計(jì)數(shù)問題是重要的數(shù)學(xué)問題，包括兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理等知識(shí)內(nèi)容。通過對計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，我們能夠初步解決現(xiàn)實(shí)生活中簡單的計(jì)數(shù)問題。兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是人們在大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出來的基本規(guī)律，也是進(jìn)一步研究排列與組合問題的基礎(chǔ)。排列與組合是高考命題的熱點(diǎn)，試題靈活且難度不大，多以選填題的形式出現(xiàn)。排列與組合內(nèi)容也常與概率、離散型隨機(jī)變量的分布列等知識(shí)綜合命題，多在解答題中出現(xiàn)。二項(xiàng)式定理也是高考中的常考常新內(nèi)容，多以選填題的形式出現(xiàn)，試題難度中檔，主要考查二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)和、二項(xiàng)式系數(shù)及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用等。

考點(diǎn)1.對兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其綜合應(yīng)用的考查

例1在如圖1所示的方格中，用4種不同的顏色做涂色游戲，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色。

①若區(qū)域A，B，C，D涂2種顏色，區(qū)域E，F(xiàn)，G，H涂另外2種顏色，則有______種不同涂法;

②若區(qū)域A，B，C，D涂4種顏色（A，B，C，D涂的顏色互不相同），區(qū)域E，F(xiàn)，G，H也涂這4種顏色（E，F(xiàn)，G，H涂的顏色互不相同），則有______種不同涂法。

分析：①利用分步計(jì)數(shù)原理可求不同的涂法;②先涂A，B，C，D，再就F，G的涂色情況分類計(jì)算即可。

解：①先涂A，B，C，D，有C24×A22=12（種），再涂E，F(xiàn)，G，H，有A22=2（種），故不同的涂法共有12×2=24（種）。故填24。

②先涂A，B，C，D，共有A44=24（種）。若F，G所涂顏色為A，B所涂顏色，則有A22×A22=4（種）涂法;若F，G所涂顏色為C，D所涂顏色，則有1種涂法;若F，G所涂顏色為A，C所涂顏色，則有1種涂法;若F，G所涂顏色為A，D所涂顏色，則有1種涂法;若F，G所涂顏色為B，C所涂顏色，則有1種涂法;若F，G所涂顏色為B，D所涂顏色，則有1種涂法。綜上可得，不同的涂法共有24×（4+5）=216（種）。故填216。

考點(diǎn)解讀：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終。在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)應(yīng)注意：（1）一般是先分類再分步，在分步時(shí)可能又會(huì)用到分類加法計(jì)數(shù)原理;（2）對于較復(fù)雜的兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或表格，使問題形象化、直觀化。

考點(diǎn)2.對排列組合及其綜合應(yīng)用的考查

例2（1）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠(yuǎn)的意義和價(jià)值。棋盤中有紅黑兩方陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個(gè)紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個(gè)黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方法共有（）。

A.120種B.24種C.36種D.12種

（2）某校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，J，K，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)。其中將A，B，C，D，E五人排成一行形成甲隊(duì)，要求A與B相鄰，C在D的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求F與G不相鄰，則不同的排列方法共有（）。

A.432種B.864種

C.1728種D.2592種

分析：（1）先排紅色棋子，再將黑色棋子插空進(jìn)行求解。（2）首先計(jì)算甲隊(duì)的排列總數(shù)，分別用捆綁法和除序法;然后利用插空法計(jì)算乙隊(duì)的排列總數(shù);最后利用計(jì)數(shù)原理計(jì)算總的排列方法數(shù)即可。