摘 要：在面對(duì)海量、高維且不規(guī)則的數(shù)據(jù)時(shí)，傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法已無(wú)法滿足此類數(shù)據(jù)的處理需求。而圖信號(hào)處理技術(shù)作為一種新興的信號(hào)處理技術(shù)，在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)方面有著巨大的潛力。以交通網(wǎng)絡(luò)為例，其可以將交通樞紐視為圖的頂點(diǎn)，而交通樞紐間的連接可視為圖的邊。相較于傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的圖信號(hào)處理技術(shù)具備更高的計(jì)算效率?；诖?，對(duì)圖信號(hào)處理所面臨的挑戰(zhàn)進(jìn)行了介紹，并對(duì)圖信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)，如圖上傅里葉變換、圖卷積等理論進(jìn)行了概述。在此基礎(chǔ)上，介紹了圖信號(hào)處理在各方面的應(yīng)用，并總結(jié)了其相較于一般信號(hào)處理方法的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步凸顯其在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)上的不可替代性。

關(guān)鍵詞：圖信號(hào)處理；圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；拉普拉斯矩陣；圖傅里葉變換；生物網(wǎng)絡(luò)分析；三維點(diǎn)云處理

中圖分類號(hào)：TP39；TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-1302（2025）05-0-03

0 引 言

圖作為一種通用數(shù)據(jù)表示形式，在眾多應(yīng)用領(lǐng)域中扮演著重要角色，用以描繪數(shù)據(jù)域的幾何結(jié)構(gòu)[1]。這些領(lǐng)域包括但不限于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)、能源系統(tǒng)、交通網(wǎng)絡(luò)、傳感器陣列以及神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)。在圖中，兩個(gè)頂點(diǎn)之間的相似程度可以用其邊的權(quán)值表示，這種相似程度有時(shí)根據(jù)所研究問(wèn)題的物理特性來(lái)決定，有時(shí)則需要依賴于數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷。例如，邊的權(quán)重值可以與其兩端頂點(diǎn)的距離成反比，因此可以將其形象化為一個(gè)有限的樣本集合，其中每個(gè)頂點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)樣本點(diǎn)。這樣的圖形化表示有助于人們更直觀地理解和分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)和模式。

圖數(shù)據(jù)作為非歐空間數(shù)據(jù)，不滿足平移不變性，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有各異的局部結(jié)構(gòu)[2]。當(dāng)需要處理的數(shù)據(jù)是高維度的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)時(shí)，其與傳統(tǒng)的時(shí)域或空域信號(hào)相比具有不規(guī)則的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[3]，如圖1所示。

與傳統(tǒng)信號(hào)處理方法不同，圖信號(hào)處理可以應(yīng)對(duì)不規(guī)則、復(fù)雜且高維的信號(hào)[4]，因此擁有極為廣泛的應(yīng)用前景。在這些應(yīng)用場(chǎng)景中，數(shù)據(jù)域由圖定義。圖由頂點(diǎn)組成，其中的數(shù)據(jù)值能夠被定義/感知，并且由邊連接這些頂點(diǎn)，圖可以根據(jù)數(shù)據(jù)的相關(guān)屬性來(lái)利用數(shù)據(jù)之間的基本關(guān)系。

本文以圖信號(hào)處理為核心，系統(tǒng)地介紹圖信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)，以及其在一些領(lǐng)域的應(yīng)用，最后總結(jié)其相較于傳統(tǒng)信號(hào)處理方法所具有的優(yōu)勢(shì)。

1 圖信號(hào)處理理論基礎(chǔ)

1.1 圖的介紹

圖論（Graph Theory， GT）作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支已經(jīng)存在了近3個(gè)世紀(jì)。它在化學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、工程、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域被廣泛使用。具有N個(gè)頂點(diǎn)的圖上信號(hào)和具有N個(gè)樣本的經(jīng)典離散時(shí)間信號(hào)都可以看作是RN中的向量。然而在圖信號(hào)領(lǐng)域中應(yīng)用經(jīng)典信號(hào)處理技術(shù)的一個(gè)主要障礙是：若按照處理離散時(shí)間信號(hào)的方式處理圖信號(hào)，則忽略了由不規(guī)則數(shù)據(jù)域產(chǎn)生的關(guān)鍵依賴性。此外還有許多經(jīng)典信號(hào)處理技術(shù)中非常基本的操作，在圖信號(hào)處理中卻變得更具挑戰(zhàn)性。除此之外，經(jīng)典信號(hào)處理中可以通過(guò)信號(hào)乘以復(fù)指數(shù)來(lái)對(duì)應(yīng)于傅里葉域中的平移，然而由于在圖領(lǐng)域中的相似譜是離散的和不規(guī)則間隔的，因此在圖譜域中定義一個(gè)對(duì)應(yīng)的平移算子同樣面臨著挑戰(zhàn)。圖被定義為由頂點(diǎn)（Vertex）和連接頂點(diǎn)的邊（Edge）構(gòu)成[5]，通常用G（V， E， A， X， D）表示。對(duì)于給定的頂點(diǎn)和邊集，圖可以用鄰接矩陣A表示，這個(gè)矩陣描述了頂點(diǎn)的連通性。如果有N個(gè)頂點(diǎn)，那么A就是一個(gè)N×N的矩陣。如果鄰接矩陣A中的元素Amn∈{0，1}，頂點(diǎn)m和n有一條邊相連接，則賦值A(chǔ)mn=1；反之，則賦值A(chǔ)mn=0。對(duì)于無(wú)向圖，鄰接矩陣是對(duì)稱的，故有：

1.2 圖拉普拉斯矩陣

1.3 圖上的傅里葉變換

經(jīng)典的傅里葉變換表達(dá)式為[10]：

2 圖信號(hào)處理的應(yīng)用

圖作為一種強(qiáng)大的工具，能夠通用地表示眾多領(lǐng)域中的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。本章將深入探討圖信號(hào)處理框架在多個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。為了展示其多樣性，選取了三個(gè)不同類型的場(chǎng)景進(jìn)行詳細(xì)討論。這些場(chǎng)景不僅凸顯了圖信號(hào)處理框架的靈活性和實(shí)用性，也進(jìn)一步驗(yàn)證了其在處理不規(guī)則數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)時(shí)的強(qiáng)大能力。其中，這些場(chǎng)景所涉及的網(wǎng)絡(luò)在規(guī)模和所屬領(lǐng)域方面均呈現(xiàn)出顯著的多樣性。

2.1 傳感器上的應(yīng)用

在多種應(yīng)用場(chǎng)景中，傳感器網(wǎng)絡(luò)無(wú)疑是圖信號(hào)處理最直接的應(yīng)用領(lǐng)域之一。通過(guò)構(gòu)建圖模型，能夠有效表示傳感器在環(huán)境中的相對(duì)位置關(guān)系[12]。為了定義與傳感器網(wǎng)絡(luò)相關(guān)聯(lián)的圖，通常選擇將邊的權(quán)值作為節(jié)點(diǎn)（傳感器）之間距離的遞減函數(shù)。當(dāng)頂點(diǎn)間的數(shù)據(jù)觀測(cè)呈現(xiàn)相似性時(shí)，自然會(huì)促使圖信號(hào)展現(xiàn)出低通的特性，從而提升數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性和效率[13]。此外，還可以借助圖信號(hào)來(lái)分析應(yīng)用給出的數(shù)據(jù)。以社交網(wǎng)絡(luò)為例，在該網(wǎng)絡(luò)中，頂點(diǎn)代表網(wǎng)絡(luò)成員，而邊則定義了它們?cè)诰W(wǎng)絡(luò)中的關(guān)系。如果與兩個(gè)成員相關(guān)，則對(duì)應(yīng)的邊權(quán)值為1，此時(shí)權(quán)值矩陣等于鄰接矩陣。在一些應(yīng)用中，圖信號(hào)處理技術(shù)已被用于監(jiān)測(cè)城市空氣污染[14]，并且還能通過(guò)分析圖上的信息來(lái)評(píng)估交通情況[15]，例如判斷道路是否擁堵等。

2.2 生物網(wǎng)絡(luò)上的應(yīng)用

圖信號(hào)處理在生物網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域同樣展現(xiàn)出了活躍的應(yīng)用態(tài)勢(shì)，其研究重心主要聚焦于對(duì)有網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析，如人類大腦，以及關(guān)于先驗(yàn)未知生物網(wǎng)絡(luò)的推測(cè)。已有研究利用圖信號(hào)處理技術(shù)來(lái)探索人腦網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)人腦上的電信號(hào)可以表示到圖上，其中圖上的頂點(diǎn)代表大腦上的某個(gè)區(qū)域，而邊之間的權(quán)重則表示區(qū)域之間的連接程度或其功能之間的相似性[16]。通過(guò)深入分析這些圖信號(hào)特性，有望更深入地理解人腦的工作機(jī)制。

圖信號(hào)處理框架也被提出用于腦部圖信號(hào)的分類以及異?；蚣膊〉姆治觥＠?，基于稀疏正則化的源定位算法可以用于基于大量重復(fù)核磁共振成像掃描來(lái)定位阿爾茨海默病的可能起源[17]。這有助于理解阿爾茨海默病的動(dòng)態(tài)和起源。越來(lái)越多的研究開(kāi)始從圖信號(hào)處理的角度出發(fā)，解釋大腦活動(dòng)或大腦網(wǎng)絡(luò)特征，這有助于更深入地了解人類大腦中重要的結(jié)構(gòu)與功能之間的關(guān)系。

2.3 圖像和三維點(diǎn)云處理上的應(yīng)用

圖信號(hào)處理不僅擅長(zhǎng)處理不規(guī)則結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)集，也可應(yīng)用于處理其他傳統(tǒng)信號(hào)的數(shù)據(jù)集，比如圖像和視頻序列。在處理圖像時(shí)，可以將需要處理的圖像視為一組像素，每個(gè)像素都與一個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，形成一個(gè)所有邊的權(quán)重都等于1的規(guī)則圖（線圖或網(wǎng)格圖）。圖信號(hào)處理還可以用于捕獲圖像中的幾何結(jié)構(gòu)，如攜帶關(guān)鍵視覺(jué)信息的輪廓，以避免在濾波的過(guò)程中模糊它們。通過(guò)使用圖譜去噪的方法，可以有效提高圖像的質(zhì)量[18]。

圖信號(hào)處理還可應(yīng)用于新興的視覺(jué)模式，如3D網(wǎng)格或3D點(diǎn)云，其中數(shù)據(jù)在3D空間的不規(guī)則位置采樣很適合用圖表示。在這種表示中，將節(jié)點(diǎn)表示為顏色或三維信息，并將它們與最近的鄰居相連，形成一個(gè)圖，然后基于圖的變換便可以壓縮靜態(tài)或動(dòng)態(tài)點(diǎn)云中的結(jié)果圖信號(hào)。此外，圖譜特征還可以用于有效估計(jì)三維點(diǎn)云幀之間的時(shí)間冗余[19]。這種基于圖的轉(zhuǎn)換可以充分利用每一幀內(nèi)的空間相關(guān)性和幀之間的時(shí)間相關(guān)性，從而實(shí)現(xiàn)高效的壓縮。

3 結(jié) 語(yǔ)

在實(shí)際情況中，信號(hào)通常在時(shí)間與空間上是不規(guī)則的，且數(shù)據(jù)傳感域與所考慮的系統(tǒng)/網(wǎng)絡(luò)的其他屬性相關(guān)聯(lián)。面對(duì)這類非歐幾里得空間數(shù)據(jù)的處理挑戰(zhàn)，傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法顯得力不從心。鑒于此，本文提出了一種圖信號(hào)處理的方法，即將傳統(tǒng)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）推廣到圖信號(hào)領(lǐng)域。本文介紹了圖信號(hào)處理及圖結(jié)構(gòu)的相關(guān)知識(shí)，詳細(xì)解釋了圖上傅里葉變換等相關(guān)公式。研究表明，圖信號(hào)模型不僅能有效降低處理復(fù)雜度，還能顯著提升準(zhǔn)確率，為后續(xù)處理非歐幾里得空間數(shù)據(jù)提供了新的視角與思路。在此基礎(chǔ)上，介紹了圖信號(hào)處理在各領(lǐng)域的應(yīng)用，最后總結(jié)了其與一般信號(hào)處理相比所具有的優(yōu)勢(shì)，表明了其在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)上的不可替代性。

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