摘" 要：針對預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛效應(yīng)的精確計(jì)算問題，基于fib 2010《歐洲混凝土結(jié)構(gòu)規(guī)范》給出的預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力與時(shí)間的松弛關(guān)系，推導(dǎo)表征預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛的率型本構(gòu)模型，并構(gòu)建該本構(gòu)模型的數(shù)值迭代算法，在ABAQUS的UMAT二次開發(fā)平臺上編寫該模型的數(shù)值求解程序。分別針對無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)和有黏結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)2種情況，對程序的正確性和適用性進(jìn)行了驗(yàn)證。研究表明編寫的計(jì)算程序可實(shí)現(xiàn)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中應(yīng)力松弛效應(yīng)的準(zhǔn)確模擬，提出的應(yīng)力松弛模型的程序開發(fā)思路也適用于ANSYS、ADINA等有限元軟件。

關(guān)鍵詞：預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)；應(yīng)力松弛；本構(gòu)模型；數(shù)值算法；二次開發(fā)

中圖分類號：TU501 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-2945（2025）04-0021-04

Abstract： Aiming to address the precise calculation issue of stress relaxation effect in prestressed structures， a rate-type constitutive model was developed based on the relaxation relationship between stress and time as outlined in the fib 2010 European Code for Concrete Structures. This model characterizes stress relaxation of prestressed reinforcement under varying strain conditions， and a numerical iteration algorithm was formulated for this constitutive model. Anumerical solution program for this model was developed using the UMAT secondary development platform of ABAQUS. The accuracy and applicability of the program were validated for both unbonded prestressed structures and bonded prestressed structures. Research has demonstrated that the program accurately simulates the stress relaxation effect in prestressed structures. Moreover， the proposed program development approach for stress relaxation models is also suitable for finite element software such as ANSYS and ADINA.

Keywords： prestressed structure; stress relaxation; constitutive model; numerical algorithm; secondary development

預(yù)應(yīng)力筋張拉后，在長度不變的情況下應(yīng)力隨時(shí)間增長而不斷降低的現(xiàn)象稱為應(yīng)力松弛[1]，應(yīng)力松弛是導(dǎo)致預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)發(fā)生預(yù)應(yīng)力損失的重要原因。對于核電廠預(yù)應(yīng)力混凝土安全殼、LNG儲罐、大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁結(jié)構(gòu)、張拉機(jī)械臂等結(jié)構(gòu)[2-4]，預(yù)應(yīng)力損失是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)受力問題的主要原因。相關(guān)研究表明，帕勞的K-B大橋倒塌即與混凝土主梁中預(yù)應(yīng)力損失過大有關(guān)[5]。針對預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力松弛問題，眾多學(xué)者進(jìn)行了試驗(yàn)和理論研究，得到了豐富的研究成果[6-9]。

預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)中應(yīng)力松弛會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中儲備的壓應(yīng)力減少，進(jìn)而影響混凝土徐變；混凝土收縮徐變發(fā)生后又會影響應(yīng)力松弛，二者存在耦合關(guān)系。然而我國規(guī)范僅給出了應(yīng)力松弛引起的最終預(yù)應(yīng)力損失值的計(jì)算方法，無法準(zhǔn)確反映應(yīng)力松弛與混凝土收縮徐變間的耦合效應(yīng)。對于重要的預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)，如安全殼，在評估其結(jié)構(gòu)服役性能時(shí)，需要精確考慮混凝土收縮徐變與預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛間的關(guān)系，此時(shí)需要采用時(shí)步分析方法[10]，將計(jì)算分為若干時(shí)間步驟，每個(gè)時(shí)間步內(nèi)可以計(jì)算混凝土收縮徐變和應(yīng)力松弛，實(shí)現(xiàn)二者關(guān)系的動態(tài)變化，最終得到考慮相互影響的總體預(yù)應(yīng)力損失。

本文基于fib 2010《歐洲混凝土結(jié)構(gòu)規(guī)范》（以下簡稱fib 2010規(guī)范）給出的預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力與時(shí)間的松弛關(guān)系，推導(dǎo)了表征預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛的率型本構(gòu)模型，構(gòu)建了可實(shí)現(xiàn)該本構(gòu)模型時(shí)步分析的數(shù)值迭代算法，在ABAQUS的UMAT二次開發(fā)平臺上編寫了求解程序，并對程序的準(zhǔn)確性和適用性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1" 基本理論

1.1" 控制方程

我國GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》僅給出預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛導(dǎo)致的最終損失值，表達(dá)式類似于式（1）（普通松弛鋼絞線松弛計(jì)算公式），由于沒有給出應(yīng)力松弛導(dǎo)致的預(yù)應(yīng)力損失與時(shí)間的關(guān)系，不能直接用于構(gòu)建時(shí)步分析方法。fib 2010規(guī)范給出了應(yīng)力松弛與時(shí)間的關(guān)系式，本文以fib 2010規(guī)范給出的應(yīng)力松弛表達(dá)式為例，進(jìn)行數(shù)值迭代算法構(gòu)建

σl4=0.4-0.5σcon ， （1）

式中：σl4為應(yīng)力松弛引起的預(yù)應(yīng)力損失；σcon為預(yù)應(yīng)力張拉控制力；fptk為預(yù)應(yīng)力筋極限強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值。

fib 2010規(guī)范給出的應(yīng)力松弛表達(dá)式為

=σ1 ， （2）

式中：σ0為初始預(yù)應(yīng)力；σv（t）為t時(shí)刻的預(yù)應(yīng)力；σ1、？姿1和k均為常數(shù)，與鋼筋種類及施加的應(yīng)力水平有關(guān)。

式（2）是應(yīng)力與時(shí)間的關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換成材料應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，將式（2）對時(shí)間求導(dǎo)

=-ρ1λktk-1 ， （3）

式中：將應(yīng)力σ0表達(dá)為應(yīng)變的函數(shù)：F（ε0），本構(gòu)方程中不能顯含時(shí)間，從式（2）中求出時(shí)間t的表達(dá)式，代入式（3）得

根據(jù)金屬黏塑性理論[5]：dt內(nèi)松弛應(yīng)力增量dσ可以通過將初始值假定為當(dāng)前應(yīng)變ε且保持不變，即可以用當(dāng)前應(yīng)變ε替換式（4）中的ε0，于是式（4）變?yōu)?/p>

實(shí)際結(jié)構(gòu)中預(yù)應(yīng)力筋受外部荷載影響，其應(yīng)變是不斷變化的，對于一個(gè)微量加載過程（Δε，Δσ），可以將其分解：首先保持應(yīng)變不變，產(chǎn)生某個(gè)應(yīng)力增量，而后跟隨一個(gè)突然增大/減小應(yīng)變增量，最終的綜合效果為（Δε，Δσ）。該過程的數(shù)學(xué)表達(dá)如下。

給定應(yīng)變增量dε，材料中的應(yīng)力增量分為2項(xiàng)，即彈性應(yīng)力增量和松弛應(yīng)力增量

dσ=dσe+dσv ， （6）

其中，dσe=Et dε，Et為鋼束彈性模量，將式（5）代入上式，得

式（7）即為表征應(yīng)力松弛的率型本構(gòu)模型，當(dāng)為常應(yīng)變時(shí)，上式左端為0，即回到式（5）。

1.2" 數(shù)值算法

在時(shí)間步[tk，tk＋１]范圍內(nèi)對式（7）進(jìn)行積分可得

。（8）

采用隱式歐拉格式對式（8）進(jìn)行離散

式中：Δσk=σk+1-σk，εk+1=εk+Δεk。

有限元中采用位移法求解時(shí)，上一步計(jì)算結(jié)果和這一步中輸入的應(yīng)變增量是已知的，因此，式（9）是一個(gè)關(guān)于Δσk的代數(shù)方程，可采用數(shù)值方法進(jìn)行求解，進(jìn)而可得到應(yīng)力增量Δσk，從而求得預(yù)應(yīng)力松弛應(yīng)力的時(shí)步分析結(jié)果。編程計(jì)算時(shí)，鋼束彈模的取值需要根據(jù)鋼束應(yīng)力狀態(tài)，判斷其是否屈服，若進(jìn)入塑性階段，需要根據(jù)應(yīng)變狀態(tài)計(jì)算鋼束屈服后的彈模。

2" 程序?qū)崿F(xiàn)

有限元軟件ABAQUS提供了材料子程序（UMAT）模塊，用戶可通過UMAT編寫自定義材料本構(gòu)關(guān)系，供主程序調(diào)用。UMAT本質(zhì)處理單元應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，在UMAT程序計(jì)算之前會從ABAQUS主程序調(diào)用上一步迭代完成后的計(jì)算結(jié)果。對于松弛程序，主要是調(diào)用上一步的應(yīng)變；然后根據(jù)本步計(jì)算中的應(yīng)變增量和時(shí)間步增量，通過UMAT計(jì)算應(yīng)力增量，從而更新主程序中的應(yīng)力狀態(tài)和雅克比矩陣，重復(fù)這個(gè)過程，即可實(shí)現(xiàn)隨時(shí)間變化的松弛應(yīng)力計(jì)算。根據(jù)上述推導(dǎo)過程，本文在ABAQUS的UMAT材料子程序二次開發(fā)平臺上編寫了應(yīng)力松弛的計(jì)算程序，UMAT算法流程圖如圖1所示。

3" 算例

3.1" 單獨(dú)鋼束

為驗(yàn)證程序的正確性，本文首先對單獨(dú)預(yù)應(yīng)力鋼束進(jìn)行驗(yàn)證，單獨(dú)鋼束的應(yīng)力松弛具有解析解，對應(yīng)于實(shí)際結(jié)構(gòu)中的無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力筋，如安全殼結(jié)構(gòu)中的灌油鋼束、鋼混組合結(jié)構(gòu)中的體外預(yù)應(yīng)力筋，此時(shí)鋼束僅兩端受約束。

采用ABAQUS建立了單根鋼束的有限元計(jì)算模型，算例中鋼束長1 m，一端采用固定邊界條件，另一端施加6 mm位移荷載，模擬張拉，計(jì)算采用的參數(shù)見表1，計(jì)算模型如圖2所示，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。采用本文程序計(jì)算的應(yīng)力松弛結(jié)果與解析解的最大相對誤差為0.1%，表明了本文程序的正確性。

3.2" 預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)

為進(jìn)一步驗(yàn)證有黏結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)中本程序的適用性，建立一預(yù)應(yīng)力混凝土梁，該梁長1 m，截面尺寸為0.1 m×0.1 m，采用簡支邊界條件；鋼束布置在距底緣0.025 m處，鋼束截面積為130 mm2，混凝土彈模為33 500 MPa；鋼束初張力為1 056 MPa，采用降溫方式施加；混凝土采用C3D8實(shí)體單元，鋼束采用T3D2桁架單元，通過節(jié)點(diǎn)位移協(xié)調(diào)將鋼束與混凝土耦合在一起以模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)中灌漿后的效果。整個(gè)結(jié)構(gòu)承受預(yù)應(yīng)力和自重作用，模型如圖4所示，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。計(jì)算表明，自重和預(yù)應(yīng)力作用下梁發(fā)生上拱變形，隨著應(yīng)力松弛出現(xiàn)，梁的起拱逐漸變小；程序計(jì)算的鋼束松弛應(yīng)力與解析解的最大相對誤差為0.6%，表明本文程序適用于預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)應(yīng)力松弛效應(yīng)分析。

4" 結(jié)論

1）本文基于ABAQUS二次開發(fā)平臺編寫的預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛迭代算法可實(shí)現(xiàn)單獨(dú)鋼束應(yīng)力松弛和預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)中應(yīng)力松弛效應(yīng)的精確分析。

2）本文提出的應(yīng)力松弛模型的程序開發(fā)思路也適用于ANSYS、ADINA等有限元軟件。

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