wi=

maxmaxi∈N－miiri（M），maxi∈N+pi（M）mii+ε.[JY]（9）

又因為MW是SDD矩陣，所以由定理4知

‖MW^－1‖≤

1min1≤i≤nMWii－ri（MW）.

因此，對每一個i∈N－，有

MWii－ri（MW）=

mii²ri（M）－

∑j∈N－{i}mjjrj（M）mij－

∑j∈N+pj（M）mjj+εmij=Ui.

對每一個i∈N+，有

MWii－ri（MW）=

pi（M）mii+εmii－

∑j∈N－mjjrj（M）mij－

∑j∈N+{i}pj（M）mjj+εmij=

εmii－∑j∈N+{i}mij+

pi（M）－

∑j∈N－mjjrj（M）mij－

∑j∈N+{i}pj（M）mjjmij=Vi.

進(jìn)而可得

‖MW^－1‖SymboleB@≤

1minmini∈N－Ui，mini∈N+Vi.[JY]（10）

故由式（8）-（10）知式（7）成立.

證明完畢.

下面用例子說明定理7中的上界優(yōu)于定理5和定理6中的結(jié)果.

例4 考慮如下4階矩陣：

M=40325048222312224212.

顯然有N－={1，2}，N+={3，4}，矩陣M有兩個不占優(yōu)行，因此矩陣M不是SDD矩陣.

又因為存在2∈N－，有

m22=48lt;p2（M）=105/2，

所以矩陣M也不是SDD1矩陣.同時，存在3∈N+，2∈N－，有

r3（M）－p^N+3（M）m22－p^N－2（M）=

（7－4/3）×（48－50）lt;

5×5/2=p^N－3（M）p^N+2（M），

因此矩陣M也不是GSDD1矩陣.

又因為找不到滿足條件的S，使得對于所有的i∈N－， S★i（M）是非空的，所以矩陣M也不是CKV-型矩陣.但對所有的i∈N－，有

m11=4gt;φ1（M）=125/36，

m22=48gt;φ2（M）=1521/32，

所以矩陣M是一個SDD#1矩陣.

因此，利用定理7得到

‖M^－1‖≤max{0.8889，0.5982}min{0.4127，0.8822}≈2.1538（ε=0.001），0lt;εlt;0.0844.

例5 考慮如下4階矩陣：

M=4－11－10301004－1－11－0.52.

顯然有N－={4}，N+={1，2，3}.對于所有的i∈N－，有m44=2gt;p4（M）=29/24，因此，矩陣M是SDD1矩陣.又因為

r1（M）－p^N+1（M）m44－p^N－4（M）=

（3－7/12）×（2－0）gt;1×29/24=p^N－1（M）p^N+4（M），

r2（M）－p^N+2（M）m44－p^N－4（M）=

（1－0）×（2－0）gt;1×29/24=p^N－2（M）p^N+4（M），

r3（M）－p^N+3（M）m44－p^N－4（M）=

（1－0）×（2－0）gt;1×29/24=p^N－3（M）p^N+4（M），

所以，矩陣M也是GSDD1矩陣.同時，有

m44=2gt;φ4M=205/192，

因此，矩陣M也是SDD#1矩陣.

由定理7得

‖M^－1‖SymboleB@≤1.8076，（ε=0.1213），0lt;εlt;0.2983.

由定理6得

‖M^－1‖≤2.8423，

（ε=0.7361），0.6042lt;εlt;1.

由定理5得

‖M^－1‖SymboleB@≤1.9639，

（ε=0.2546），0lt;εlt;0.3167.

3 SDD#1矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界

設(shè)Rn表示所有n維列向量組成的集合，矩陣M的線性互補(bǔ)問題表示為LCP（M，q），LCP（M，q）是尋找一個向量x∈Rn，滿足

x≥0，Mx+q≥0，

xT（Mx+q）=0，

或者證明不存在這樣的向量x，其中M∈C^n×n，q∈Rn.

眾所周知，一個具有正的對角元素的非奇異H-矩陣也被稱為P-矩陣^[3].對于LCP（M，q），文獻(xiàn)[30]中給出了如下誤差界：

‖x－x*‖≤maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖SymboleB@‖r（x）‖，

其中x*是LCP（M，q）的解，

D=diag（d1，d2，…，dn），0≤di≤1，

r（x）=min{x，Mx+q}，

d=（d1，d2，…，dn）T∈［0，1］n.

當(dāng)矩陣M是一個P-矩陣時，LCP（M，q）有唯一解^[30].

本節(jié)給出具有正對角元的SDD#1矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界.

定理8^[25] 若M=（mij）∈C^n×n是Η-矩陣且具有正的對角元，對角矩陣W=diag（i）且[AKw-]igt;0（i∈N），使得MW是嚴(yán)格對角占優(yōu)的.對每一個i∈N，令i=miii－∑j≠imij[AKw-]j，則

maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖SymboleB@≤

maxmaxi{i}mini{i}，maxi{[AKw-]i}mini{i}.

定理9^[23] 若M=（mij）∈C^n×n是SDD1矩陣且具有正的對角元，則

maxd∈［0，1］n‖I－D+DM^－1‖≤

max1mini∈N－mii－pi（M），1，

1mini∈N+mii－ri（M），1.

定理10^[22] 若M=（mij）∈C^n×n是GSDD1矩陣且具有正的對角元，則

maxd∈［0，1］n‖I－D+DM^－1‖SymboleB@≤

maxmaxε，maxi∈N+ri（M）miiminmini∈N－Φi，mini∈N+Ψi，

maxε，maxi∈N+ri（M）miiminε，mini∈N+ri（M）mii，

其中Φi，Ψi和ε分別由定理6給出.

下面，給出具有正的對角元的SDD#1矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界.

定理11 若M=（mij）∈C^n×n是SDD#1矩陣且具有正的對角元，則

maxd∈［0，1］n‖I－D+DM^－1‖≤

maxmaxmaxi∈N－miiri（M），maxi∈N+pi（M）mii+εminmini∈N－Ui，mini∈N+Vi，

maxmaxi∈N－miiri（M），maxi∈N+pi（M）mii+εminmini∈N－miiri（M），mini∈N+pi（M）mii+ε，

其中Ui，Vi和ε分別如定理7中所定義.

證明 因為M是SDD#1矩陣且具有正的對角元，所以由定理3知M是非奇異H-矩陣且具有正的對角元.由式（5）中的W的定義知

MWii－ri（MW）=Ui（i∈N－），

MWii－ri（MW）=Vi（i∈N+）.

因此，應(yīng)用定理8可知結(jié)論成立.

證明完畢.

接下來，用數(shù)值算例表明定理11的上界優(yōu)于定理9和定理10中的結(jié)果.

例6 考慮例4中的矩陣.

根據(jù)例4可知，矩陣M不是SDD矩陣，SDD1，GSDD1矩陣，也不是CKV-型矩陣.M是SDD#1矩陣且具有正的對角元.因此，由定理11可得

maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖≤

2.1538（ε=0.001），0lt;εlt;0.0844.

例7 考慮如下10階矩陣：

M=20210.5111.220－1－325－2.12－61－3－2－50.52.51121.50.52－1－1.21.31.623120411.5001－21342012.111.25－1.50143231571516232251511－1.23256426123－5－76431235121－123112217.[FL（K2]

顯然有N－={3，5，6，7}，N+={1，2，4，8，9，10}.對于所有的i∈N－，有

m33=12gt;p3（M）=10.4724，

m55=20gt;p5（M）=17.2321，

m66=23gt;p6（M）=20.556，

m77=25gt;p7（M）=22.182，

[HJ51x]所以，矩陣M是SDD1矩陣.

又因為

r1（M）－p^N+1（M）m33－p^N－3（M）=

（9.7－5.1263）×（12－3.5）gt;4.2×6.9724=p^N－1（M）p^N+3（M），

r2（M）－p^N+2（M）m33－p^N－3（M）=

（24.6－9.7561）×（12－3.5）gt;12.1×6.9724=p^N－2（M）p^N+3（M），

r4（M）－p^N+4（M）m33－p^N－3（M）=

（13.5－4.8044）×（12－3.5）gt;7.5×6.9724=p^N－4（M）p^N+3（M），

r8（M）－p^N+8（M）m33－p^N－3（M）=

（25.2－5.6948）×（12－3.5）gt;18×6.9724=p^N－8（M）p^N+3（M），

r9（M）－p^N+9（M）m33－p^N－3（M）=

（32－13.2458）×（12－3.5）gt;15×6.9724=p^N－9（M）p^N+3（M），

r10（M）－p^N+10（M）m33－p^N－3（M）=

（15－7.071）×（12－3.5）gt;6×6.9724=p^N－10（M）p^N+3（M），

r1（M）－p^N+1（M）m55－p^N－5（M）=

（9.7－5.1263）×（20－6.1）gt;4.2×11.1321=p^N－1（M）p^N+5（M），

r2（M）－p^N+2（M）m55－p^N－5（M）=

（24.6－9.7561）×（20－6.1）gt;12.1×11.1321=p^N－2（M）p^N+5（M），

r4（M）－p^N+4（M）m55－p^N－5（M）=

（13.5－4.8044）×（20－6.1）gt;7.5×11.1321=p^N－4（M）p^N+5（M），

r8（M）－p^N+8（M）m55－p^N－5（M）=

（25.2－5.6948）×（20－6.1）gt;18×11.1321=p^N－8（M）p^N+5（M），

r9（M）－p^N+9（M）m55－p^N－5（M）=

（32－13.2458）×（20－6.1）gt;15×11.1321=p^N－9（M）p^N+5（M），

r10（M）－p^N+10（M）m55－p^N－5（M）=

（15－7.071）×（20－6.1）gt;6×11.1321=p^N－10（M）p^N+5（M），

r1（M）－p^N+1（M）m66－p^N－6（M）=

（9.7－5.1263）×（23－5）gt;4.2×15.556=p^N－1（M）p^N+6（M），

r2（M）－p^N+2（M）m66－p^N－6（M）=

（24.6－9.7561）×（23－5）gt;12.1×15.556=p^N－2（M）p^N+6（M），

r4（M）－p^N+4（M）m66－p^N－6（M）=

（13.5－4.8044）×（23－5）gt;7.5×15.556=p^N－4（M）p^N+6（M），

r8（M）－p^N+8（M）m66－p^N－6（M）=

（25.2－5.6948）×（23－5）gt;18×15.556=p^N－8（M）p^N+6（M），

r9（M）－p^N+9（M）m66－p^N－6（M）=

（32－13.2458）×（23－5）gt;15×15.556=p^N－9（M）p^N+6（M），

r10（M）－p^N+10（M）m66－p^N－6（M）=

（15－7.071）×（23－5）gt;6×15.556=p^N－10（M）p^N+6（M），

r1（M）－p^N+1（M）m77－p^N－7（M）=

（9.7－5.1263）×（25－11）gt;4.2×11.182=p^N－1（M）p^N+7（M），

r2（M）－p^N+2（M）m77－p^N－7（M）=

（24.6－9.7561）×（25－11）gt;12.1×11.182=p^N－2（M）p^N+7（M），

r4（M）－p^N+4（M）m77－p^N－7（M）=

（13.5－4.8044）×（25－11）gt;7.5×11.182=p^N－4（M）p^N+7（M），

r8（M）－p^N+8（M）m77－p^N－7（M）=

（25.2－5.6948）×（25－11）gt;18×11.182=p^N－8（M）p^N+7（M），

r9（M）－p^N+9（M）m77－p^N－7（M）=

（32－13.2458）×（25－11）gt;15×11.182=p^N－9（M）p^N+7（M），

r10（M）－p^N+10（M）m77－p^N－7（M）=

（15－7.071）×（25－11）gt;6×11.182=p^N－10（M）p^N+7（M），

所以，矩陣M也是GSDD1矩陣.

同時，有

m33=12gt;φ3M=10.2348，

m55=20gt;φ5M=16.0847，

m66=23gt;φ6M=19.4178，

m77=25gt;φ7M=21.6102，

因此，矩陣M也是SDD#1矩陣且具有正的對角元.

由定理9可得

maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖≤2.5.

由定理10可得

maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖@≤

2.0289（ε=0.973），

0.8642lt;εlt;1.0836.

由定理11可得

maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖≤

1.7588（ε=0.1202），0lt;εlt;0.1847.

例8^[19] 考慮由自由邊界問題的有限差分法產(chǎn)生的三對角矩陣M=（mij）∈C^n×n，其中

M=b+αsin（1/n）c0…0ab+αsin（2/n）c…000ab+αsin［（n－1）/n］c000ab+αsin（1）.

取n=1000，a=5，b=42，c=37.02和α=10，顯然有N－={2}，N+={1，3，…，1000}.對于所有的i∈N－，有

m22=42.02gt;p2M=

∑j∈N－{2}m2j+∑j∈N+rj（M）mjjm2j=

0+41.4173=41.4173，

所以，矩陣M是SDD1矩陣.

又因為

r1（M）－p^N+1（M）m22－p^N－2（M）=

（37.02－0）×（42.02－0）gt;37.02×41.4173=p^N－1（M）p^N+2（M），

r3（M）－p^N+3（M）m22－p^N－2（M）=

（42.02－0）×（42.02－0）gt;5×41.4173=p^N－3（M）p^N+2（M），…

r1000（M）－p^N+[JX*2]1000（M）m22－p^N－2（M）=

（5－4.1679）×（42.02－0）gt;0×41.4173=p^N－[JX*2]1000（M）p^N+2（M），

所以，矩陣M也是GSDD1矩陣.

同時，有

m22=42.02gt;φ2M=41.4018，

因此，矩陣M是SDD#1矩陣且具有正的對角元.

由定理9可得

maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖≤100.0005.

由定理10可得

maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖≤

36.2221（ε=0.998），

0.9684lt;εlt;1.

由定理11可得

maxd∈［0，1］n‖（I－D+DM）^－1‖≤

28.43（ε=0.0022），

0lt;εlt;0.0147.

4 結(jié)語

本文提出了非奇異H-矩陣的一個新的子類—SDD#1矩陣，給出了SDD#1矩陣的幾個性質(zhì)，由此獲得了SDD#1矩陣逆的無窮大范數(shù)的上界.作為應(yīng)用，得到了具有正的對角元的SDD#1矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界.同時，用數(shù)值算例表明了新界比已有的一些結(jié)果更優(yōu).后面，將進(jìn)一步研究SDD#1矩陣拓展垂直線性互補(bǔ)問題解的誤差界.

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［責(zé)任編輯：趙慧霞］

基金項目：貴州省科學(xué)技術(shù)基金項目（GCC2023027）;貴州省教育廳自然科學(xué)基金項目（QJJ2023012）

作者簡介：冉文文（1998-），女，貴州銅仁人，在讀碩士，研究方向為數(shù)值代數(shù).E-mail：1824015087@qq.com.

*通信作者：王峰（1981-），男，山東臨沂人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為數(shù)值代數(shù).E-mail：wangfeng@gzmu.edu.cn.